Introduzione algebra lineare applicazioni insiemi gruppo abeliano anello campo spazio vettoriale

Algebra Lineare e Geometria Analitica

Libro:

Algebra lineare e geometria analitica

Tutto il concetto di algebra lineare si basa sullo spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è un insieme qualsiasi V che rettifica opportune proprietà. Come insieme V possiamo scegliere ad esempio:

• V = _x dello spazio geometrico
• V = matrici
• V = polinomi
• V = {funzioni reali}

Supponiamo di avere due insiemi A e B insiemi.

A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} → differenza tra insiemi

Prodotto cartesiano

A × B = {(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

(x,y) = coppia ordinata => x = prima componente y = seconda componente

Esempio

A = {1,2,3}, B = {3,4}

A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)}

A × B × C = {(x,y,z) | x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C}

A₁ × A₂ × ... × A_n = {(x₁,x₂,...,x_n) | x_i ∈ A_i, i = 1,...,n} n-uple ordinato

Prodotto cartesiano di un insieme per se stesso

Aⁿ = A × A × ... × A = {(x₁,x₂,...,x_n) | x_i ∈ A, i = 1,...,n}

L' insieme delle parti è l' insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A

P(A) = {X | X ⊂ A}

A = {1,2,3} → P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, A}

Siano A e B due insiemi, un' applicazione di A in B è una corrispondenza che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di B

A = dominio

B = codominio

ALGERA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA

Libro:

Tutto il concetto di algebra lineare si basa sulla spazio vettoriale. Uno SPAZIO VETTORIALE è un insieme qualsiasi V che rettifica opportune proprietà.Come insieme V possiamo scegliere ad esempio:

• V = _x vettori geometrici
• V = X matricia polinomi
• V = Z funzioni reali

Sappiamo di avere due insiemiA e B insiemi

A ∪ B = _x ∈ A oppure x ∈ B

A ∩ B = _x ∈ A e x ∈ B

A \ B = _x ∈ A e x ∉ B _{→ differenza tra insiemi}

Prodotto cartesianoA × B = {(x, y)/ x ∈ A, y ∈ B}

(x, y) = coppia ordinata => x = prima componente y = seconda componentex ≠ y

Assempio

A = _{1, 2}, B = _{3, a} B = _{3(2,a)(2a)(3,1)3b}

A × B × C = _{x, y, z} / _{x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C}

A_x A = x_{i ∈ A} => x_{xi ∈ β} = {1...n)

L'INSIEME DELLE PARTI e l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A

P(A) = {X/ X ⊆ A}

Siamo A e B due insiemi, un'APPLICAZIONE di A in B è una corrispondenza che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di B

Pf: A → B ∀ x ∈ A→ f(x) ∈ B

immagine di x tramite f

Esempio

f: N → N → x² ∈ N

Questa applicazione è iniettiva ma non suriettiva perché esistono i ∈ N degli elementi per i quali non esiste alcun x se discusso e differente se prendiamo in considerazione un altro insieme di definizione.

Una applicazione φ: A → B si dice INIETTIVA se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.

∀ x,y ∈ A, x ≠ y ⇒ φ(x) ≠ φ(y)

Una applicazione φ: A → B si dice SURIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A φ(x) = y

Un applicazione φ: A → B si dice INVERTIBILE se è iniettiva e suriettiva.

φ: A → B

φ^-1: B → A (graficamente basta invertire il verso della freccia)

Esempio

Z → Z, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

g: x ∈ Z → x² ∈ Z applicazione non iniettiva né suriettiva

g(x) = g(x)

Basta combinare dominio e codominio di un applicazione per cambiare l'applicazione stessa.

OPERAZIONI SUGLI INSIEMI

L’operazione di addizione può essere pensata come un’applicazione tra due insiemi:₊: N × N → N(x, y) ∈ N × N = x + y ∈ N

L’operazione di moltiplicazione può essere pensata come un’applicazione tra due insiemi:_×: N × N → N(x, y) ∈ N × N = x × y ∈ N

Sia A un insieme, un’operazione binaria interna definita su A è una applicazione _○: A × A → A stata (come generica operazione)

Sia A un insieme e (A) l’insieme delle parti di A(×):((A) × (A) → (A) Operazione binaria interna definita su ((A)

(∩: ((A) × (A) → (A) Operazione binaria interna definita su ((A)

Un'operazione ☆: A × A → A definita su A, si dice ASSOCIATIVA se:x☆(y☆z) = (x☆y)☆z ∀ x,y,z ∈ A

Un'operazione ☆: A × A → A definita su A si dice COMMUTATIVA se:x☆y = y☆x ∀ x,y ∈ A

Esempi:-: Z × Z → Z operazioneLa sottrazione non è né associativa né commutativa.

