La Cinematica

La cinematica studia il moto dei corpi a prescindere dalle cause che lo generano. Per conoscere tutto sul moto del corpo, basta conoscere il "vettore posizione" OP(t)

Esso si compone di 3 leggi:

OP(t) =

• x(t)
• y(t)
• z(t)

= x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂

Con î, ĵ, k̂ vettori degli assistenti cardinali.

La cinematica studia il moto dei corpi a prescindere dalle cause che lo generano. Per conoscere tutto sul moto del corpo, basta conoscere il "vettore posizione" OP(t)

Esso si compone di 3 leggi:

OP(t) =     = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)&kcirc;

Con î, ĵ, &kcirc; vettori degli assestenti cardinali.

Il vettore velocità è:

v(t) = ^dr/_dt = ^ẋ(t)î + ^ẏ(t)ĵ + ^ż(t)k̂

ed è sempre tangente alla traiettoria γ

Il vettore accelerazione è:

a(t) = ^dv(t)/_dt = ^ẍ(t)î + ^ÿ(t)ĵ + ^z̈(t)k̂

Per risalire dal vettore accelerazione al vettore posizione serve conoscere le "condizioni iniziali" del moto, ovvero la posizione di r_o all'istante t_o e la velocità v_o.

Si ha infatti:

v(t) = v_o + ∫_to^t a(τ)dτ

r(t) = r_o + ∫_to^t v(τ)dτ

Moto rettilineo

Un moto si dice "rettilineo" se avviene lungo una retta, che posso chiamare asse x.

In tal caso, la legge oraria sul corpo è:

x(t) posizione in funzione del tempo t

v(t) = ẋ(t) e ẍ(t)

Esempi di moti rettilinei sono:

• Moto rettilineo uniformeAvviene a velocità V costante nel tempox(t) = x_o + V (t - t_o)x_o = posizione all'istante t_o
• Moto rettilineo uniformemente acceleratoAvviene con accelerazione a costante nel tempox(t) = x_o + v_o(t - t_o) + 1/2 a (t - t_o)²

V(t) = v₀ + 2(t - t₀) dove v₀ = velocità all'istante t₀

Esercizio.

Un corridore parte dal via e procede con v_A = 20 km/h Costanti. Un secondo corridore parte 10 minuti dopo e viaggia con v_B = 25 km/h. Dopo quanto tempo si incontrano e a quale distanza dal via.

x_A(t) = v_At = 20 t

x_B(t) = v_B (t - t₀) = 25 (t - ¹⁄₆)

La condizione di incontro è:

x_A = x_B

20t = 25t - ²⁵⁄₆

5t = ²⁵⁄₆

t = ⁵⁄₆ h = 50 minuti

x^* = 20t^* = ¹⁰⁰⁄₆ km ≈ 16,67 km dal via

• Moto armonico

È un moto oscillante, descritto dalla legge oraria

x(t) = A cos(ωt + φ)

A = ampiezza del moto

ω = pulsazione del moto

φ = fase iniziale

T = _2π/^ω periodo del moto (tempo necessario per compiere una oscillazione completa)

f = _2π/^ω = ₁/^T frequenza del moto (numero di oscillazioni nell'unità di tempo)

La velocità del corpo è

v(t) = ẋ(t) = -Aω sen(ωt + φ)

Da cui si vede che la velocità massima è

V_max = Aω

Tale velocità max si raggiunge in x=0, mentre v=0 in x=±A(punti di inversione del moto)

L'accelerazione è

Ẍ(t) = V̇(t) = -Aw²cos(ωt+φ)

Da cui si vede che l'accelerazione massima è

a_max = Aw²

Tale accelerazione max si raggiunge in X = ±A, mentrein a=0 in x=0

Si osserva che: Ẍ(t) = -w²x(t) ovvero

ẍ(t) + w²x(t) = 0

EQAUZIONE DELMOTO ARMONICO

Moti bidimensionali

Sono moti che avvengono nel piano XY, e quindi sono descritti da una legge oraria del tipo,

OP(t) = x(t)î + y(t)ĵ

Moto circolare uniforme

È un moto che avviene su traiettorie circolari con velocità v(t) di MODULO costante.

La legge oraria è

• x(t) = R cos Θ(t)
• y(t) = R sen Θ(t)

Dove Θ(t) ha la seguente legge oraria Θ(t) = Θ₀ + ωt

in cui ω = Θ̇ (t) è la velocità angolare del moto, ovvero l’angolo percorso nell’unità di tempo.

Si definisce “periodo” del moto il tempo necessario ad effettuare un giro completo.

T = ²π / ω

Mentre si definisce “frequenza” del moto il numero di giri effettuati nell’unità di tempo.

f = 1 / T = ω / ²π

La legge oraria è allora:

OP⃗(t) = (R_cos (ωt + Θ₀)) (R_sen (ωt + Θ₀))

La velocità è:

𝋄⃗(t) = (-R_wsen (ωt + Θ₀)) (R_wcos (ωt + Θ₀))

Il modulo di ⃗(t) è:

(t) = √(_x²(t) + _y²(t)) = Rω

Si ha anche:

⃗(t) · ⃗(t) = 0 ⇒ ⃗(t) ⊥ ⃗(t)

L'accelerazione è:

⃗(t) = (

• -Rω² cos(ω + Θ_o)
• -Rω² sen(ω + Θ_o)

)

Il suo modulo è V̅(t) ⊥ OP̅(t)

L'accelerazione è:

a̅ (t) = ( -R Θ̈(t) sen Θ(t) - R Θ̇²(t) cos Θ(t) | R Θ̈(t) cos Θ(t) - R Θ̇²(t) sen Θ(t) )

E si compone di due parti:

a̅_T(t) = ( -R Θ̈ sen Θ(t) | R Θ̈ cos Θ(t) ) e a̅_R(t) = ( -R Θ̇² cos Θ(t) | -R Θ̇² sen Θ(t) )

I moduli di tale accelerazione sono:

a_T(τ) = Rθ̈(τ)

dove θ̈(τ) = ω̇(τ) = accelerazione angolare

a_R(τ) = Rθ̇²(τ) = ω²(τ)R

Si osserva che:

v⃗_T(τ) ⋅ o⃗p(τ) = 0 ⇒ v⃗_T(τ) ⟂ o⃗p(τ)

a⃗_R(τ) = -θ̇(τ) o⃗p(τ)