Istituzioni di Calcolo delle Probabilità - appunti ed esercitazioni

ISTITUZIONI di PROBABILITÀ

26 Settembre 2017

• Lo scritto vale solo per l'appello
• Compit - testo di riferimento (pubblicazione dei differenti blocos
• Orale - estrazione di due domande a caso

Approccio teorico del Corso

ESPERIMENTO CASUALE: Lancio di un dado

Ω={2,3,4,5,6,7}

spazio campione

P(X=x_i) = [p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆]

X = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

P(1 ≤ X ≤ 3) = p₁ + p₂ + p₃ con p_i > 0

∀i = 1, ..., 6

F_X(x) = ∑_zi<x p_i ≤ 1, ∑_i=1⁶ p_i = 1

VARIABILE ALEATORIA DISCRETA

ESEMPIO 2

Ω = {studenti di ...}

X = Ω → ℝ : ω → 1,68

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

con

• f_X(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ
• ∫_-∞^+∞ f(x) dx = 1

e F_X(x) = ∫_-∞^x f(t) dt

funzione di distribuzione

Facciamo degli esempi che non rientrano né nel primo caso né nel secondo (i.e., non sono né discrete né continue ma presentano valori discreti e misure continue)

ESEMPIO 3

F(x) = {     0          x < 0     1/2     x ∈ [0,1]     1          x > 1 }

È una funzione di distribuzione?

• È non decrescente
• È continua da destra
• lim_x→-∞ F_X(x) = 1    e    lim_x→+∞ f_X(x) = 0

È possibile definire X tale che F_X(x) = f_(x)?

ESPERIMENTO CASUALE:

• a) Lancia una moneta equa
• b) Estrae un numero a caso tra 0 e 1

P(X ≤ x) = {     0      x < 0     P(X ≤ x|T)P(T) + P(X ≤ x|C)P(C)    x ∈ [0,1]     1      x > 1 }

P(X ≤ x|T) = 0    x < a

= {     0. . . . . . x < 0     0 . . + x . . . . . . . x ∈ [0,1]     1      x > 1 }

Quindi se ω ∈ [0,1] allora la sua espansione diadica (in ω_i) è seguente di 0 e 1. ε ∈ {0,1}^∞

Il nome dei casi particolari:

• 1/2 = .10000...
• 0.041 = ...
• espansione binaria
• espansione diadica

Ad esempio: (7, c, c) = (1) ω ∈ [0,0,1] ε ∈ {0,1}^∞

Consideriamo A = {ω ∈ [0,1] di ω_i = u_i con i ∈ {1, ..., m}}

dopo aver fissato m ∈ ℕ e con u_t, ..., u_m ∈ {0,1}

Scelto ω ∈ A => \[ \sum_{i=1}^{M} \frac{u_i}{2^i} ,\ ω ≤ \sum_{i=1}^{M} \frac{1}{2^i} + \sum_{i=M+1}^{∞} \frac{1}{2^i}. \]

Questo è un caso "non raggiungibile" (u_n, …)

Questo è un caso raggiungibile per (u^m, ..., u¹, ..., )

Questo intervallo rappresenta l'evento che i primi m lanci hanno dato esiti u_n, u^m => P(A)= 1/ 2^m

Per m=1 \[ \frac{u_i}{2^1} \] = 0 \[ \frac{1}{2} \]

u₂ = 0 => 0 ≤ ω ≤ 0.041 = ...

u_n = 1 => 1/2 ≤ ω < ...

Per m=2 \[ \sum_{i=1}^2 \frac{u_i}{2^i} = \frac{u_1}{2} + \frac{u_2}{4} \]

quindi (u₁, u₂) ∈ {(2, 0), (0, 1), (1 0), (1, 1)}^∞

ω ∈ [0, 0, 0.041]

Notiamo che 4=2² e che E₁, E₂, E₃, E₄ formano una partizione di Ω

σ({A₁₁, A₂₁}) = {φ, E₁, E₂, E₃, E₄, E₁ ∪ E₂,

    E₁ ∪ E₃, E₁ ∪ E₄, E₂ ∪ E₃, E₂ ∪ E₄,

    E₃ ∪ E₄, E₁ ∪ E₂ ∪ E₃, E₁ ∪ E₂ ∪ E₄,

    E₁ ∪ E₃ ∪ E₄, E₂ ∪ E₃ ∪ E₄, Ω}

= {φ, {2, 6}, {5, 7}, {2, 4}, {2, 1}, {3}, {2, 5, 6}, {1, 2, 4, 6},

    {1, 3, 6}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 5}, {1, 2, 3, 4},

    {2, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 6}, Ω}

Ω₄

Alcuni metodi per costruire G(F)

