Introduzione alle nanotecnologie

1) LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

omogenea della radiazione 2) all’interno

LA RADIAZIONE DI CORPO NERO della cavità si genera una densità

spettrale di energia ( , T).

uando un corpo viene colpito da

Q una radiazione con intensità I ,

I

esso ne assorbirà una parte pari a

I Si definisce quindi il coefficiente

A.

di assorbimento come: Questa seconda grandezza ha senso

quando integrata tra due diversi valori di

frequenza e fornisce la densità di energia

Poiché il corpo non può assorbire più “ristretta” a quell’intervallo.

radiazione di quanta ne receva, il

coefficiente di assorbimento deve essere Si può dimostrare che:

sempre minore o uguale a 1. ovvero vi è una relazione di

proporzionalità tra

Il coefficiente di assorbimento dipende re m i ss i v i t à e l a

densità spettrale.

d a l l a f re q u e n z a d e l l a r a d i a z i o n e

incidente, dalla temperatura del corpo e Sulla base di dati empirici si può

dalla geometria del corpo. costruire un grafico che riporta la

frequenza sulle ascisse e l’emissività sulle

Si definisce CORPO NERO un corpo per il ordinate.

quale il coefficiente di assorbimento è

pari a 1. Si può osservare che il massimo si sposta

aumentando la frequenza.

In generale i corpi, oltre che assorbire Inoltre, essendo la campana individuata

ra d i a z i o n i , p o s s o n o e m etter l e . S i dall’area sottesa alla curva l’intensità

introduce quindi la grandezza emissività della radiazione, si può notare che a

spettrale e che ci dà un’idea dell’energia temperature maggiori corrispondono

e m e ss a d a un cor p o, p re s o i n “campane” più grandi e

considerazione un range di frequenze. quindi intensità maggiori.

L’emissività dipende in generale dalla

frequenza, dalla temperatura e dalla

geometria del corpo. Quando però il

coefficiente di assorbimento è pari a 1,

ossia quando il corpo è un corpo nero,

remissività non dipende più da lla

dimensione del corpo.

Si può a llora rea lizzare un’ottima

approssimazione di un corpo nero, ovvero Da ques te osservazioni si arriva

si considera una cavità con pareti non alla formulazione della LEGGE DI STEFAN-

riflettenti. Si fa entrare una radiazione da BOLTZMANN:

un piccolo foro. Essa verrà si riflessa ma

via via viene assorbita quasi

completamente dalle pareti, in modo tale

che: anche se una piccola porzione

dovesse uscire, questa avrà intensità

quasi nulla, il corpo (o meglio le sue

pareti) si scalda durante il processo e la

cavità (il foro) approssima molto bene un

corpo nero.

Questo fatto h a due conseguenze

notevoli: 1) all’interno della cavità si ha

( a l l ’e q u i l i b r i o ) u n a d i s tr i b u z i o n e 1

Un’altra importante formulazione è la -> CASO 3D

LEGGE DELLO SPOSTAMENTO DI WIEN: Le frequenze permesse non sono più

e q u i s p a z i a te e s i i n f i tt i s c o n o

all’aumentare della frequenza.

In particolare si ha che:

Ovvero il prodotto tra T e è costante

max

e la costante è chiamata costante di

Wien.

Per si intende la lunghezza d’onda

max

della radiazione emessa in massima Quindi si ha che la densità di modi

quantità e non la lunghezza d’onda più aumenta all’aumentare della frequenza

grande emessa. secondo una legge quadratica.

▶ L A T E O R I A C L A S S I C A D I -> L’ESPERIMENTO DI RAYLEIGH-JEANS

RAYLEIGH E JEANS E’ un esperimento ideale nel quale si

I modi normali sono l e frequenze immagina di prendere una cavità cubica

permesse nel caso delle onde stazionarie l e cui pareti h anno coefficiente di

con gli “zeri forzati”. Queste frequenze assorbimento molto piccolo, ma non nullo,

sono tutte multipli interi della frequenza in modo tale che esse siano quasi

totalmente riflettenti. Grazie a questi

fondamentale . accorgimenti il corpo si comporta come

Al fine del calcolo della densità spettrale un corpo nero ma allo stesso tempo si

di energia si introduce la densità di modi creano all’interno delle onde stazionarie.

stazionari all’interno della cavità. Inoltre, poiché le pareti della cavità sono

metalliche, le onde stazionarie avranno

-> CASO 1D: dei nodi, cioè degli zeri, in

corrispondenza delle parenti in quanto il

campo elettrico vale 0 nei metalli.

Le frequenze permesse sono tutte

equispaziate e si suppone che siano

molto fitte. ∞

Facendo tendere L -> il gas tra le Si può calcolare la densità di energia

frequenze tende a zero poiché vale la come

relazione C/2L:

Il numero di frequenze permesse in un

intervallo di frequenze d è pari a N: Dove g è la densità dei modi normali e

3D

<E> è l’energia media di una singola

T

onda.

