Introduzione alla Fisica - determinazione della densità assoluta di un metallo

Iniziamo l esperienza di determinazione

essere eseguito con il cestello completamente immerso nell’acqua sino ad un certo punto che poi

verrà utilizzato come riferimento per l’immersione del cestello. Per determinare la massa m del

ossia la massa all’aria, lo si pone con una pinzetta sul piatto della bilancia,

campione, mentre, per la

m’

determinazione della massa apparente il campione va posto nel cestello curando che

l’immersione avvenga alla stessa quota di riferimento a cui è stato compiuto l’azzeramento.

L’operazione di determinazione delle masse va ripetuta per dieci volte su ogni singolo campione

2

perché successivamente deve essere calcolata la media dei valori per tutti e dieci i cilindretti con il

suo relativo errore. La formula usata per il calcolo della media delle dieci misure è:

n

 x

i

= 1

i

m N

Mentre la formula per il calcolo dell’errore da associare alla singola misura è:

n

  2

( x x )

1



i 1

σ = 

N 1

che non è altro che la deviazione standard da associare alla singola misura.

Invece la formula usata per il calcolo dell’errore da associare al valore medio è:



  N

Che rappresenta l’errore (deviazione standard) da associare al valore medio.

Per avere un riscontro della determinazione della densità ottenuta mediante la bilancia idrostatica, si

determina la densità di uno degli oggetti a disposizione misurando le sue dimensioni con il calibro

(palmer) e applicando la formula di definizione della densità; per fare ciò si eseguono dieci misure

di diametro e dieci misure di altezza del cilindro e si effettua la media dei valori, inoltre, si

effettuano tre misure in aria della massa del cilindro metallico e si calcola la media.

Valutazione dell’errore relativo “a priori”

o

L’incertezza da associare alle misure delle masse m’

m ed viene determinata tramite la

semidispersione massima dato che le misure vengono ripetute 10 volte azzerando ogni volta la

per il calcolo dell’errore a priori. m’

bilancia Per la misura di è buona norma togliere e rimettere il

corpo in acqua ogni volta che si ripete la misura. Nel caso in cui la semidispersione massima delle

misure fosse nulla, come incertezza, deve essere assunta l’errore desunto dalla sensibilità della

conto dell’incertezza sullo zero che nel nostro caso è 0.01 g.

bilancia tenendo

Adesso valutiamo l’errore relativo “a priori” mediante l’equazione:

m

ρ = ρ considerando la media delle masse di un cilindro tra quelli

a ;



( m m ' )

disponibili: m = 12.09 ± 0.17 g m’ = 10.77 ± 0.16 g

otteniamo: 3

 

  

      

m ( m m

' ) m m m

'

       

a a

  

  

m m m

' m m m

' m m

'

a a g



(

1 0

.

99913

)

0

.

168 g 0

.

013 g 0

.

155 g 3

cm

    

  g

12

.

086 g (

12

.

086 10

.

765

) g (

12

.

086 10

.

765

) g 1 3

cm

-4

= 0.0139 + 0.0098 + 0.117 + 8.7 *10 = 0.142 =14.2%



1 0

.

99913 quantifica l’errore commesso se si approssima la densità

La frazione = 0.087%,

1 g

 

 

dell’acqua, che alla temperatura dell’esperimento ( ) è: . Questa

0

.

99913

15 C a 3

cm

più rapida l’esecuzione dei calcoli introducendo un errore trascurabile.

approssimazione rende

Per determinare la densità tramite la misura del volume scegliamo un cilindretto ed effettuiamo più

misure di massa, diametro e altezza in modo tale da calcolarne il valore medio delle singole misure.

La media delle misure della massa è 12.507 ± 0.003 g, la media delle misure del diametro è 8.96 ±

±0.01 mm, la media delle misure dell’altezza è 23.41 ± 0.01 mm.

L’espressione del volume è: 2

D





V h

4

che sostituita all’espressione che definisce la Densità diventa:

4 m

   2

D h

Quindi l’errore relativo viene espresso nel seguente modo:



   

m 2 ( D ) h

  

 m D h

Per rendere gli errori relativi del diametro e dell’altezza circa uguali a quello della misura della

 m

massa occorre misurarli con la migliore accuratezza possibile ricorrendo al palmer (o calibro).

m

Sebbene questo strumento consenta di eseguire queste misure con un incertezza intorno a 0.01 cm,

resta preponderante quindi l’espressione assume forma:

il loro contributo  

2 D h 0

.

01 0

.

01

    

2 0

.

0027 0

.

27

%

D h 8

.

96 23

.

41

Da questo deduciamo che l’errore risultate sulla densità è:

4



  0

.

