Istituzioni di Geometria - appunti ed esercitazioni

ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

18h con FINO + 24h con MARCHISIO

Scritto + Orale

sulla parte della Fino

gli esercizi sui fogli

Modole - audio delle lezioni - radam delle lezioni

Testi:

• Lee, Smooth Manifolds
• Aubin, A first course in differential geometry

Consideriamo funzioni differenziabili

F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m

aperto

Sia F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m e differenziabile in x₀ ∈ Ω se esiste un'applicazione lineare A ∈ L(ℝ^m, ℝ^m) tale che ∀ y ∈ ℝ^m tale che x₀ + y ∈ Ω e si ha F(x₀ + y) - F(x₀) = A(y) + ||y|| c(x₀, y) dove c(x₀, y) → 0 se y → 0

A = F'(x₀) = dF(x₀), si dice differenziale di F in x₀

dF : x₀ ∈ Ω → F'(x₀) ∈ L(ℝ^m, ℝ^m) dove F = (F₁, ..., F_m) dove F_j : Ω ⊂ ℝ^m → ℝ

Il differenziale F'(x₀) è rappresentato rispetto alle basi canoniche di ℝ^m e ℝ^m come

∂F_j/_∂xi(x₀),_i = 1, ..., m

ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

18h com FIMO + 24h com MARCHISIO

• Scritto + Orale
• sulla parte della FIMO,
• gli esercizi sui fogli.

Modole - dettio delle lesioni - radun delle lesioni

Teati:

• Lee, Smooth Manifolds
• Aubin, A first course in differential geometry.

Consideriamo funzioni differenziabili

F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m

aperto

• Sia F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m è differenziabile
• in x₀ ∈ Ω e esiste un'applicazione lineareA ∈ L(ℝ^m, ℝ^m) tale che ∀ y ∈ ℝ^m tale chex₀ + y ∈ Ω e si ha F(x₀ + y) - F(x₀) = A(y)+ || y || C(x₀, y)dove C(x₀, y) → 0 se y → 0
• A = F'(x₀) = dF(x₀), si dice differenzialedi F in x₀
• dF: x₀ ∈ Ω → F'(x₀) ∈ L(ℝ^m, ℝ^m)
• dove F = (F₁, ..., F_m), dove F_j: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ
• il differenziale F'(x₀) è rappresentato rispetto allebasi canoniche di ℝ^m e ℝ^m come

∂F_j(∂x_i)(x₀)(i, j = 1, ..., m)

avere come una matrice con m colonne e m righe

matrice jacobiana di f in x₀

chiami f^∞ → ∞ infinitamente differenziabile

F è analytic (nel senso reale) cioè ∞ e sviluppabile in serie di Taylor (di potenze)

ESEMPIO

funzione f^∞ ma non f^ω

f(x) = { 0,  x < 0e^-1/x2,  x > 0

è f^∞ su ℝ

ma non f^ω ovvero f^(m)(0)=0

Varietà differenziabili

Uno spazio localmente euclideo di dimensione m (o varietà topologica di dimensione m) M è uno spazio topologico di T2 a base numerabile (rispetto alla topologia di T2) tale che ∀ p ∈ M ho un intorno omeomorfo ad un aperto V di ℝ^m

ψ: U ⊂ M → V ⊂ ℝ^m carta locale (intorno a p) o mappa coordinata

le funzioni xⁱ = π_i∘ ψ sono dette coordinate locali rispetto a (U, ψ)

dove π_i: ℝ^m → ℝ | ∀α = (a₁ - a_m) → a_i proiezione

chiamiamo (U, ψ) una carta locale

Chiamiamo (U,φ) con pεU una carta centrata in p

se φ(p) = 0 IR^m ϖvero φ(p) = (0, ..., 0)

p ha coordinate (x₁, ..., xₘ) ⇒ coordinate di φ(p) ε IR^m

ESEMPIO

Grafico di una funzione continua

U c IR^m aperto

F: U c IR^m → IR^k funzione continua

Consideriamo il grafico di F : Γ(F)

Γ(F) = {p ϵ IR^m ᐧ IR^k | xεU e

y = F(x) }

Su Γ(F) vado a prendere la topologia sottospazio

indotta da quella standard IR^m s IR^k

π₁ : IR^m s IR^k → IR^m ; (x,y) ─> x proiezione sul primo fattore

π₁ | Γ(F) := φ: Γ(F) → U: (x,y) ─> x aperto di IR^m

è continuo perchè restrizione di una funzione continua

(π₁ | Γ(F))^-1 (x) = { x, F(x) } ^-1_continuo

⇒ Γ(F) è una varietà topologica di dimensione m

(U, φ) CARTA GLOBALE

Strutture differenziabili

Una struttura differenziabile M di classe C^k (1 ≤ k ≤ ∞) su uno spazio localmente euclideo di dimensione n è una collezione di carte

A= { (Uᵧ, φᵧ) } _{y ε A}

ovvero {U_α} è un ricoprimento aperto

(2) φ_&alpha