Meccanica dei solidi - introduzione

Il corso combina lezioni teoriche con esercitazioni pratiche, includendo l’uso di

software per l’analisi numerica. Gli studenti sono incoraggiati a partecipare

attivamente alle lezioni e a svolgere esercizi applicativi per consolidare le

conoscenze acquisite.

Valutazione:

L’esame finale prevede una prova scritta, consistente in esercizi pratici e

domande teoriche, seguita da una prova orale focalizzata sugli argomenti

trattati durante il corso.

Bibliografia consigliata:

• Attilio Frangi, Dispense del corso, disponibili sulla piattaforma

WeBeep del Politecnico di Milano.

• Leone Corradi Dell’Acqua, Meccanica delle Strutture, vol. 1 e 2,

seconda edizione, McGraw-Hill, Milano, 2010.

• Attilio Frangi, Statica e cinematica dei sistemi di corpi rigidi,

Progetto Leonardo, Esculapio.

• Marc Bonnet, Attilio Frangi e Christian Rey, The finite element

method in solid mechanics, McGraw-Hill Education.

Questo corso rappresenta un elemento fondamentale nella formazione

dell’ingegnere dei materiali, fornendo competenze essenziali per l’analisi e la

progettazione di componenti strutturali in vari contesti industriali.

1. Statica dei sistemi isostatici piani di travi

La statica dei sistemi isostatici si concentra sull’analisi di strutture in cui le

condizioni di equilibrio statico (tre equazioni di equilibrio in 2D: ∑Fx=0, ∑Fy=0,

∑M=0) sono sufficienti per determinare tutte le reazioni vincolari e le

sollecitazioni interne.

• Analisi delle reazioni vincolari: Si calcolano le forze e i momenti nei

vincoli applicando le equazioni di equilibrio.

• Diagrammi delle azioni interne: Si tracciano diagrammi di sforzo

normale (N), taglio (T) e momento flettente (M), che rappresentano la

distribuzione delle forze lungo una trave.

• Metodi grafici e analitici: Per risolvere i problemi si utilizzano metodi

grafici (ad esempio il metodo del nodo) e analitici.

2. Meccanica del continuo

La meccanica del continuo descrive il comportamento dei materiali e delle

strutture considerando che la materia è continua, senza discontinuità.

• Stato di sforzo: È rappresentato dal tensore degli sforzi di Cauchy,

che descrive la distribuzione delle forze interne per unità di superficie.

Comprende componenti normali e tangenziali su tre direzioni.

• Stato di deformazione: È descritto da un tensore di deformazione,

che misura i cambiamenti dimensionali e angolari di un corpo sollecitato.

• Equazioni di congruenza: Vincolano le deformazioni per garantire

che il corpo rimanga continuo.

• Principio dei lavori virtuali: Utilizzato per calcolare spostamenti e

reazioni in strutture soggette a carichi complessi, con grande applicabilità in

sistemi iperstatici.

3. Legami costitutivi

I legami costitutivi descrivono il comportamento meccanico dei materiali, cioè

la relazione tra sforzo e deformazione.

• Materiali elastici lineari: Obbediscono alla legge di Hooke, secondo

cui la deformazione è proporzionale allo sforzo.

 Dove  è il modulo di elasticità (o modulo di Young).

• Materiali anisotropi e isotropi: Nei materiali isotropi le proprietà

meccaniche sono identiche in tutte le direzioni, mentre nei materiali anisotropi

variano.

• Comportamento plastico: Nei materiali duttili, superato il limite

elastico, la deformazione è irreversibile. È descritto dal diagramma tensione-

deformazione.

• Materiali iperelastici: Si applica ai polimeri e ai tessuti biologici, con

comportamenti non lineari ma reversibili.

4. Criteri di resistenza

I criteri di resistenza stabiliscono le condizioni limite oltre le quali un materiale

o una struttura falliscono.

• Materiali fragili: Falliscono per rottura senza deformazioni plastiche

significative (ad esempio vetro o ceramica). Si utilizza il criterio di resistenza

massima.

• Materiali duttili: Hanno un comportamento plastico prima del

collasso. I criteri più comuni sono:

• Criterio di Tresca: Basato sullo sforzo di taglio massimo.

 • Criterio di Von Mises: Basato sull’energia di distorsione.

 • Applicazioni: Questi criteri sono essenziali per progettare

componenti meccanici in sicurezza.

5. Teoria delle travi secondo De Saint Venant

La teoria di De Saint Venant fornisce una descrizione semplificata delle

sollecitazioni interne nelle travi:

• Trazione e compressione semplice: Si analizza l’effetto di carichi

assiali su una trave, con distribuzione uniforme delle tensioni:

 Dove  è il carico assiale e  la sezione trasversale.

• Flessione retta e deviata: La flessione retta avviene quando il

momento flettente agisce in un unico piano. La tensione si distribuisce

linearmente lungo la sezione:

 Con  momento,  distanza dall’asse neutro, e  momento d’inerzia.

• Torsione: Riguarda il comportamento di una trave soggetta a

momento torcente. La tensione tangenziale massima si calcola con:

 Dove  è il momento torcente,  il raggio, e  il momento polare d’inerzia.

• Taglio: Si studia la distribuzione degli sforzi di taglio usando il

metodo di Jourawski.

APPROFONDIMENTI PUNTO 1-2

1. Statica dei sistemi isostatici piani di travi

La statica dei sistemi isostatici riguarda lo studio di strutture semplici, in cui le

equazioni di equilibrio statico sono sufficienti per determinare tutte le reazioni

vincolari e le sollecitazioni interne. Le travi, come elementi principali delle

strutture isostatiche, vengono analizzate in termini di forze e momenti interni.

1.1 Definizione di sistema isostatico

Un sistema strutturale si dice isostatico quando:

 Dove: •  è il numero di aste (o elementi strutturali),

•  è il numero di reazioni vincolari,

•  è il numero di nodi o giunzioni.

Questo implica che il sistema non è né iperstatico (troppi vincoli) né labile

(insufficienza di vincoli).

1.2 Calcolo delle reazioni vincolari

Le reazioni vincolari sono le forze e i momenti generati dai vincoli (ad esempio,

cerniere, incastri, appoggi fissi o mobili) per mantenere l’equilibrio della

struttura. Si calcolano utilizzando le equazioni di equilibrio:

• Somma delle forze orizzontali (): l’equilibrio lungo l’asse ,

• Somma delle forze verticali (): l’equilibrio lungo l’asse ,

• Somma dei momenti (): l’equilibrio rotazionale.

Ad esempio, per una trave semplicemente appoggiata:

1. Si calcolano le reazioni verticali nei due appoggi.

2. Si considerano eventuali carichi concentrati, distribuiti o momenti

applicati.

1.3 Azioni interne nelle travi

Le azioni interne rappresentano le forze e i momenti interni che agiscono sulla

sezione trasversale della trave. Vengono determinate tagliando virtualmente la

trave e applicando le equazioni di equilibrio al segmento rimanente.

• Sforzo normale (N): Componente lungo l’asse della trave

(compressione o trazione).