Fisica generale - la meccanica cinematica

Q P



v

considera il limite del rapporto quando tende a zero,

zero si

t



t

accelerazione istantanea

Ottiene l’ 

v d v

 

a lim 

  t d t

t 0 derivata della velocita` rispetto

Per definizione l’accelerazione istantanea e` quindi la

al tempo

p p

pendenza

ovvero e` data dalla del g

grafico velocita`-tempo.

p

Analogamente al caso della velocita` se e` positiva l’accelerazione e` diretta verso i

a

valori di crescenti e viceversa verso i valori di decrescenti se e` negativa.

x x a

accelerazione istantanea .

Con il termine accelerazione si suole indicare l’

d x accelerazione istantanea

Dato che , l’ puo` anche essere scritta:



v d t   2

d v d d x d x

  

 

a   2

d t d t d t d t

derivata seconda della coordinata rispetto al tempo

Cioe` l’accelerazione e` uguale alla

Moto in una dimensione (X)

Accelerazione Istantanea (II)

La curva accelerazione-tempo puo` essere dedotta dalla curva velocita`-tempo.

In queste rappresentazioni l’accelerazione ad un generico istante e` semplicemente la

pendenza del grafico velocita`-tempo a quell’istante. Valori positivi dell’accelerazione

corrispondono a quei punti in cui la velocita

velocita` cresce nel verso delle crescenti (

(*)

).

x

L’accelerazione raggiunge un massimo all’ istante , quando la pendenza del grafico

t

A

velocita`-tempo e` massima. L’accelerazione si riduce a zero all’istante , quando la

t B

velocita` e` massima (cioe` quando la pendenza della curva in funzione di e`

v t

nulla). Poi l’accelerazione e`

` negativa quando la velocita`

` nel verso delle crescenti

x

decresce nel tempo fino a fermarsi, cambiare verso all’istante , quando

t

C

l’accelerazione negativa raggiunge un minimo (cioe` il suo modulo e` a un massimo ma

il suo segno e

e` negativo),

negativo) per poi nuovamente crescere,

crescere sempre con il segno negativo,

negativo

fino a diventare nulla quando la velocita` raggiunge un minimo.

N.B.

(*) Il fatto che una velocita` negativa, e quindi diretta nel verso delle x

decrescenti

decrescenti, decresca in modulo fino ad annullarsi per poi diventare positiva,

positiva e di

conseguenza diretta nel verso delle crescenti, implica che essa cresca nel verso

x

delle crescenti.

x Moto in una dimensione (XI)

Moto con accelerazione costante (I)

Nel caso di accelerazione costante l’accelerazione media e` pari all’accelerazione

istantanea e di conseguenza la velocita` cresce o decresce con la stessa rapidita`

d

durante il

l moto. 



v v v

Sostituendo con nell’equazione 

 f i

a a a  

t t t

 f i

v v



si ottiene f i

a 

t t

f i

Ponendo e (istante di tempo arbitrario), (velocita` iniziale a ) e

t = 0 t = t v = v t = 0

i f i 0

(velocita`ad

( l it ` d un tempo

t arbitrario

bit i ) si

i puo`

` esprimere

i l’

l’accelerazione

l i come

v = v t)

f 

v v

 0

a t

 

da cui per la velocita`si ottiene (per costante)

v v a t a

0

Questa espressione ci permette di predire la velocita` ad ogni istante se la

t

velocita` iniziale, l’accelerazione ed il tempo trascorso sono noti.

Moto in una dimensione (XII)

Moto con accelerazione costante (II)

Il grafico della velocita` in funzione del tempo per un moto

uniformemente

con accelerazione costante (detto anche

accelerato

) e` rappresentato da una retta la cui pendenza e`

l’accelerazione a.

Da questo grafico e dalla relazione si vede che la

v = v + at

0

velocita` ad un istante arbitrario e` la somma della velocita`

t

iniziale e della variazione di velocita

velocita`

v at.

at

0

Dato che la velocita` varia linearmente nel tempo secondo la

relazione si puo` esprimere la velocita` media in un

v = v + at

0

intervallo di tempo arbitrario come la media aritmetica della

velocita` iniziale e della velocita` finale .

v v

0 

v v

 0

v 2

N.B. Questa espressione e` valida solo quando l’ accelerazione e`

costante linearmente

cioe` quando la velocita` varia con il tempo.

Il grafico dell’accelerazione in funzione del tempo e` una

retta con pendenza nulla poiche` l’accelerazione e` costante.

Se l’accelerazione fosse negativa (una particella che decelera,

cioe

i ` rallenta),

ll t ) la

l pendenza

d d

del

l grafico

fi d

della

ll velocita

l it ` in

i

funzione del tempo sarebbe negativa.

