Istituzioni di Geometria - appunti ed esercitazioni

ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

• 48h con FNO + 24h con MARCHISIO
• Scritto + Orale
• sulla parte della FNO
• gli esercizi sui fogli
• Moduli - dettato delle lezioni - radon delle lezioni
• Testi:
  • Lee, Smooth Manifolds
  • Aubin, A first course in differential geometry

Consideriamo funzioni differenziabili

F: \Omega \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m

• aperto

Sia F: \Omega \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m e differenziabile in x_0 \in \Omega e esiste un'applicazione lineare A \in \text{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^m) tale che \forall y \in \mathbb{R}^m tale che x_0 + y \in \Omega e \varepsilon > 0 hai F(x_0 + y) = F(x_0) + A(y)|y| \cdot c(x_0, y)

• dove c(x_0, y) \rightarrow 0 se |y| \rightarrow 0

A = F'(x_0) = \text{d}F (x_0), si dice differenziale di F in x_0

\text{d}F: x_0 \in \Omega \rightarrow F'(x_0) \in \text{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^m)

dove F = (f_1, ..., f_m) dove f_j: \Omega \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}

Il differenziale \text{d}F(x_0) è rappresentato rispetto all'basi armoniche di \mathbb{R}^m e \mathbb{R}^m come:

\frac{\partial f_j}{\partial x_i} (x_0) \forall j = 1, ..., m

avere una matrice con m colonne e m righe

matrice jacobiana di f in x₀

indichiamo con ∞ un infinitamente differenziabile.

⇔ F è analitica (nel senso reale)

cioè C∞ + sviluppabile in serie di Taylor (di potenze)

ESEMPIO funzione C∞ ma non Cω

f(x) = {0, x ≤ 0 e^-1/x2, x > 0}

è C∞ su ℝ ma non Cω ovvero f^(m)(a) = 0

Varietà differenziabili

✯ Un spazio localmente euclideo di dimensione m (o varietà topologica di dimensione m) M è uno spazio topologico di Hausdorff (T2) a base numerabile (rispetto alla topologia di Hausdorff) tale che ∀ p ∈ M ha un intorno omeomorfo ad un aperto Vα ∈ ℝ^m

φ : U ⊂ M → V ⊂ ℝ^m carta locale (intorno a p) o mappa coordinata

✲ le funzioni x_i = π_i o φ sono dette coordinate locali rispetto a (U, φ)

dove π_i : ℝ^m → ℝ : (a₁ ... a_m) → a_i proiezione

Indichiamo (U, φ) come carta locale

ESERCIZIO 1 _IR^m (d p.p.) struttura differenziale ordinaria

ESERCIZIO 2 spazio vettoriale reale di dimensione finita m

ogni norma su V determina una topologiache non dipende dalla scelta della norma

struttura di varietà reale di dimensione m ↪

Se β={e^1,...,e^m} base di V ⇒ β^*={e₁,...,e_m} base duale

deteremina le funzioni coordinate di unacarta globale

E : IR^m → V : (x¹,...,x^m) ∈ IR^m ↦ ∑_i=1^m x^i e_i

DIFEOMORFISMO.

~ atlante {h (U ⊆ E)|V} determina in modo unicouna struttura differenziale di classe ∞ chenon dipende dalla scelta della base.

⇒ basi diverse determinano carte compatibilifunzione di transizione è un isomorfismorappresentato da una MATRICE NON SINGOLARE

(det ≠ 0) ~ diffeomorfismo

Se β= {e₁,...,e_m} un’altra base di V

α^* ={f^1,...,f^m}

se A = ^βα matrice del

cambiamento dibase

(sulle colonne componentidei vettori di E rispettoa β)

⇒ μ β^* = α^*^tA⁻¹ -

⇒ le carte (V, E=) e (V, F=) determinate da βa E sono compatibili

ψ₂ : U₂ → ℝ^m (x₂, x_m+1) → ¹⁄_{1 + xm+1} (x₂, x_m)

