Introduzione algebra lineare: parte 2 dal segmento orientato all' intersezione e l 'unione dei sottospazi

Segmento orientato

Un segmento orientato dello spazio AB è un segmento AB su cui è fissato un ordine per i suoi estremi: A precede B. Un segmento orientato è composto da:

1. Modulo di AB = AB = lunghezza del segmento AB rispetto a una qualsiasi unità di misura fissata nel piano, AB > 0
2. Direzione di AB = la retta a cui appartiene AB
3. Verso di AB = da A verso B

Concordi e discordi

Due segmenti orientati AB e CD paralleli si dicono concordi se sono contenuti in uno stesso piano determinato dalla tratta che passa per A e per C.

Concordi

Discordi

Segmenti orientati equivalenti

Due segmenti orientati AB e CD si dicono equivalenti se:

1. Hanno lo stesso modulo
2. Hanno direzioni parallele o coincidenti
3. Sono concordi

Simbolo di equivalenza

L'equipollenza ci permette di passare da segmento orientato a vettore geometrico orientato dallo spazio. È l'insieme formato da tutti i segmenti orientati dallo spazio equivalenti a un dato segmento orientato AB.

Vettori equivalenti

[AB] = Vettore geometrico determinato da [AB] = segmento orientato equivalente ad [AB]

V₃ = Vettori geometrici dello spazio + V₃ x V₃ → V₃ operazione interna

[AB], [CŌ] ∈ V₃

V₃ è uno spazio vettoriale in cui valgono le proprietà dello spazio vettoriale.

Operazione esterna

Consideriamo ora l'operazione esterna k ⟨V₃⟩ = V₃ k∈ R, ⟨AB⟩ ∈ V₃

Valutiamo per ogni k:

• k ∗ 0 . k ⟨AB⟩ - ⟨Ŏ←⟩

Segmento orientato nello spazio

Un segmento orientato dello spazio _AB è un segmento _AB su cui è fissato un ordine per i suoi estremi. Se _A - _B: si _AB è chiamato segmento orientato. Se _AB è detto segmento orientato nullo _O.

Un segmento orientato è composto da:

1. Modulo di _AB = |_AB | lunghezza del segmento _AB rispetto a una fissata unità di misura _AB ≥ 0.
2. Direzione di _AB è la retta contenente _AB.
3. Verso _A al punto _B.

Concordi e discordi

Due segmenti orientati _AB e _CD paralleli si dicono concordi se sono contenuti in uno stesso semipiano determinato dalla tratta passante per _A e per _C.

Concordi

Discordi

Segmenti orientati equivalenti

Due segmenti orientati _AB e _CD si dicono equivalenti se:

1. Hanno lo stesso modulo
2. Hanno direzioni parallele o coincidenti
3. Sono concordi

_AB ≈ _CD

Simbolo di equipollenza

L'equipollenza ci permette di passare da segmento orientato a vettore geometrico. Un vettore geometrico dello spazio è l’insieme formato da tutti i segmenti orientati dello spazio equipollenti ad un dato segmento orientato _AB.

Vettori equivalenti

[_AB] = Vettore geometrico determinato da _AB = segmento orientati equipollenti ad _AB

V₃ = {vettori geometrici dello spazio} + V₃ x V₃ → V₃ → operazione interna

[_AB], [_CD] ∈ V₃

[_AB] + [_CD] = [_AD]

V₃ è uno spazio vettoriale poiché valgono le proprietà dello spazio vettoriale.

Operazione esterna

Consideriamo ora l’operazione esterna: k x V₃ → V₃ k∈R, [_AB]∈V₃ ∀k⊕0[_AB]-[_O]

2) k > 0

Sia AB il segmento tale che:

1. |AB'| = k |AB|
2. AB = AB' Hanno la stessa direzione
3. AB e AB' sono concordi

k · [AB'] = [AB]

3) k < 0

Considero il segmento orientato AB tale che:

1. |AB'| = |k||AB| = (-k)|AB|
2. AB = AB' hanno la stessa direzione
3. AB e AB' sono discordi

k · [AB'] = -[AB]

4) V₃ è uno spazio vettoriale sul campo reale = spazio dei vettori geometrici.

Conf F : (insiemi reali)^₂ -> R^₂

F : {FR} x (FR) -> {FR} interna

e.g. se g e {FR} F : R -> R F : g^i e g^i+2·g^k ecc

A = proprietà dello spazio vettoriale t (termino nullo e la funzione nulla F0 : x ∈ R -> 0 ∈ (R) k · FR ∈ (FR) F : R -> R

Fe : R -> R k : x ∈ R -> x

Leggi di annullamento del prodotto

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, siano a ∈ K, u ∈ V