Fisica generale - la meccanica cinematica

Meccanica cinetica

Considerazioni generali

La meccanica ha per oggetto lo studio dei fenomeni del movimento. Il problema della meccanica è sostanzialmente quello di descrivere in modo univoco e semplice tutti i movimenti che si osservano in natura.

Cinematica, statica, dinamica

Si usa dividere la meccanica in cinematica, statica e dinamica.

• Cinematica: una specie di geometria del moto, dove, ai concetti propri della geometria, si unisce il concetto di tempo e si studia il moto spazio-temporale.
• Dinamica: ha il compito di individuare le condizioni essenziali affinché il moto, come fenomeno, si verifichi in modo prevedibile, ovvero individuare le cause del moto che a loro volta si identificano con il concetto di forza.
• Statica: studia le forze in equilibrio e, in qualche modo, può essere considerata come parte della dinamica.

Grandezze fondamentali nella meccanica

In meccanica ci sono 3 grandezze fondamentali:

• Lunghezza (L)
• Tempo (T)
• Massa (M)

Tutte le altre grandezze fisiche in meccanica possono essere espresse in termini di esse.

Moto in una dimensione (I)

La sezione della meccanica che descrive il moto usando i concetti di spazio e tempo, indipendentemente dalle cause del moto, viene detta cinematica. In quanto segue, consideriamo il moto in una dimensione. Dall'esperienza quotidiana si sa che il moto rappresenta il cambiamento continuo della posizione di un oggetto. Il moto di un oggetto attraverso lo spazio può essere accompagnato dalla rotazione e dalla vibrazione dell'oggetto, dando luogo a situazioni molto complesse. Tuttavia, in molte situazioni, un oggetto può essere trattato come un punto materiale (particella) se l'unico moto preso in considerazione è quello di una traslazione nello spazio. Questa approssimazione è lecita quando il corpo è tale che le sue dimensioni lineari sono trascurabili rispetto agli altri parametri in gioco, e che quindi si possono trascurare movimenti rotatori, vibrazionali etc. Il punto materiale è analogo a un punto matematico senza dimensioni.

Moto in una dimensione (II)

Esempi

• Moto della Terra intorno al Sole: l'approssimazione di punto materiale è giustificata dal fatto che il raggio dell'orbita terrestre è molto grande rispetto alle dimensioni della Terra e del Sole.
• Posizione di una nave in navigazione: quando si considera una nave in navigazione, la sua posizione può essere idealizzata come un punto sulla carta nautica e ciò è giustificato dal fatto che le dimensioni della nave sono trascurabili rispetto alle distanze in gioco (cammino percorso, distanza da fari, promontori etc.).

N.B. La descrizione di un sistema fisico con l'approssimazione del punto materiale può essere adeguata a certi scopi ma non ad altri.

Esempi specifici

I. La pressione di un gas sulle pareti di un contenitore può essere spiegata trattando le molecole del gas come particelle, cioè come punti materiali, mentre la descrizione come insieme di punti materiali è inadeguata per comprendere quelle proprietà del gas che dipendono dai moti molecolari come rotazioni e vibrazioni (ad es. calori specifici).

II. Se oltre alla posizione di una nave in navigazione si vogliono considerare i suoi movimenti dovuti alle onde (rollio, beccheggio etc.), l'approssimazione del punto materiale è del tutto inadeguata.

Moto in una dimensione (III)

Velocità media (I)

Il moto di un ciclista che cammina lungo un rettilineo può essere approssimato al moto di un punto materiale quando non ci si interessi ai moti interni come le ginocchia del ciclista che pedalano o la catena di trasmissione della bicicletta. Se si definisce come asse l'asse del moto, siano x_i e x_f rispettivamente le posizioni agli istanti t_i e t_f (gli indici i e f si riferiscono ai valori iniziali e finali). La posizione, e cioè la coordinata spaziale della particella ai successivi istanti temporali, può essere riportata come una curva su un diagramma cartesiano in cui sull'asse delle ascisse viene riportato il tempo e sull'asse delle ordinate la coordinata spaziale, cioè la posizione del punto materiale. Detta curva mette in corrispondenza ogni differente istante temporale con una e una sola posizione del punto materiale lungo l'asse x. Un tale diagramma viene comunemente chiamato un grafico posizione-tempo e si dice che rappresenta “la coordinata del punto materiale in funzione del tempo”.

Nell'intervallo di tempo Δt = t_f - t_i, lo spostamento della particella è Δx = x_f - x_i. La velocità media del punto materiale è definita come il rapporto tra il suo spostamento e l'intervallo di tempo: v_media = Δx / Δt.

