Introduzione alle nanotecnologie

L’energia in un sistema quantistico non è continua, ma si presenta in pacchetti

discreti chiamati quanti. Per esempio, l’energia di un elettrone in un atomo è

quantizzata e dipende dai livelli energetici definiti dall’equazione:

 Dove: • : Energia del livello -esimo.

• : Numero quantico principale.

Questo principio è alla base del modello atomico di Bohr e spiega fenomeni

come le linee spettrali degli elementi.

3. Equazione di Schrödinger

L’equazione di Schrödinger è il cuore della meccanica quantistica. Essa

descrive l’evoluzione temporale e spaziale della funzione d’onda , che contiene

tutta l’informazione sul sistema quantistico.

• Forma dipendente dal tempo:

 Dove: • : Unità immaginaria ().

• : Costante di Planck ridotta ().

• : Operatore hamiltoniano (energia totale del sistema).

• : Funzione d’onda.

• Forma indipendente dal tempo:

 Questa forma è utilizzata per trovare i livelli energetici di un sistema

stazionario, come un elettrone confinato in un atomo.

4. Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Il principio di indeterminazione afferma che non è possibile determinare

simultaneamente con precisione arbitraria la posizione  e la quantità di moto 

di una particella:

 Questo implica una limitazione fondamentale alla conoscenza del sistema

quantistico e introduce il concetto di probabilità nella fisica.

5. Funzione d’Onda e Interpretazione Probabilistica

La funzione d’onda  non ha un significato fisico diretto, ma il suo modulo al

quadrato  rappresenta la densità di probabilità di trovare una particella in una

certa posizione  al tempo .

 La probabilità totale in tutto lo spazio deve essere uguale a 1, il che implica la

condizione di normalizzazione:

 Fenomeni Chiave della Meccanica Quantistica

1. Effetto Fotoelettrico

Einstein spiegò che la luce è composta da fotoni con energia quantizzata:

 Dove  è la frequenza della luce. Questo fenomeno dimostrò la natura

corpuscolare della luce e introdusse il concetto di fotone.

2. Effetto Tunnel

In un sistema quantistico, una particella ha una probabilità finita di attraversare

una barriera di potenziale, anche se la sua energia è inferiore all’altezza della

barriera. Questo fenomeno è fondamentale per dispositivi come il microscopio

a scansione a effetto tunnel (STM).

3. Entanglement Quantistico

Due particelle possono essere correlate in modo tale che lo stato di una

dipende istantaneamente dallo stato dell’altra, indipendentemente dalla

distanza che le separa. Questo fenomeno è alla base della computazione

quantistica.

Applicazioni della Meccanica Quantistica

1. Nanotecnologie

La comprensione delle proprietà quantistiche dei materiali è alla base dello

sviluppo di dispositivi come i transistor, i punti quantici e i sensori molecolari.

2. Fisica dello Stato Solido

La meccanica quantistica descrive il comportamento degli elettroni nei solidi,

consentendo lo sviluppo di semiconduttori e materiali superconduttori.

3. Tecnologie Quantistiche Avanzate

• Computer quantistici: Basati sui qubit, che sfruttano la

sovrapposizione e l’entanglement.

• **Critt

Equazione di Schrödinger: Fondamenti e Applicazioni

L’equazione di Schrödinger è una delle fondamenta della meccanica

quantistica, introdotta da Erwin Schrödinger nel 1926. Essa descrive

l’evoluzione temporale e spaziale della funzione d’onda di un sistema

quantistico, che racchiude tutte le informazioni sullo stato fisico di una

particella o sistema di particelle.

Forma Generale dell’Equazione di Schrödinger

1. Equazione dipendente dal tempo:

Questa forma è utilizzata per descrivere il comportamento dinamico del

sistema.

 Dove: • : Unità immaginaria ().

• : Costante di Planck ridotta ().

• : Funzione d’onda dipendente dalla posizione  e dal tempo .

• : Operatore hamiltoniano, che rappresenta l’energia totale del

sistema (somma di energia cinetica e potenziale).

L’Hamiltoniano in un sistema a una particella si scrive come:

 Dove: • : Operatore energia cinetica ( è il laplaciano).

• : Potenziale dipendente dalla posizione e dal tempo.

2. Equazione indipendente dal tempo:

Questa forma viene usata per descrivere stati stazionari (non dipendenti dal

tempo), dove l’energia totale  è costante:

 Qui, la funzione d’onda dipende solo dalla posizione , e l’energia  è un

autovalore dell’operatore Hamiltoniano.

Significato Fisico della Funzione d’Onda

La funzione d’onda  non ha significato fisico diretto, ma il suo modulo al

quadrato  rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in una

posizione  al tempo :