Introduzione alle nanotecnologie

-> COEFFICIENTI DI TRASMISSIONE E DI

RIFLESSIONE

-R è il coefficiente di riflessione

-T è il coefficiente di trasmissione

Tra di loro vale la relazione T + R = 1

• CASO E2 17

Buca di potenziale a pareti finite e da destra verso sinistra, nella regione tre

l’effetto tunnel indicherebbe un’onda che incide sulla

barriera, ma non c’è nessuna particella

che si muove in quella direzione per cui si

ha che il coefficiente G è uguale a 0.

-> REGIONE II

In questa regione occorre distinguere

due casi: quello in cui E<V e quello dove

0

E>V .

0

Il primo caso (E<V ) si riconduce al caso

0

analogo del potenziale a gradino e le

soluzioni saranno quindi reali e del tipo:

econdo la fisica classica, una

S

particella che possiede energia E <

V non è in grado di attraversare la

0

barriera di potenziale. Quello che accade

è invece il cosiddetto effetto tunnel, Nel secondo caso (E>V ) si hanno

ovvero il fatto che esista una probabilità 0

soluzioni del tipo:

non nulla di trovare la particella al di là

della barriera. In altri termini, se la

barriera è abbastanza sottile, la particella

può passare dall'altro lato anche se non

ha energia sufficiente per scavalcarla.

Q u e s to è un e f fetto s tretta m e n te

quantistico che non ha alcun analogo

classico.

l potenziale è nullo ovunque, tranne in un

≤ ≤

intervallo 0 x L dove vale V .

0

-> REGIONE I

In questa regione V(x) = 0 quindi siamo

nel caso in una particella libera quindi le

soluzioni dell’equazione di Schrödinger Occorre ora imporre le condizioni al

indipendente dal tempo sono: contorno:

1) (0)= (0)

1 2

2) ’(0)= ’(0)

1 2

3) (L)= (L)

2 3

4) ’(L)= ’(L)

2 3

Da cui:

Questa espressione è somma di due

termini: il primo rappresenta l’inda

incidente sulla barriera mentre il secondo

rappresenta l’onda riflessa dalla stessa.

-> REGIONE III

La regione III è analoga alla regione I in

quando ci troviamo in una zona in cui la Con le dovute sostituzioni ottengo:

particella è soggetta ad un potenziale

nullo quindi:

Ma, poiché il termine con esponente

negativo indica un’onda che si propaga 18

Essendo , se ipotizzo che la

barriera sia “alta” e “larga”, posso

procedere a semplificare nel seguente

modo:

Una volta ricavate delle espressioni per i

coefficienti, possiamo procedere con il

calcolo dei coefficienti di trasmissione e

riflessione. Sappiamo infatti che:

A = A -> onda incidente

I

B = A -> onda riflessa

R

F = A -> onda trasmessa

T

quindi:

Da cui si ricava che:

-se E<V 0

-se E>V 0

Il grafico che ne risulta è il seguente: 19

3) FISICA QUANT IST ICA DI SISTEMI A MOLTE PART ICELLE

La forza agente sulla particella sarà

quindi data da:

L’esperimento di Stern e Gerlach

’equazione di Schrödinger non

L Introducendo i numeri quantici che

contiene la descrizione dello spin descrivono lo stato della particella

dell’elettrone. abbiamo:

Lo spin fu scoperto mediante

l’esperimento di Stern e Gerlach.

L’esperimento consiste in un fascio

collimato di atomi di H (Ag) che

attraversano un campo ma gnetico

perpendicolare al fascio.

Stern e Gerlach osservarono che gli

atomi venivano deviati o vero l’alto o

verso il basso, non in altre direzioni. Con

la fisica classica, che non contempla la

quantizzazione, ci si aspetterebbe di

vedere, sullo schermo posto al di là della In particolare i numeri quantici l ed m l

sorgente, una sola macchia, invece se ne sono legati alle proprietà magnetiche: l è

osservano due. legato al modulo del momento angolare L

e m alla proiezione di L sull’asse z (L ).

l z

Ma, a sua volta, il momento magnetico è

l egato al momento angolare dalla

relazione:

La presenza di due macchie può essere

spiegata solo con la meccanica

quantistica, o meglio, solo considerando

che un elettrone abbia un momento

angolare intrinseco. Quindi la forza che devia gli elettroni

Secondo la visione classica, infatti, gli nell’esperimento è pari a:

atomi possiedono un momento

magnetico dovuto a micro-correnti

elettriche. Si può considerare l’elettrone

come una spira dotata di dipolo quindi, se

è conservativo, posso associargli che quindi dovrebbe dipendere dal

numero quantico magnetico m .

un’energia pari a: U = - * , in cui l

B Questa dipendenza porta con sé due

considero = (z)*u avendo quindi

z z contraddizioni:

U = - * . 1) nel caso dell’atomo di idrogeno, con

B z z m =0, la forza dovrebbe essere nulla

Considero che l’elettrone nell’atomo si l

quindi durante l’esperimento non si

muova di moto circolare uniforme quindi: dovrebbe osservare alcuna deviazione

2) Nel caso in cui l’elettrone dell’idrogeno

si fosse trovato in un orbitale a

energia maggiore si sarebbero dovute

ril evare deviazioni (macchie) in

numero dispari

Queste contraddizioni possono essere

risolte introducendo il numero quantico di

spin che descrive il momento angolare

intrinseco dell’elettrone, in analogia con

Ques t ’ultima relazione può essere L.