3

%



o Risultati sperimentali

La tabella seguente riporta i valori delle dieci medie delle masse dei dieci cilindri pesati in aria e

nell’acqua:

immersi m׳

∆m ∆m׳

m misure in

misure in aria acqua

11.48 g 0.02 g 10.13 g 0.02 g

11.59 g 0.03 g 10.25 g 0.02 g

11.71 g 0.02 g 10.36 g 0.02 g

11.73 g 0.02 g 10.40 g 0.02 g

11.77 g 0.02 g 10.42 g 0.02g

11.78 g 0.01 g 11.05 g 0.02 g

12.50 g 0.01 g 11.19 g 0.02 g

12.75 g 0.02 g 11.25 g 0.02 g

12.76 g 0.03 g 11.29 g 0.02 g

12.79 g 0.02 g 11.31 g 0.02 g

Da questi valori segue che:

        

(

11

.

48 11

.

59 11

.

71 11

.

73 11

.

77 11

.

78 12

.

50 12

.

75 12

.

76 12

.

79

) g

 

m 10

120

.

86 g

  12

.

086 g

10         

(

10

.

13 10

.

25 10

.

36 10

.

40 10

.

42 11

.

05 11

.

19 11

.

25 11

.

29 11

.

31

) g 107

.

65 g

  

m ' 10 10

 10

.

765 g 5

        

( 0

.

367 0

.

246 0

.

141 0

.

127 0

.

01 0

.

094 0

.

171 0

.

441 0

.

454 0

.

496

) g 2

.

547 g

    

0

.

283 g

m 9 9

 0

.

532 g  0

.

532 g

    0

.

168 g

m N 10

        

( 0

.

403 0

.

265 0

.

164 0

.

133 0

.

119 0

.

081 0

.

181 0

.

235 0

.

276 0

.

297 ) g

  

m ' 9

2

.

154

  

0

.

239 g 0

.

489 g

9  0

.

489 g

    0

.

155 g

m ' N 10

La tabella seguente, invece, riporta l’altezza, il diametro e le misure della massa di un singolo

cilindretto usato per la determinazione della densità con la formula della definizione:

Altezza di un Diametro di un Massa di un singolo

singolo cilindro singolo cilindro cilindro

23.39 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm 12.50 g

23.40 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm 12.51 g

23.40 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm 12.51 g

23.41 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm ______

______

23.41 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm ______

23.41 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm

23.41 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm ______

23.42 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm ______

23.42 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm ______

23.43 ± 0.01 mm 8.96 ± 0.01 mm ______

6

 

(

12

.

50 12

.

51 12

.

51

) g 37

.

52 g

  

M 12

.

51 g

3 3

   

 

5 6 6 5

( 4

. 9 * 10 9 * 10 9 * 10 ) g 6

.

7 * 10 g

 

   

5

3

.

35 * 10 g 0

.

006 g

M 2 2

0

.

0058

   0

. 0033 g

M 3

(

10 * 8

. 96

)

 

D 8 .

96 g

10  2

10 * (

8

. 96 8 .

96

)

   0

D 9

  0

D

Siccome la deviazione standard è uguale a zero come errore si assume il più piccolo valore

determinabile dallo strumento che è 0.01 mm

 

   

23

.

43 ( 4 * 23

.

41

) ( 2 * 23

.

42

) 23

.

39 ( 2

.

23

.

40

) 234 .

1

g

  

h 23

.

41

g

10 10

   

  

4 4 4 4

4 * 10 ( 2 * 1 * 10 ) 4 * 10 ( 2 * 1 * 10 ) 0

.

0012 g

 

   

4

1

.

33 * 10 0

.

0115

h 9 9

0

.

012

   0

.

004

h 10

o Elaborazione dei dati m’

Per la determinazione della densità del materiale si considerano tutte le coppie di misura m ed

dei campioni. A tale scopo utilizziamo la relazione: 

m’ = (1 - )m

a



che rappresenta una retta passante per l’origine degli assi cartesiani:

Y= AX ;

7

ponendo: 

= m’ ; A =

Y (1 - ); X =

a m

 m’

Dal parametro angolare A della retta, cui concorrono tutte le coppie di misure m ed è possibile

dell’acqua ρ

derivare il valore della densità del materiale essendo nota la densità . Si sceglie di

a

 



m

' m

assegnare ad m’ il ruolo di variabile dipendente poiché ; in un linguaggio più

m

' m

m’

appropriato si dice che si esegue la regressione della variabile sulla variabile m.

o Metodo grafico m’

Osservando il grafico in allegato i valori della massa in acqua sono riportati in funzione della

massa m in aria. La buona distribuzione dei punti sperimentali sulla retta implica la validità della

relazione: 

m’ = (1 - )m

a



basata sulla legge di Archimede. Dalla massima pendenza A e dalla minima pendenza A della

max min



(1 - )

a

retta si ottiene graficamente la stima del parame