+: N × N → NUn'operazione sia associativa che commutativa

·: N × N → NUn'operazione sia associativa che commutativa

∪: (A) × (A) → (A) → (A)x ∪ (y ∪ z) = (x ∪ y) ∪zL'operazione ∪ è sia associativa che commutativa, come lo è ∩ (l'intersezione)

Sia ☆: A × A → A un'operazione definita su A, un elemento e ∈ A si dice ELEMENTO NEUTRO se:x ☆ e = e ☆ x = x ∀ x ∈ A

Esempi:

• (N, +) 0 è elemento neutro
• (Z, -) né 0 è elemento neutro
• (R, ·) 1 è elemento neutro
• (R, +) 0 è elemento neutro
• (P, -) né 0 è elemento neutro
• (N\{0}, ·) non è elemento neutro
• (A, ⊂) ∅ è l'elemento neutro, come in tutti gli altri insiemi.

((A), ∪) ∅ è elemento neutro (∅∪Z = X∪∅ = ∅ Slx = ∀ x ∈ ^((A))

((A), ∩) ∅ è elemento neutro (∅∩Z = x∩∅ = ∅ ∀ x ∈ (A))P= numeri pari {2n | n ∈ Z} ∩ {x | x ≠ p, ∃ x, y, x= l, p} → x ∈ P

((A), ∩) ∅ è elemento neutro (perché ci stiamo riferendo solo a numeri pari)

Sia *: A x A-> A un'operazione definita su ASe in A esiste un elemento neutro, esso è unico.

dimSiano e₁ e e₂ ∈ A elementi neutrix * e₁ = x = e₁ * x (perché e₁ è elemento neutro)x * e₂ = x = e₂ * x (perché e₂ è elemento neutro)=> e₁ = e₂

Elemento Invertibile

Sia *: A x A-> A un'operazione definita su A dotata di elemento neutro e e ∈ A.Un elemento x ∈ A si dice invertibile se esiste un elemento x' ∈ A tale che:x' inverso di x x * x' = e = x' * x e e è l'unico elemento di A tale che:*x composto x da l'elemento neutro.

l'elemento neutro è invertibile e coincide con il suo inverso:e * e = e

Esempi(Z, +) 0 elemento neutro0 non è invertibileℤ m ℤ rispetto alla moltiplicazione, 1 e -1 sono gli unici elementi invertibili

(N, +) 0 elemento neutro0 è l'unico elemento invertibile

(Z, ·) 0 elemento neutroℤ m Z ogni elemento è invertibile

(Q, ·) 0 elemento neutroAnche in Q ogni elemento è invertibile

(P(A), ∪) ∅ elemento neutroSO ∅ è invertibile

(G(A)n, ∪) A elemento neutroV EC (IAP) invertibile => V (A) ∩ G(AC) ∩ X ∪ X' = A=> X = A => A è l'unico elemento invertibile

Sia *: A x A-> A un'operazione definita su A dotata di elemento neutro e e ∈ AOgni elemento invertibile possiede un unico inversoX è l'unico elemento invertibile

dimSiano x, x₁, x₂ inversi di x ∀Xx * x₁ = e = x₁ * x = x * x₂ = e = x₂ * xx₁ = e * x₁ = (x * x₂) * x₁ = x * (x₂ * x₁) = x * (e) = x

Sia G un insieme e a * : G x G -> G un'operazione definita in G.

La struttura (G, *) si dice un GRUPPO se:

1. * è associativa
2. Esiste in G l'elemento neutro e
3. Ogni elemento di G è invertibile

Se * è anche commutativa il gruppo si dice GRUPPO ABELIANO

Esempi

(N, +) non è un gruppo perché la (3) non vale

(Z, +, −) è un gruppo abeliano

(Q, +, −) è un gruppo abeliano

(R, +, −) è un gruppo abeliano

(C, +, −) è un gruppo abeliano

(N, *) Non è un gruppo

(Z, *) Non è un gruppo perché (∅) non è invertibile -> la (3) non vale

(Q, *) Non è un gruppo perché 0 non è invertibile -> la (3) non vale

(R, *) Non è un gruppo perché 0 non è invertibile -> la (3) non vale

(QA, *) è un gruppo abeliano

(PG, ⋃) è un gruppo

(PG, ⋂) è un gruppo

(PG, ∖) è un gruppo abeliano

Esempi

(No, +, *) Non è un anello

(N, +, *) è un anello non banale commutativo

(Z, +, *) è un anello unitario commutativo

(Q, +, *) è un anello unitario commutativo

(R, +, *) è un anello unitario commutativo

(C, +, *) è un anello unitario commutativo

Sia (P, +, ⋅) un anello commutativo ma non unitario

Un CAMPO è un anello unitario commutativo (K, +, ⋅) in cui ogni elemento ≠ 0 (elemento neutro rispetto alla somma) è invertibile rispetto a ⋅

Esempi

(Z, +, *) non è un campo

(Q, +, *) campo razionale

(R, +, *) campo reale

(C, +, *) campo complesso

K = {0, 1}

+

• 0 + K -> K
• 0 + 0 = 0
• 1 + 0 = 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 0

:

• K x K -> K
• 0 · 0 = 0
• 0 · 1 = 1 · 0 = 0
• 1 · 1 = 1

Campo più piccolo possibile con 2 elementi

G F (2) G F = Galois Fields = Campo di Galois

GFp con p numero primo, n ∈ N

[1 non è numero primo]