dimostrata con la meccanica quantistica. 20

Sistemi di particelle

er un sistema composto da due

P

particelle indipendenti, cioè che non

intera giscono tra di loro posso

scrivere:

In analogia con m = 2l + 1 ed essendo che

l

sullo schermo si registrano due deviazioni

(macchie) vuol dire che queste hanno

molteplicità 2, da cui: Nella meccanica classica ci sono due

modi per distinguere le particelle:

1)osservando le variabili intrinseche delle

Inoltre si ha che: stesse

2)se hanno uguali proprietà occorre

invece misurare con precisione posizione

e traiettoria

Nella meccanica quantistica queste due

criteri non possono essere utilizzati: il

primo perché in contrasto con il principio

Infine è importante ricordare che, per di indeterminazione, il secondo perché,

quanto possa sembrare che l’attribuzione come visto precedentemente, in questo

di uno spin all’elettrone significhi che esso ambito il concetto di traiettoria perde

giri su se stesso, questo fatto non ha significato.

ancora avuto nessuna evidenza Due particelle quantistiche sono quindi

sperimentale. INDISTINGUIBILI.

In particolare si ha che:

Introdotto il concetto di SPIN si può

descrivere la particella con 5 numeri

quantici: 3 derivanti dalla meccanica

quantistica e 2 dettati dall’osservazione

empirica.

Posso riscrivere la funzione d’onda

tenendo conto dello spin come:

= ( , t) *

tot orbit spin Se i moduli quadri sono uguali, allora le

due funzioni sono uguali a meno di un

fattore di fase di modulo unitario 21

Essendo che l e particell e sono a funzione d’onda totale è composta

L

indistinguibili e che esiste una SIMMETRIA da una funzione d’onda spaziale e

qi

DI SCAMBIO, ottengo due casi possibili: una funzione d’onda di spin .

ms,i

Quindi, la funzione antisimmetrica è data

da:

La separazione dell e variabili deve

garantire la simmetria di scambio, quindi,

per per due particelle:

≠ ≠

Quando n1 n2, cioè Q1 Q2, entrambe le

condizioni sono possibili.

Quando n1 = n2, cioè Q1 = Q2, quindi le Per un sistema di due elettroni lo spin

particelle si trovano nello stesso stato totale può essere uguale a -1, 0, 1.

quantico, la combinazione antisimmetrica Nel caso di S può essere uguale solo a

A

è impossibile poiché dà =0, quindi è 0 e di conseguenza anche m .

s

possibil e solo la combinazione Nel caso di S può essere uguale a -1, 0,

S

simmetrica. 1 e m invece essere sempre uguale a 1.

s

Quindi per descrivere gli elettroni devo Si dice quindi che nel primo caso si ha un

usare la combinazione antisimmetrica e SINGOLETTO mentre nel secondo caso un

questo è in accordo con il principio di TRIPLETTO.

esclusione di Pauli, il quale afferma che

due elettroni non possono avere tutti i ESEMPIO CASO ELETTRONI IN UNA BUCA

numeri quantici uguali, quindi non DI POTENZIALE A PARETI INFINITE

possono trovarsi nello stesso stato (MONODIMENSIONALE)

quantico.

Le particelle che hanno spin intero hanno

una hanno simmetrica, si chiamano

BOSONI e obbediscono alla statistica di

Bose-Einstein.

Le particelle che hanno spin semi-intero,

co m e g l i e l ettro n i , h an n o

antisimmetrica, si chiamano FERMIONI e

obbediscono alla statistica di Fermi-

Dirac.

-> SISTEMA DI ELETTRONI Questa rappresentazione è esplicativa

del principio di esclusione di Pauli il

quale, in termini di funzione d’onda

spaziale e funzione d’onda di spin,

afferma che due elettroni che hanno

SORBIT

uguali numeri quantici orbitali ( )

devono avere per forza spin antiparalleli,

Aspin

quindi m diversi ( ).

s

Se invece due elettroni sono in orbitali

diversi alla stesso livello energetico,

possono avere lo stesso spin. 22

Quindi la rappresentazione grafica lungo - > S TAT I S T I C A DI B O S E - E I N S T E I N

l’asse z di S e m è: (BOSONI)

s I BOSONI sono particelle con spin intero

che non obbediscono al principio di

esclusione di Pauli. I fotoni sono bosoni.

A T = 0K riempio a due a due tutti i livelli

energetici. Aumentando la temperatura,

quindi fornendo energia, gli elettroni

possono “saltare” in un livello energetico - > C O N F R O N TO T R A L E DI V E R S E

libero. STATISTICHE

Il più alto livello energetico occupato

d a g l i e l ettro n i a 0 K c o r r i s p o n d e Ad alte energie,

all’ENERGIA DI FERMI. q u a n d o g l i e f f e tt i

Se E E si stati sono tutti occupati, se

⩽ quantistici diventano

f tra s c u ra b il i le

E > E gli stati sono liberi, sempre a 0K.

f distribuzioni di Fermi-

Dirac e di Bose-

Einstein convergono a

Statistiche quantistiche quella di Boltzmann.

L

e funzioni statistiche (E) descrivono Densità degli stati elettronici (dos)

le probabilità che un elettrone abbia

energia E.

A 0K, se E Ef (E)=1, se E > Ef (E)=0.

⩽ i parla di DENSITÀ DI STATI quando