Poiché c è una costante, ne segue che la

densità dei modi normali g non cambia al

variare della frequenza, cioè i modi sono

equispaziati. 2

Una volta ricavata l’energia media la si viene quindi sostituito da una

può sostituire nel calcolo della densità sommatoria.

spettrale di energia e si ottiene la LEGGE Planck ipotizza inoltre che l’energia di

DI RAYLEIGH-JEANS: ciascuna onda debba essere quantizzata

e che quindi le pareti del copro nero e le

onde stazionarie si scambiano solo

“pacchetti” o quanti di energia.

Egli suppone che l’intensità del pacchetto

d i e n er g i a s i a p ro p orz i o n a l e a l l a

frequenza.

Come si può osservare dal grafico, Ancora una volta, ricavata l’energia

l’andamento della legge di Rayleigh- media la si può sostituire nel calcolo della

Jeans interpola bene i dati sperimentali, densità spettrale di energia e si ottiene

ma più ci si sposta verso frequenze

maggiori, più aumenta la discrepanza tra

i valori teorici e quelli empirici.

Il fallimento dell’approccio classico è

evidente quando si prova a calcolare

l ’e n e r g i a t o t a l e d e l c o r p o n e r o ,

integrando la funzione ( , T) in d tra 0

∞.

e

Questo integrale diverge all’infinito, vuoi

dire cioè che secondo la teoria classica il

corpo emetterebbe un’energia infinita. Il

che è chiaramente un risultato non

accettabile.

La divergenza dell’integrale è chiamata I pacchetti minimi di energia sono detti

CATASTROFE ULTRAVIOLETTA. FOTONI e hanno energia pari a E = h* .

ph

▶ Maggiore è la frequenza, maggiore è

M A X PLANCK E LA l’energia del singolo fotone.

QUANTIZZAZIONE DELL’ENERGIA Se la radiazione considerata è la luce

visibile, l’energia del fotone è dell’ordine

La soluzione al problema della catastrofe dell’elettronvolt.

ultravioletta è introdotta da Max Planck.

Egli considera corretta la densità dei

modi ma rivede il calcolo dell’energia

media. Considera infatti l’energia come

una variabile discreta e non continua

come avevano fatto Rayleigh e Jeans. Nel

calcolo dell’energia media l’integrale 3

EFFETTO FOTOELETTRICO Quello che invece si osserva è che:

1. L’emissione di elettroni avviene solo

se la frequenza della radiazione

incidente è superiore ad una

frequenza di soglia . Diversi

0

metalli hanno diverse frequenze di

soglia.

2. Se < non serve aumentare

0

l ’ i n te n s i t à I o a s p etta re c h e

trascorra del tempo: non ci sarà

nessuna emissione di elettroni

3. La massima energia cinetica E con

k

cui escono gli elettroni dipende

dalla frequenza e non

dall’intensità I.

4. Il numero di elettroni “strappati”,

’esperimento consiste in una camera

L che si traduce in corrente elettrica,

da vuoto nella qua l e si h a un dipende dall’intensità I

condensatore le cui armature sono

collegate ad un amperometro.

Sull’armatura negativa incide una

radiazione elettromagnetica.

A seconda dell’intensità della radiazione

si misurano diversi valori di corrente

causata dagli elettroni che, strappati

dall’armatura negativa giungono a quella

positiva e vengono rilevati

dall’amperometro come corrente. Quindi si ha che E = E ( ) e i=i(I) (con la

k k

L’energia cinetica degli elettroni messi in precisazione che i=0 per < ).

moto può essere calcolata invertendo la 0

polarità del condensatore e aumentando Per spiegare l’effetto fotoelettrico bisogna

differenza di potenziale ai suoi capi (V ) partire dal modello a bande utilizzato per

0

gradualmente. Tutto ciò avviene finché la descrivere i livelli energetici degli

piastra positiva viene colpita dalla elettroni.

radiazione elettromagnetica. Nei metalli gli elettroni di valenza sono

Gli elettroni, per riuscire a mettersi in liberi di muoversi all’interno del metallo

moto devono essere in grado di vincere la ma non hanno energia sufficiente per

differenza di potenziale V grazie alla lasciarlo.

0

loro energia cinetica E . Gli elettroni nella banda di valenza si

k

Q u a n d o n e s s u n e l e ttr o n e a r r i v a trovano ad un livello energetico la cui

sull’armatura opposta, ovvero quando energia è chiamata ENERGIA DI FERMI,

l’amperometro registra una corrente pari che corrisponde al più alto livello di

a 0A, si è raggiunto il potenziale di soglia energia occupato dagli elettroni a 0K.

V . Un elettrone è in grado di allontanarsi dal

stop

Si può così determinare anche l’energia metallo solo se riesce a superare una

cinetica E degli elettroni più energetici cosiddetta barriera di potenziale.

k

che è pari a: La differenza tra l’energia di fermi E e il

f

livello energetico della barriera di

potenziale è detta FUNZIONE LAVORO .

0

La FUNZIONE LAVORO è l’energia minima

di estrazione, necessaria per allontanare

Per la fisica classica mi aspetto che un elettrone dal metallo.

trascorra del tempo prima di poter

osservare una corrente, che l’energia non

dipenda dalla frequenza incidente e che

se aumenta l’intensità gli el ettroni

dovrebbero andare di conseguenza più

veloci. 4

Quest’ultima dipende dall’angolo .