Una collezione P di sottoinsiemi di Ω è un p-sistema (π-systems) se è chiusa rispetto a intersezione. Finito, ossia A ∩ B ∈ P ∀ A, B ∈ P

Una collezione D di sottoinsiemi di Ω è un dooplicato o:

1. Ω ∈ D
2. A ∈ D ⇒ A^c ∈ D
3. A_n, A_z ∈ D (mutuamente esclusivi)

   ⇒ ∪_i A_i ∈ D

ESEMPIO

Ω = {a, b, c, d}

F = {φ, Ω, {a, b}, {c, d}, {2, b, d}, {a, d}, {a, d},

    {b, c, d}}

• F non è p-sistema, poiché {a, b} ∩ {2, b, d} = {2, b} ≠ F
• F non è un σ-algebra poiché {2, b} ∪ {c, d} = Ω ∉ F
• F è un al-sistema

* Si può dimostrare che se M è un'algebra ed è una classe monotona, allora M è una σ-algebra.

(La dimostrazione è analoga a quella fatta per dimostrare che se ho una σ-algebra con λ, (2), (3) allora vale (B)).

- Esercizio: Sia F una collezione (o collezioni) di f.

Sia m(F) = ⋂{m | m è un'algebra, f ⊆ F} è classe monotona contenente F (se F è un'algebra => σ(F) = m(F) è classe monotona)

Supponiamo: Osserviamo che se σ(F) è una σ-algebra: σ(F) è una classe minima che contiene f => σ(F) = m(F).

Ora devo dimostrare che σ(F) ⊆ m(F). Se dimostramo che m(F) è un'algebra, allora per l'osservazione * => m(F) è una σ-algebra e quindi m(F) ⊇ σ(F).

Facciamo A ∈ m(F) e sia D(A) = {B ∈ m(F) | A ∪ B, A ∩ B ∈ m(F)}.

Osserviamo che D(A) = m(F) e D(A) è un'algebra.

Se mostriamo che D(A) è una classe monotona e che D(A) ⊇ σ, allora D(A) = m(F).

• (2) => D(A) = m(F)

=> D(A) è un'algebra = m(F) è un'algebra.

Dim (1): L'osservare Φ ∈ D(A) [perché Φ ∈ m(F) implica A ∈ D(A)].

Osserviamo che (frase B ∈ m(F)) proviamo a definire D(B):

questa la seguente proprietà: ai parametri A ∈ D(B)

Acc org B, A ∈ D(A).

Notiamo che D(A) è chiusa per unione di successioni.

Prendenti quali ⋃ U ⊂ Bi con Bi ∈ D(A) e B1, B2, B3...

Devo dimostrare che ⋃ UBi ∈ D(A): Per dimostrare che

∀Bi ∈ D(A) devo dimostrare che

A ∪ ⋃ Bi, ⋃ Bi ∪ ⋂ Bi, A ∩ ⋂ (⋃ Bi) ∈ m(F)

2 Ottobre 2014

∞ = {2_x, 2_y^α spazio campione di Bernoulli

(IR^T, B(IR^T)) dove T è un insieme di indici arbitrario

IR^T = {x = {x_t}_t∈T funzioni da T in IR}⁢

ESEMPI

T = Z_J, Z_K ⇒ IR^T = IR^Z_K = {x(2_t, ..., 2_xk)}_{2t ∈ IR per i = 1, ..., k}

T = N = IR^N = {successioni numeriche di numeri reali}⁢

In genere si accoglie T = {0, α}

IR^T è utile per studiare i processi stocastici.

Un processo stocastico

è una collezione di variabili aleatorie indiciate da T ⇒

{X_t}_t∈T

X(t_t) oppure X_tt

⋆

Come sono fatti i cilindri che generano B(IR^T)?

C_t1...tm(x_{tn - XIm) = {xt ∈ IR^T | xtn ∈ Im}}

dove I_j = {a¹, bⁱ} per i = 1, ..., m j n fissato

e t_n < t₂ < ... < t_m scelti in T

TEOREMA (senza dimostrazione) Se un insieme di indici arbitrario ogni A ∈ B(IR^T) ha la seguente struttura.

• ∃ fini numerazione T' = {t_n, t₂, ..., }⊆ T

• ∃ B ∈ B_I(IR^T')