K campo, n ∈

Kⁿ = K x K x K x ... x K = { (x₁, x₂,..., x_n)/ x_i ∈ K }_{i = 1,...,n}

+

:

• Kⁿ x Kⁿ -> Kⁿ

(x_i, x₂,..., x_n) (y₁, y₂,..., y_n) = (x₁ + y ₁, x₂ + y₂,...,x_n + y_n) ∈ Kⁿ

(x₁, x₂,..., x_n) vettore numerico di ordine n

( 0, 0, 0,..., 0) = vettore numerico nullo

(x₁ + x₂, x₃ + x₄) = { (0, 0, 1, 0, 1, 2, 3), (4, 1, 2), (3) } = (3, 0, 1, 2, 4)

Dimostriamo che Kⁿ è uno spazio vettoriale sul campo K = spazio vett

numerico di ordine n su K. Per dimostrarlo, usiamo le proprietà del campo.

(Kⁿ , +) è un gruppo abeliano

dim

( x₁,..., x_n)

( y_i,..., y_n)

( z₁,..., z_n) ∈ Kⁿ

x + ( y + z )

( x₁ ,..., x_n ) + ( ( y₁ ,.., y_n ) + ( z₁,..., z_n ))

( x₁ ,..., x_n ) + ( y ₁ + z₁ ,..., y_n + z_n )

( x₁ + ( y₁₁ + z₁ ), ... , x_n + ( y_n + z_n) )

=( x₁ + y₁+ z₁ ,..., x_n + y_n + z_n)

=( x₁ + y₁ + ( z_1I), ..., (x_n + y_n) + (z_n)

(x₁+ y₁,...,x_m+ y) + z

(0, ..., 0) elemento neutro rispetto

α

Kⁿ

(y_i ,...,y_n) + (x₁,...,x_n) = (0,0,0,...,0) ogni elemento è invertibile

a ∈ K, ( x₁,..., x_n ) ∈ Kⁿ

α . ( x₁, x₂ ,... a_n ) = ( a_x, a₂x₁, ..., a_n )

( ax₁, ax₂,, ax_n)

( ax x₁ ),...,ax_n )

( x + y )

2 . x + 2 + y_X

( 0 x + 1 ) + ax_n+1

xⁿ

a

(y₁ + y),..., y_n + a_y )

(3) (a+b)·x = a·x + b·x

dim

(a+b)·x = (a₁+b₁, ..., a_n+b_n)·(x₁, ..., x_n) =

= ((a₁+b₁)·x₁, ..., (a_n+b_n)·x_n) = (a₁·x₁+b₁·x₁, ..., a_n·x_n+b_n·x_n) =

= (a₁·x₁, ..., a_n·x_n) + (b₁·x₁, ..., b_n·x_n) = a·x + b·x

(4) (a·b)·x = a·(b·x)

L’è associativa

dim

(a·b)·x = (a·b)·(x₁, ..., x_n) = ((a·b)·x₁, ..., (a·b)·x_n) =

= (a·(b·x₁), ..., a·(b·x_n)) = a·(b·x₁, ..., b·x_n) = a·(b·x)

(5) 1_K·x = x

dim

1_K·x = 1_K·(x₁, ..., x_n) = (1_K·x₁, ..., 1_K·x_n) = (x₁, ..., x_n)

Abbiamo dimostrato che Kⁿ è uno spazio vettoriale sul campo K.

SPAZIO VETORIALE

Sia V un insieme K un campo

V si dice spazio vettoriale sul campo K se sono definite due operazioni:

1. V + V → V interno + tale che:
2. V × V → V esterno tale che:

• (V, +) è un gruppo abeliano
• (a·b)·u = a·(b·u)
• 1·u = u
• a·(u+v) = a·u + a·v
• (a+b)·u = a·u + b·u

MATRICE

Una matrice è una tabella formata da m righe ed n colonne con elementi su un campo K

A = (a_ij)

a_ij ∈ K

I = indice di righe

J = indice di colonne

dim = m × n

tipo 3×1

0 3

A =

1 2

0 6

Gruppo

GF(2)

0 1

H =

1 0

K^m×n = matrici di tipo m×n su K³ⁿ {K^Km×n = K^m×n

(a_{1 1} a_{1 n})

(a_ij)

(a_{m 1} a_{m n})

+ (b_{1 1} b_{1 n})

(a_ij + b_ij)

(b_{m 1} b_{m n})

= (a₁ ¹ b₁ ¹ a₁ ⁿ b₁ ⁿ)

(a_ij b_ij )

(a_{m 1} b_m ¹ a_{m n} b_{m n})

(K^m×n, +) è un gruppo abeliano

scal k ∈ K (a_ij) (k·a₁₁ ... k·a_1m)

(k·a_ij) = (k·a_m11 ... k·a_mnm)

K^m×n è uno spazio vettoriale su K => spazio delle matrici di tipo m×n su K