Introduzione algebra lineare: parte 2 dal segmento orientato all' intersezione e l 'unione dei sottospazi

SEGMENTO ORIENTATO

Un segmento orientato detto passo AB è un segmento AB su cui è fissato un ordine per i suoi estremi:

- A precede B

Se A = B si dice che AB è detto segmento orientato nullo.

Un segmento orientato è composto da:

1. MODULO di AB: è la lunghezza del segmento AB rispetto a una fissata unità di misura, AB ≥ 0
2. DIREZIONE: retta su cui giace il segmento AB
3. VERSO A → B: partente da A giungente a B

Due segmenti orientati AB e CD paralleli si dicono concordi se sono contenuti in una stessa semiretta determinata dalla retta a cui appartengono per A e per C.

Concorrenti

Due segmenti orientati AB e CD si dicono equivalenti se:

1. Hanno lo stesso modulo
2. Hanno direzioni parallele o coincidenti
3. Sono concordi

AB ≅ CD

simbolo di equipollenza

L’equipollenza permette di passare da segmento orientato a vettore geometrico.

Un VETTORE GEOMETRICO detto spetto è l’insieme formato da tutti i segmenti orientati detti suoi equipollenti a un dato segmento orientato AB.

vettori equipollenti

[AB] = vettore geometrico determinato da AB = { segmenti orientati equipollenti ad AB}

V₃ = vettori geometrici dello spazio {

+V₃, xV₃ → V₃ operazioni interni

[AB], [CD] ∈ V₃

V₃ è uno spazio vettoriale poiché valgono le proprietà dello spazio vettoriale.

Consideriamo ora l’operazione esterna:

k ∈ R’V₃ → kV₃

keR’ [AB] ∈ V₃

Valutiamo le due casi di k:

• k = 0 v.in [AB] = [Σ]

2) k > 0

Sia AB: il segmento tale che:

1) |AB'| = k|AB|

2) AB' e AB^-> hanno la stessa direzione

3) AB' e AB^-> sono concordi

3) k < 0

Considera il segmento orientato AB' tale che:

1) |AB'| = |k| |AB| = (–k) |AB|

2) AB' e AB^-> hanno la stessa direzione

3) AB' e AB^-> sono discordi

3) k[AB] = [kAB]

=> V, uno spazio vettoriale sul campo reale = spazio dei vettori geometrici.

Una funzione reale è un'applicazione f: R–>R

F(IR₂) = {funzioni reali f: IR₂–>R:³}

+ {F(R)²)x(FR)²–> (FR)²} interno.

f, g ∈ F(IR) –> f + g: R –> R

{f + g}(x) = f(x) + g(x), ∀ x ∈ R

=> λ R –> λ. f: R –> R

{λ . f}(x) = λf(x), ∀ x ∈ R

=> F(IR) è uno spazio vettoriale

(termine nullo = la funzione nulla i.e.: x ∈ R –> 0_c (R)

–> { F(FR²) x F(FR) = R –> R

k: {x} x ∈ R –> {x} x ∈ R

=> F(IR) è uno spazio vettoriale sul campo reale = spazio delle funzioni reali

0 vettore nullo

a –> u = 0

0 ∈ V = 0

v ∈ V | s. se 1 . V = V

v ∈ V | s. se {1T} = 0

Legge di annullamento del prodotto

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, siano a ∈ K, u ∈ V

allora si ha:

a . u = 0 <= > a = 0 oppure u = 0

dim.

0 0 . u = 0 = 0 + 0 . u = 0 (dobbiamo dim questo)

. u = . u + 0 . u (0 –> u

. u + 0 . u = . u = 0 . u

0 + o . u –> o . u) = (o . u = o . u) (lo ottengo sommando (o . u) a entrambi i membri)

o . u = o . u = 0 – 0. u (dim questo)

-o . a + b (a – a) o . u –> 0

+ (c . (a – a) . o) . a o . u = - (o – 0) (dopo avere sommato (a . o) a entrambi i membri)

0 = a o . a

spessi o . u = 0

–> il teorema è dimostrato;

0 x tale

prendendo K un campo 1_T = 1_E o K: a, a² = a² = a = 1

=> 0 ∈ U.

(a = a . a, (a . a) = a . y ⊭ 0

0 = a Y

=> Y = 0

Vettoriale

Un sottoinsieme U di V si dice...