γ₂(P) = (retta SP) ∩ (x_m+1 ∼ 0)

ESERCIZIO: calcolare γ₂ o γ₁^-1

trova P_A : (x_m, x_m, ...) → ¹⁄_{1 + ||u||²} (2u_m, 2u_m, ..., ||u||² -1)

Supponiamo che il triangolo ON_A e OS_A sono tra loro simili (verificare per esercizio) tracciando le coordinate polari in ℝ^m

su ℝ^m le coordinate polari ρ, φ, θ₁, ..., θ_m-2

(longitudine)

con 0 ≤ θ_i ≤ π e 0 ≤ φ ≤ 2π tali che

• x₁ = ρ cos φ cos θ_m sin θ_m+1
• x₂ = ρ sin φ cos θ_m sin θ_m+1
• x₃ = ρ cos φ sin θ_m (sin θ_m-1)
• ...
• x_i = ρ cos θ_i-2 sin θ_i-3 ... sin θ_m-1
• x_m+1 = ρ cos θ_m-1

Atlante su S^m : (U₁, φ₁), (U₂, γ₂)

• dunque con (r, α) (r, α’) angolo tra Ň_A e Ň_S

d(0, g_A) = γ₁ (P)

• per γ₁(P) considera le coordinate polari (r, α)
• per γ₂(P) coordinate polari nel piano unicamente NSQ: (p, w) angolo tra Ň₂e Ň_S

d(0, g₂)

carte locali che ricoprono R/ℤ

cambio di coordinate

φ₀∘φ₁^-1(u₁)=(0, 1/2)∪(1/2, 1) → (-1/2, 0)∪(0, 1/2)

• x̅ ⟼ x ⟺ x∈(0, 1/2)
• x̅ ⟼ x-1 ⟺ x∈(1/2, 1)

⇒ continuo ∞∞

φ₀∘φ₁^-1 (1/2, 1)∪(-1, -1/2)∪ (-1/2, 0)

• x̅ ⟼ x ⟺ x∈(0, 1/2)
• x̅ ⟼ x+1 ⟺ x∈(0, 1/2)

che è poi

⇒ atlante ∞∞ su R/ℤ

• R/ℤ→S¹ ; z∈ℂ |z|=1

[ℰ]= e^2πix̅

ESEMPIO

Sfera di Riemann

• φ₀ ≅ R²
• φ₁: U₁→R² ; z̅ ⟼ 1/z̅
• φ₀∘φ₁(u₁) = ℂ⧵{0}
• φ₁∘φ₀^-1(z) = 1/z
• (x, y)_⟼ x/(x²+y²) - y/(x²+y²)

ESEMPIO 2

Consideriamo π: R^m+1 - {0} → P^m(R)

π([x])

c'è l'iso che π è esa

su R^m+1 - {0} ⊆ R^m+1{0}

su P^m(R) si ha un atlante esa {U_i, φ_i}, i=1, ...m+1

xi ≠ 0

Devo verificare che

ψ_i ∘ π ∘ (ι_R(m+1)-(0)})^-1 ℝx_i, ... x_m+1

φ_i : π([x₁, ... x_m+1]) = φ_i([x₁:...x_m+1]) =

(x₁...x_i-1x_i+1....x_m / x_i...x_m / x_i)

ESEMPIO 3

p: S^m → P^m(R) è

perchè è la restrizione di π a S^m

p è iso

Un diffeomorfismo tra due varietà differenziabili

M e N ammette biiettiva F: M → N esa sm inversa F-

ambi casi ξ

M e N sono affeomorfe se 3 F: M → N difieomorfismo

ESEMPIO 1

B^m = palla aperta in ℝ^m

F: R^m → ℝ^m - [x] _G - [x / 1-‖x‖²] [x / 1-‖x‖²]

ESEMPIO 2

Se c varietà esa e [U, φ] carta locale a tali

OSSERVAZIONE

Ogni varietà esa e di dimensione 1 è diffemorphal al ℝ o al S¹