Introduzione alla statistica computazionale (parte 1)

Formattazione del testo

BD=Ottengo una matrice diversa. Questa volta è l'indice di riga h che deve essere =j e non viceversa come prima, questo perché stiamo facendo il prodotto righe per colonne. Per A h=j vuol dire tutte le colonne. Quindi è come se ogni colonna è moltiplicata da un elemento della diagonale, es: la colonna b1 è moltiplicata da d1 è così via.

Osservazione sulla dipendenza lineare dei vettori che compongono una matrice A: è una combinazione lineare delle colonne di A. Se A possiede rango massimo allora i suoi vettori sono linearmente indipendenti e quindi ogni loro combinazione lineare è = 0 solo se tutte le costanti sono = 0.

Osservazione: Se il determinante della matrice è diverso da 0 allora i vettori colonna/riga della matrice sono linearmente indipendenti e costituiscono gli assi di un sistema di riferimento, dunque è sempre possibile scrivere un vettore y n-dimensionale come combinazione lineare delle colonne di A.

Il sistema lineare Ax=y ha sempre soluzione ed è unica. Dati A e x è facile calcolare y come prodotto righe per colonne. Mentre dato y ricavare x necessita dell'introduzione della matrice inversa di A. Ovvero, una matrice moltiplicata per la propria inversa è sempre uguale alla matrice Identità. Proprio come succede con i numeri.

Il problema di questa matrice infatti nasce proprio dal voler risolvere un'equazione ax=b. Dato a e dato b, trovare x. Per liberare x devo trovare un numero che moltiplicato per a mi dia l'elemento neutro rispetto al prodotto.

Se voglio risolvere questa equazione ma con una matrice, ovvero Ax=y, ho bisogno di definire l'elemento neutro del prodotto righe per colonne trovando una matrice che moltiplicata per A mi restituisca l'elemento neutro. Questa matrice è la matrice inversa di A e non sempre esiste.

Elemento neutro: Per prima cosa bisogna definire l'elemento neutro del prodotto righe per colonne di matrici.

quadrate nxn. L'elemento neutro del prodotto righe per colonne è la matrice identità o identica ed è una matrice di dimensione nxn, diagonale, con elementi sulla diagonale = a 1. Essendo una diagonale, dove i è diverso da j gli elementi sono 0 mentre dove i=j gli elementi in questo caso sono tutti 1. È l'elemento neutro del prodotto righe per colonne perché A*I=I*A=A. Dimostrazione: ogni riga di A è moltiplicata per un elemento della diagonale di I. In I gli elementi della diagonale sono tutti 1.

Proprietà della matrice identità: Se x è un vettore di lunghezza n e I è la matrice identità allora: la matrice identità lascia invariati i vettori.

MATRICE INVERSA: Data A nxn con det != da 0 allora esiste la matrice inversa di A che denoteremo A^(-1), è definita da: la matrice Aji è la sottomatrice di A a cui elimino la riga j e la colonna i. La matrice inversa soddisfa la seguente condizione: la matrice

inversa moltiplicata a dx o a sx della matrice di cui è l'inversa, dà come risultato l'elemento neutro del prodotto righe per colonne, ovvero la matrice identità.

Dimostrazione: Ho posto i=j perché la matrice identità al di fuori degli elementi con indici i=j, ha tutti elementi 0 dove i è diverso da j. Quindi l'uguaglianza sopra se i diverso da j vale 0. Spiegazione ulteriore: (quest'ultima spiegazione non la chiede.) Quindi la matrice inversa permette di risolvere l'equazione vettoriale Ax=y dai A e y. Quindi ci permette di liberare la x. Dunque, se il det(A) è diverso da 0, ora possiamo risolvere il sistema lineare moltiplicando a sx di ambo i membri A^(-1). Devo moltiplicare necessariamente a sx perché moltiplicando a dx non posso fare il prodotto righe per colonne: Moltiplicare a sinistra vuol dire inoltre combinare linearmente le righe della matrice o vettore che si trova a destra. Dunque, per concludere, se det A è diverso da 0,

0 e quindi A ha rango massimo n il sistema lineare ha un'unica soluzione che si ottiene invertendo A.

