Introduzione algebra lineare applicazioni insiemi gruppo abeliano anello campo spazio vettoriale

Algebra lineare e geometria analitica

Tutto il concetto di algebra lineare si basa sullo spazio vettoriale.

Uno spazio vettoriale è un insieme qualsiasi V che rettifica opportune proprietà.

Come insieme V possiamo scegliere ad esempio:

• V = ℝ₃: geometria
• V = ℚ: matrici
• V = ℤ: polinomi

Supponiamo di avere due insiemi A e B insiemi.

A∪B = {x ∈ A oppure x ∈ B}

A∩B = {x ∈ A e x ∈ B}

A∖B = {x ∈ A e x ∉ B}

Prodotto cartesiano

A×B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}

(x, y) = coppia ordinata => x = prima componente y = seconda componente

A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

A×B×C = {(x, y, z) | x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C}

A₁×A₂×…A_n = {(x₁, x₂, …, x_n) | x_i ∈ A_i} (n-uple ordinate)

Prodotto cartesiano di un insieme per se stesso

Aⁿ = A×A×…×A = {(x₁, x₂, …, x_n) | x_i ∈ A, i = 1, …, n}

L'insieme delle parti è l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A.

P(A) = {X | X ⊆ A}

Si considerano P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Siano A e B due insiemi, una applicazione di A in B è una corrispondenza che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di B.

A = dominio

B = codominio

f: A → B ∀ x ∈ A 1 → f (x) ∈ B

Esempio.

f : x ∈ N → x² ∈ N

Un'applicazione f : A → B si dice INIEITIVA se ad elementi distinti del dominio

corrispondono elementi distinti del codominio

x₁, x₂ ∈ A, x₁ x₂ ⇒ f(x₁) f(x₂)

INIEITIVA

NON INIEITIVA

Un'applicazione f : A → B si dice SURIEITIVA se ogni elemento del codominio è

immagine di almeno un elemento del dominio

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A f(x) = y

SURIEITIVA

NON SURIEITIVA

Un'applicazione f : A → B si dice INVERTIBILE se è inieettiva e surieittiva.

INVERTIBILE

f : A → B

f-1 : B → A

(graficamente basta inieliere il verso delle frecce

f-1 (y) = x (⇒) ⇐) f (x) = y

Esempio

Z = {-1, 0, 1, 2, -1, 0, 1, 2, ... }

a_n : x ∈ Z → Z , x < Z applicazione non iniietiva ne suriettiva

g(x) = g (x)

{x ∈ R⁺ | x < 0 }

R ∶ x ∈ R⁺ → x | ∈ R⁺

y / x ∈ R⁺ f | x + y t = y / x

t ∈ R⁺ t ⇔ x = y | ∀ y ∈ R⁺

Basta 'comburate dominio e codominio di un'applicazione per cambiave

l'applicazione stessa

K₂ = {0, 1}

+ | 0 | 1_k×k>k | . : 0_k-k

0 | 0 | 1 | 0 0: 0

1 | 1 | 0 1: 0 1: 1

0: 0

1: 1

1_t: 0

Il campo più piccolo possibile fra due elementi

GF(p): Galois Field: Campo di Galois

GF = GF: G.F.

p numero primo in N

K campo in N

K_n = (K, +, ·)

Kⁿ = K x K x ... x K = X : X = (X₁, X₂, ..., X_n)/X_i ∈ K

i = 1, ..., n

+: 1_i x Kⁿ = Kⁿ

(X₁, X₂, ..., X_n) = vettore numerico di ordine n

(0, 0, ..., 0) = vettore numerico nullo

(X₁ + Y₁, X₂ + Y₂, ..., X_n + Y_n) ∈ Kⁿ

Es. sup. = (0, 1, 2, 3) (+a, -a) = {-2, 0, -1, -2, 4}

Dimostriamo che Kⁿ è uno spazio vettoriale sul campo K = spazio vettoriale numerico di ordine n su K. Per dimostrarlo, usiamo le proprietà del campo.

1) (Kⁿ, +) è un gruppo abeliano

dim

(X₁, ..., X_n) =

{

(Y₁, ..., Y_n) ∈ Kⁿ

+

(Z₁, ..., Z_n) ∈ Kⁿ

X + (Y + Z) =

= (X₁, ..., X_n) + ((Y₁, ..., Y_n) + (Z₁, ..., Z_n))

= (X₁, ..., X_n) + (Y₁ + Z₁, ..., Y_n + Z_n)

= (X₁ + (Y₁ + Z₁), ..., X_n + (Y_n + Z_n))

= ((X₁ + Y₁) + Z₁, ..., (X_n + Y_n) + Z_n)

= ((X₁ + Y₁), ..., (X_n + Y_n)) + (Z₁, ..., Z_n)

= (X + Y) + Z

(0, ..., 0) ∈ elemento neutro rispetto a (Kⁿ, +)

(X₁ + X_n), X₁) + (X₁, X₁ + X_n) = (0, 0, 0, 0, 0, ..., 0) = ogni elemento è invertibile

(X₁ + X_n + Y₁), X_n) = (Y₁, X_n + Y₁) è commutativa

(X₁ + X_n , X_n + Y₁) = (Y₁ + X_n

Uno spazio vettoriale, oltre che un'operazione interna, prevede anche un'operazione esterna

a ∈ K, (X₁, X₂, ..., X_n) ∈ Kⁿ

a · (X₁, X₂, ..., X_n) = (a × X₁, a× X₂, ..., a × X_n)

2) α (X + Y) = α X + α Y (legge distributive del prodotto rispetto alla somma)

dim

α (X + Y) = α (X₁ + Y₁, X₂ + Y₂+ (Y_n+1) = (X₁, (Y_n+1)

= (α × (X₁ + Y₁) ..., (X_n+1) + Y_n) = α × (X + Y)

= (α × X₁ + α × Y₁, α × X₂+ α × Y₂)

= (α × X_n+ α × Y_n) = α X + α Y