Moto in una dimensione (IV)

Velocità media (II)

Dalla definizione è evidente che la velocità media ha le dimensioni di una lunghezza divisa per un tempo, il che in equazioni dimensionali si esprime come: [v] = [L][T]^-1. Le unità di misura nel SI sono m/s. La velocità media non dipende dal particolare percorso fra il punto iniziale e il punto finale (nel caso che il moto non si svolga lungo l'asse x ma nello spazio tridimensionale e che lungo la coordinata x si svolga solo una delle componenti del vettore spostamento): infatti la velocità media è proporzionale allo spostamento Δx che, a sua volta, dipende solo dalle coordinate iniziali e finali del punto materiale.

Di conseguenza, se un punto materiale parte da un certo punto P e ritorna allo stesso punto attraverso un percorso arbitrario, la sua velocità media è nulla poiché il suo spostamento lungo una tale traiettoria è nullo. Lo spostamento non deve essere confuso con il cammino percorso che in uno spostamento arbitrario non nullo è certamente non nullo. Ne consegue che la velocità media non fornisce alcun dettaglio circa il moto fra i punti P e Q ma dà solo un'informazione globale sul risultato di detto moto.

La velocità media in una dimensione (e quindi le componenti nel caso tridimensionale) può essere sia positiva che negativa a seconda del segno dello spostamento (ricordare che Δt è sempre positivo). Se Δx > 0 allora v > 0, cioè la velocità media è diretta secondo le x crescenti. Se Δx < 0 allora v < 0.

Moto in una dimensione (V)

Velocità media (III)

La velocità media può anche essere interpretata geometricamente disegnando una retta fra i punti P e Q sul diagramma che rappresenta la posizione in funzione del tempo. Questa retta forma l'ipotenusa di un triangolo di altezza Δx e base Δt. La pendenza di questa retta è il rapporto Δx / Δt. Si può quindi concludere che la velocità media della particella durante l'intervallo da t_i a t_f eguaglia la pendenza della retta che congiunge i punti iniziali e finali del grafico spazio-tempo.

N.B. Con la parola pendenza si intende il rapporto fra la variazione della quantità rappresentata sull'asse verticale e la variazione della quantità rappresentata sull'asse orizzontale. La pendenza è uguale alla quantità chiamata coefficiente angolare in geometria analitica.

Moto in una dimensione (VI)

Velocità istantanea (I)

La velocità di un punto materiale ad un istante arbitrario t è detta velocità istantanea. Questo concetto è particolarmente utile quando la velocità media in differenti intervalli di tempo non è costante. Dato il moto di un punto materiale fra due punti del grafico spazio-tempo, man mano che il punto si avvicina sempre di più al punto Q, gli intervalli di tempo (Δt₁, Δt₂, Δt₃) diventano sempre più piccoli. La velocità media per ciascun intervallo di tempo è la pendenza della corrispondente linea tratteggiata. Quando il punto Q tende a P, l'intervallo di tempo tende a zero ma contestualmente la pendenza della linea tratteggiata tende alla pendenza della retta tangente alla curva nel punto P. La pendenza della retta tangente nel punto P è definita come la velocità istantanea all'istante t.

Vero Δt → 0, la velocità istantanea eguaglia il valore limite del rapporto Δx/Δt.

Moto in una dimensione (VII)

Velocità istantanea (II)

Con la notazione del calcolo differenziale, questo limite è chiamato la derivata di x rispetto a t e scritto come dx/dt. La velocità istantanea può essere positiva, negativa o nulla. D'ora in avanti adopereremo la parola velocità per indicare la velocità istantanea.

Moto in una dimensione (VIII)

Accelerazione media

Quando la velocità varia nel tempo si dice che il punto materiale è accelerato. Per esempio, la velocità di un'automobile aumenta quando si "schiaccia" l'acceleratore. Ovviamente, è necessaria una definizione di accelerazione più precisa di questa. Dato un punto materiale in moto lungo l'asse x con velocità v_i e v_f rispettivamente agli istanti t_i e t_f (gli indici i e f si riferiscono ai valori iniziali e finali), l'accelerazione media del punto materiale nell'intervallo di tempo Δt = t_f - t_i, è definita come il rapporto tra la sua variazione di velocità e l'intervallo di tempo: a_media = Δv / Δt.

L'accelerazione ha le dimensioni di una lunghezza divisa per un tempo al quadrato, che in equazioni dimensionali si esprime come: [a] = [L][T]^-2. Le unità comunemente adoperate nel SI sono m/s².

Moto in una dimensione (IX)

Accelerazione istantanea (I)

In generale, il valore dell'accelerazione media può essere differente in differenti intervalli di tempo.