Esiste una corrispondenza biunivoca tra x e b che è determinata da autovalori e autovettori di una matrice quadrata.

Def: data una matrice quadrata A e un vettore non nullo v!=0, allora, v è autovettore di A rispetto all'autovalore lambda se:

• se io prendo la matrice e la moltiplico per il vettore (non nullo) lei riproduce il vettore stesso ma moltiplicato per una costante, ovvero l'autovalore, e quindi mi ridà la direzione stessa del vettore.

Di conseguenza possiamo dire che l'autovettore di una matrice è un vettore speciale che resta invariato sotto l'azione della matrice, ovvero, se la matrice ci passa sopra (prodotto righe per colonne) mi viene prodotto lo stesso vettore ma moltiplicato per una costante, ovvero l'autovalore.

Spettro di una matrice: insieme di autovalori di una matrice.

Autospazio: spazio generato dagli autovettori.

si scelgono vettori di norma 1 e il verso viene fissato decidendo il segno del primo elemento non nullo del vettore.

1) Per trovare autovalori e autovettori devo inanzitutto trovare una copia tale che: Dobbiamo risolvere quindi un’equazione vettoriale dove le incognite sono lambda ev. il metodo usato ci fa trovare prima lambda (autovalore) e poi v (autovettore)

2) Riscrivo l’equazione: Queste equazioni si equivalgono perché se io moltiplico un vettore per una matrice identità questo rimane invariato.

3) Dati m e n ho raccolto v a destra, posso farlo solo a destra perché devo guardare m e n. Ho così ottenuto un sistema lineare omogeneo, ovvero, il termine noto è zero, quindi se metto v=0 sicuramente è vero. Ma per me questo non è interessante, perché io voglio un autovettore e un autovettore deve essere != da 0.

4) Devo quindi trovare lambda tale che almeno una soluzione sia v!=0 se la matrice ha det != da 0 e quindi è

invertibile (per matrice si intende la matrice A-lambda*identità) il sistema avrebbe solo una soluzione, v=0.

Dimostrazione: Se la matrice è invertibile basta moltiplicare per l'inversa e avrò come unica soluzione v=0. Questo perché i sistemi lineari con una matrice invertibile hanno sempre un'unica soluzione. Quindi i lambda che rendono questa matrice invertibile non sono autovalori. Dunque, gli autovalori sono i valori che si ottengono risolvendo l'equazione: Equazione caratteristica/degli autovalori. Questo lambda sarà tale che il determinante della matrice sia 0 in modo che essa non sarà invertibile e posso trovare v!=0 risolvendo il sistema lineare. Troverò così gli autovalori.

Poi andrò a trovare l'autovettore che corrisponde ad ogni autovalore andando a risolvere il sistema dove le incognite sono v1, v2, ..., vn.

Esempio: Ho così trovato i 2 autovalori della matrice, adesso vado a trovare gli autovettori.

autovettori corrispondenti a ciascun autovalore. Risolvo il sistema per trovare le incognite che in questo caso sono 2 (v1 e v2) dato che siamo in 2 dimensioni (abbiamo una matrice 2x2) v1 è una costante che possiamo chiamare k, quindi esistono infiniti autovettori, tutti corrispondenti ad una stessa retta. Anche in questo caso c può assumere qualsiasi valore appartenente a R. Questi 2 oggetti geometricamente mi dicono che la matrice si può riesprimere attraverso 2 direzioni che sono gli autovettori trovati (sono infiniti in base alle costanti, ma le direzioni sono 2 (1,0 e 1,1)) che mi permettono poi di generare tutta la matrice. Parliamo di decomposizione di una matrice.

Esercizio: Matrici triangolari e autovalori: una matrice triangolare ha come autovalori gli elementi sulla diagonale principale. Perché il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, quindi:

Matrici diagonalizzabili: Una matrice quadrata A