Moto in una dimensione (XIII)

Moto con acceleraz

accelerazione

one costante (III)

 

x x x

Facendo uso della relazione che definisce la velocita` media si puo`

  f i

v 



t t t

ottenere lo spostamento

p in funzione del tempo.

p

f i

Di nuovo, scegliendo , istante in cui la posizione iniziale e` si ottiene

t = 0 x = x

i i 0



 

v v

     

0

x v t t

 

2

 

1 (per

(p )

ovvero   

x x v v t a = costante)

0 0

2

Si puo` ottenere un’altra utile espressione per lo spostamento sostituendo la

relazione

l i nella

ll relazione

l i sopra trovata

t t ottenendo

tt d

v = v + at

0  

1

   

x x v v a t t

0 0 0

2 1

   2 (per

x x v t a t a = costante)

0 0 2

Moto in una dimensione (XIV)

Moto con acceleraz

accelerazione

one costante (IV)

Infine si puo` ottenere una equazione che non contiene il tempo sostituendo il

valore di che si ottiene dalla solita relazione nell’equazione  

1

t v = v + at   

x x v v t

0 0 0

 2

e cioe`

i ` per cui

i sostituendo

tit d si

i ottiene

tti

v v

 0

t a 

 

 2 2

  v v v v

1 

   

 0 0

x x v v

0 0 

 a a

2 2

 

  

2 2

v v 2 a x x

0 0

1

   2

x x v t a t

0 0 2 Nel grafico posizione-tempo

posizione tempo un moto uniformemente

accelerato con accelerazione e` rappresentato da un

a > 0

arco di parabola descritto dall’equazione 1

   2

x x v t a t

0 0 2

La pendenza della tangente a questa curva a e

e` pari

t = 0

alla velocita` iniziale, , e la pendenza della tangente ad

v 0

un tempo arbitrario e` pari alla velocita`v a quell’ istante

t

Se il moto avviene con accelerazione nulla allora si vede che



v v quando

0 a = 0.

 

x x v t

0

Cioè quando l’accelerazione è nulla la velocità è costante e lo spostamento varia

linearmente nel tempo. Moto in una dimensione (XV)

Moto con accelerazione costante (V)

Tabella Riassuntiva Equazioni Cinematiche

Le relazioni di cui sopra possono essere adoperate per risolvere qualsiasi problema di moto in

accelerazione costante

una dimensione a condizione che l’ sia e secondo cosa è noto all’ inizio.

E` spesso conveniente scegliere la posizione iniziale della particella come origine del moto cosicchè

.

e . In questo caso lo spostamento è semplicemente

= 0 t = 0 x

x 0 Moto in una dimensione (XVI)

Moto con accelerazione costante (VI)

Accelerazione di Gravità

Un corpo abbandonato a se stesso in prossimità della superficie

terrestre accelera verso il basso sotto l’influenza della forza di gravità.

S

Se la

l resistenza

i t d

dell’aria

ll’ i è stata

t t eliminata

li i t (collocando

( ll d il corpo in

i un

caduta libera

recipiente in cui è stato praticato il vuoto), il corpo è in e

costante

il moto verso il basso procede con accelerazione . È un fatto

notevole che il valore di questa accelerazione è esattamente lo stesso

per tutti i corpi abbandonati a se stessi nella stessa posizione. Nella

cronofotografia è illustrata una dimostrazione sperimentale

(*)

dell’uguaglianza delle accelerazioni di due corpi in caduta libera.

accelerazione

l d

di gravità

à

Questa accelerazione

l è detta

d e si denota

d con .

g

Il valore approssimato di è

g m



g 9

,

81 2

s

Il valore esatto dell’accelerazione di gravità varia da luogo a luogo sulla Terra e

cresce con l’altitudine geografica e decresce con la latitudine. In Europa, Asia e

America Settentrionale si può assumere per il valore a meno di .

m m



g 9

,

81 0

,

02

2 2

s s

Per descrivere il moto di caduta libera si orienta l’asse nella direzione verticale

x

ascendente e quindi per cui le equazioni per e per del moto uniformemente

a = -g v x

accelerato diventano 1

e

     2

x x v t g t

v v g t 0 0

0 2

Una cronofotografia è una fotografia eseguita tenendo aperto l’otturatore della macchina in una stanza buia con una

(*)

lampada a “flash” che illumina gli oggetti con lampi che scattano ad istanti posti ad intervalli di tempo uguali fra loro

Moto in una dimensione (XVII)

Equazioni Cinematiche derivate dal calcolo (I)

La

L velocita`

l i ` di un punto materiale

i l che

h si

i muove di moto rettilineo

ili si

i puo`

` ottenere

dalla conoscenza della sua posizione in funzione del tempo ed e` la derivata della

coordinata rispetto al tempo.

Esiste

E i tuttavia

i anche

h il problema

bl i

inverso e cioe`,

i ` conoscendo

d la

l velocita`

l i ` in

i funzione

f i

del tempo determinare lo spostamento di un punto materiale. Nel Calcolo questa

integrazione

procedura e` chiamata .

Dato

D t un diagramma

di di velocita`

l it ` in

i funzione

f i d

del

l tempo

t per un punto

t materiale

t i l che

h si

i

muove lungo l’asse , si suddivide l’intervallo di tempo in molti intervalli parziali di

x t - t

f i

durata abbastanza piccoli da poter considerare l’accelerazione come

t

n

approssimativamente costante in ciascun intervallo. Dalla definizione di velocita

velocita` media

si puo` vedere che lo sposta