La radiazione è in grado di trasferire -> PICCO ELASTICO: una grande

0,

energia agli elettroni in maniera discreta

e ciò significa che ogni elettrone è in quantità di fotoni ha = uguale a quella

0

grado di ricevere un solo pacchetto di i n c i de n te. S i tra tta d i foto n i c h e

energia. colpiscono il nucleo (elettroni di core) e

Un pacchetto di energia, o fotone, ha, vengono quindi riflessi elasticamente.

come ipotizzato da Planck, un’intensità -> PICCO ANELASTICO: una grande

1

pari a h . quantità di fotoni viene deflessa di un

Queste ulteriori considerazioni spiegano angolo e con una lunghezza d’onda

p erc h é è p ro p r i o l a f re q u e n z a a superiore pari a (ossia a frequenza, e

determinare se l’el ettrone riesce a 1

sfuggire o meno. quindi energia, minore). E’ come se i

Infatti l’emissione di elettroni si verifica fotoni avessero subito un urto inelastico a

solo quando h > e l’energia restante, seguito del quale hanno perso parte della

0 propria energia cinetica.

non spesa per l’estrazione, diventa

energia cinetica E .

k La presenza dei due picchi non è

spiegabile con la fisica classica che

prevederebbe che l’elettrone colpito dalla

radiazione intraprenda un moto forzato

sotto l’influenza del campo elettrico

dell’onda incidente, e al tempo stesso si

comporti come fonte per un’onda

secondaria (diffusa) che deve avere = .

0

La lunghezza d’onda può essere

1

calcolata mediante la formula:

= + ( 1 - cos )

1 0

-2

dove = 2,42 * 10 m è una costante

empirica detta LUNGHEZZA D’ONDA DI

Il fatto sorprendente di questa relazione è COMPTON.

che Einstein utilizzò le stesse costanti

utilizzate da Planck per risolvere il Compton giustifica il secondo picco in

problema della catastrofe ultravioletta: corrispondenza di trattando i fotoni

quello che prima appariva come uno 1

come particelle. Considerando queste

sviluppo teorico, un artifizio matematico ipotesi, allora, quello che si verifica è un

realizzato ad hoc per interpolare i dati urto tra fotone ed elettrone durante il

empirici, comincia ad acquisire maggiore quale essi si scambiano energia.

veridicità grazie al suo impiego nella Occorre pero assegnare al fotone e

spiegazione di un fenomeno fisico. all’elettrone un’energia cinetica e una

quantità di moto:

EFFETTO compton

’esperimento consiste nel

L

bombardare una lamina molto sottile

con raggi X = e, dopo aver

0

scelto un angolo di

riferimento si analizza il Il fotone deve avere, per definizione, m=0

tipo di radiazione e v=c. Queste condizioni rendono

uscente. In particolare si inutilizzabili le stesse formule utilizzate

notano due picchi relativi a per descrivere l’elettrone le quali

due lunghezze d’onda e

0 porterebbero all’indeterminazione 0/0.

1. 5

Occorre allora utilizzare la seguente Le ipotesi di De Broglie sono puramente

relazione (relazione relativistica tra teoriche, aventi come spunto

energia e quantità di moto): sperimentale il solo esperimento di

Compton.

ESPERIMENTO DI DAVISSON E GERMER

(DIFFRAZIONE DI ELETTRONI)

La quale, nel caso del fotone, che ha a v i s s o n e G e r m e r s t u d i a ro n o

D

massa nulla, si riduce a: E = pc.

ph l ’ i n ter f ere n z a d i e l ettro n i p er

Infine, dalle relazioni di Planck sappiamo ve r i f i c a r n e i l c o m p o r ta m e n t o

che E = h* quindi si ha che la quantità

ph ondulatorio.

di moto di un fotone è pari a: Per il loro esperimento utilizzarono: un

acceleratore di elettroni, un dispositivo

che sfrutta l’effetto termoionico (un

metallo riscaldato ad alte temperature e

mantenuto in tensione emette elettroni,

lavorando in una camera a vuoto) ; un

reticolo di diffrazione. Poiché all’epoca

non disponevano dell e tecnologie

necessarie per produrre strutture così

Ipotesi di de Broglie p i c c o l e , d e l l ’o r d i n e d e i n m e Å ,

utilizzarono dei cristalli per creare il

reticolo di diffrazione, in particolare

e Broglie si pone la seguente

D usarono dei sottili fil metallici.

domanda: Si procede indirizzando un fascio

collimato di elettroni contro un film

“ S e l a l u ce , un ’o nd a , h a n a t u ra metallico monoscristallino, alcuni di

cor p u s co l a re , a n c h e l e p a r t i ce l l e questi elettroni subiranno l’effetto che in

materiali possono essere descritte come ottica è chiamato DIFFRAZIONE. Sulla

onde visto che è possibile l’inverso?” parete opposta di forma una figura di

interferenza, legata alla diffrazione, ma

In altre parole De Broglie ipotizza il questo fenomeno è un comportamento

DUALISMO ONDA PARTICELLA. tipico della radiazione