1. O ∈ U
2. ∀ u,v∈U ⇒ u+v ∈ U (U è chiuso rispetto a...)
3. ∀k∈K,∀u∈U ⇒ k⋅u ∈ U (U è stabile rispetto a ...)

V spazio vettoriale sul campo K.

• U + U ⊆ U interna per lo
• ∀k∈K,∀u∈U ⇒ x⋅u ∈ U

Ho dimostrato che ogni sottospazio vettoriale contiene il vettore nullo. E la commutativa in U è perche lo è in V (proprietà 6, le altre valgono automaticam(nrk)).

Esempio: U = {0}

• U + 0 = U vale
• 0⋅0 = 0 vale
• sottospazio nullo k⋅0 = 0 vale

k³ = {(x₁,0,0)}∈ K³, x₁∈K³

• (0,0,1,0,1)=... perché la terza componente =0 e∈U

Esempio:

Un = {p(α)∈ K[χ] /gc(p(α)) ≤ n} n ∈ N

• pariamo nullo e ∈ Un
• p(χ₂), g(p(α)) = g(p(χ₂)) ≤ n
• q(χ₂), g(q(α)) = g(q(χ₂)) ≤ n
• ∀k∈K,∀p(χ₁)∈ Un ≥ g(p(χ₁)) ≤ n

sottospazio vettoriale di K[Σ]

K³

U= {(x,y,z)∈ K³ x,y,z = 0}

• (0,0,0)∈ U perché le tre componenti rispetano le combinazioni (x,y,z) ∈ 0 solamente a condizione di azzerarlo, ∀k∈K, ∀x ∈ U

Ogni spazio vettoriale V finitamente generato e ≠{0} possiede almeno una base.

Sia S = {v₁, ..., v_n} un sistema di generatori di V e supponiamo che il vettore nullo non appartenga ad S:

S₀ = {S₁, E, v₁} = {0} ∪ {Ov₂, ..., 0v_n}

= {E 0, 0, v₁, v₂, ..., v_n} è un sistema di generatori di V

S₁ = {E 0, 0, v₂, ..., v_n} è un sistema di generatori di V

Sc := l'an dip. indipendente ⇒ S₁ base di V

S₁ l'an dipendente

• Siano S_n dim. dip. ⇒ un vettore di S₁ ad esempio t₁ che è comb.lin dei concorrennti.

S₂ = S₁ \ {v₁, v₂} è un sistema di generatori di V

S_n ind. indipendente ⇒ S₁ base di V

S₂ l'an dipendente

• v₁ un vettore di S₁ ad esempio v₂ comb.lin dei concorrennti vettori
• S₃ = S₁ \ {v₂} = S₁ \ {v₁, v₂} è un sistema di generatori di V

S_n ind. indip. ⇒ S₂ base di V

S₂ l'an dip.

Dopo 1+...+ dim S_t + l_v1 0

• S_t+1 l'generamento indipendente

Allo stesso sistema si arriva dim. indipendente e èune base di V

S₁ rimangono vettori v₁ ecc di procedimenti di prima fin quando il sistema non è solo l'an indipendente

LEMMA DI STEINITZ

Sia V uno spazio finitamente generato e ≠{0}

• Sia A = {a₁, ..., a_n} un sistema di generatori di V e
• B = {b₁, ..., b_m} un sistema finitamente indipendente ⇒ m ≤ n

Se prendiamo ** qualunque sistema di generatori e un qualunque sistema linearmente indipendente il numero di vettori del sistema di generatori è sempre >= al numero di vettori del B, il sistema lin. indipendente

dim P.O. m > n

P.O. ∑a_i ≠ 0, e, t, v₁ + ... + t_n ≠ 0

esiste almeno uno di questi coefficienti diverso da 0

a₁ ≠ 0, u₁ ≠ 0

8 u₁ = a₁ x₁ + x x k

spponiamo u, a_i_0 > a₂ ... ∀ i < k

8 a₁, ... =, moltiplica per a_i

u₁x₁ = a₁ x₁ + a₂ x₂ + ... + x_n + x x k

= v_k + a_nx₁ + x x k

= L k (a_nx₁) curva vx, a_k-1 + v_nx_n

v a_i e comb.linera di a₁, v₂, ... v_n

8 si * b₁ + ... = 0, x₁ sistema di generatori di V

b_n-1表計文字 a_i u_i \phi_{i, ...} = 0, x_m

对 si, b_n = a_ix₁ ≠ a_ib_n-1 = 0, per esempio