Istituzioni di Calcolo delle Probabilità - appunti ed esercitazioni

Istituzioni di probabilità

26 settembre 2014

Lo scritto vale solo per l'appello

Simular - testo di riferimento

Pubblicazione dei riferimenti del libro

Orale - estrazione di due domande a caso

Approccio tecnico del corso

Esperimento casuale: lancio di un dado

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Spazio campione

P(1 ≤ X ≤ 3) = p₁ + p₂ + p₃ con p_i > 0 per i = 1, ..., 6

∑_i=1⁶ p_i = 1

F_X(x) = ∑_zi≤x p_i

Esperimento casuale: misurare l'altezza

Ω = {studenti di...}

X: Ω → &R; = ...

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

f_X(z)

F_X(x) = ∫_-∞^x f(t) dt

Funzione di distribuzione

Istituzioni di probabilità

26 Settembre 2014

Lo scritto vale solo per l'appello

Cimilar testo di riferimento

Pubblicazione dei riferimenti di libro

Orale - estrazione di due domande a caso

Approccio tecnico del corso

Esperimento casuale: lancio di un dado esteso

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Spazio campionario

P(1 <= X <= 3) = P₁ + P₂ + P₃ con p_i > 0 per i = 1, ..., 6

F_X(x) = Σ p_i <= Σ p_i = 1

Esempio 2: esperimento casuale

Misurare l'altezza

Ω = {studenti di ...}

X: Ω → ℝ: w → 1,68

P(a <= X <= b) = ∫_a^b f(x) dx

Conf(x) > 0 V x ∈ ℝ

∫_−∞^+∞ f(x) dx = 1

e F_X(x) = ∫_−∞^x f(t) dt

Disegnato: f(x) densa di probabilità

Funzione di distribuzione

Esempi che non rientrano nei casi discreti o non comuni

Esempio

F(x) = { 0 x ≤ 0, 1/2 x ∈ (0,1), 1 x ≥ 1}

È una funzione di distribuzione?

È una funzione di distribuzione se:

• È non decrescente
• È continua a destra
• lim_z→+∞ F_X(z)=1 e lim_z→-∞ F_X(z)=0

È possibile definire X tale che F_X(x) = f(x)?

Esperimento casuale

• A: Lancia una moneta equa
• B: Prime 1(T) = 1
• C: b) Estrarre un numero a caso tra 0 e 1

F_X(x) = P(X ≤ x) = { P(X ≤ x|T)P(T) + P(X ≤ x|C)P(C) x ∈ (0,1)}

{ 0 x (x,z) = ¹/₂ Fμ(x) + ¹/₂ H(x -1)

Dove Fμ(x) è la funzione di distribuzione di Fμ(x) = {0  z < 0, z  z∈[0, 1], 1  z > 1}

Mentra H(x) è la funzione gradino di Heaviside H(x) = {0  z < 0, 1  z > 0}

Spazio di probabilità

(Ω, , ↋)

Sia F una collezione di sottoinsiemi di Ω

Diciamo che F è algebra se:

Ω ∈ F

• A ∈ F ⇒ A^c ∈ F
• A,B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F

F è σ-algebra se:

• Ω ∈ F
• A ∈ F ⇒ A^c ∈ F
• {A_i; i ∈ &Nopf;} ∈ F = V_i A_i ∈ F chiusa rispetto ad unione ed intersezione numerabile

Esempio

Se Ω è finito ⇒ ogni algebra su Ω è anche una e-algebra

Ω = {a₁, a₂} ⇒ σ(Ω)  e-algebra delle parti Ω = &varnothing;, {a₁, a₂} è una e-algebra

La σ-algebra ci fa da ponte tra R e P e quindi per costruire una σ-algebra ci poniamo il problema della esistenza.

P: Σ → R (la probabilità è una funzione con dominio una σ-algebra)

• a: P(A) > 0, ∀ A ∈ Σ
• b: P(Ω) = 1
• A₁, A₂, ... ∈ Σ (mutuamente esclusivi) ⇒ P(⋃_i A_i) = Σ_iP(A_i) additivamente numerabile

Problema di ULAH

Esiste una misura numerabilmente additiva definita su P(Ω) con Ω arbitrario, che prenda due soli valori 0 ed 1, nulla su {∅,Ω} ma non identicamente nulla? ⇒ NO

Ma ci sono delle condizioni su Ω per cui la risposta è Sì

Non troviamo tra gli R per cui la risposta è affermativa ⇒ ma il rilecca a costruire la variabile aleatoria uniforme U∼U(0,1) cioè la variabile aleatoria U tale che P(U ∈ [a,b]) = b - a