Anello, Campo, Spazio Vettoriale e Matrici su un campo (Teoria ed Esempi)

Anello

Sia A un insieme e siano +:A×A→A e •:A×A→A due operazioni definite su A. La struttura (A, +, •) si dice “anello” se:

1. (A, +) è un gruppo abeliano.
2. L’operazione • è associativa.
3. Valgono le 2 leggi distributive del prodotto rispetto alla somma:
   • a•(b+c) = a•b + a•c
   • (a+b)•c = a•c + b•c
   per ogni a,b,c ∈ A

• Operazione • commutativa → Anello commutativo
• Operazione • con elemento neutro → Anello unitario

Esempi

• (ℕ₀, +, •) non è un anello perchè (ℕ₀, +) non è un gruppo
• (ℤ, +, •) è un anello commutativo unitario
• (ℚ, +, •)       u  u
• (ℝ, +, •)       u  u
• (ℂ, +, •)       u  u
• (ℙ(A), ∪, ∩) non è un anello perchè (ℙ(A), ∪) non è un gruppo

Consideriamo l'insieme P={2m/m∈ℤ} dei numeri pari. Se x,y∈P => x+y∈P e x ⋅ y∈P e dunque sono definite le operazioni:

• +:P×P→P
• •:P×P→P

Anello

Sia A un insieme e siano _Ax_A→_A e ⋅_Ax_A→_A due operazioni definite su A. La struttura (A, +, ⋅) si dice "ANELLO" se:

1. (A, +) è un gruppo abeliano.
2. L'operazione ⋅ è associativa.
3. Valgono le 2 leggi DISTRIBUTIVE del prodotto rispetto alla somma:
   • a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
   • (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
   ∀a, b, c ∈ A

• OPERAZIONE ⋅ COMMUTATIVA → ANELLO COMMUTATIVO
• OPERAZIONE ⋅ CON ELEMENTO NEUTRO → ANELLO UNITARIO

Esempi

• (N₀, +, ⋅) non è un anello perché (N₀, +) non è un gruppo
• (Z, +, ⋅) è un anello commutativo unitario
• (Q, +, ⋅)                 u                     u
• (R, +, ⋅)                 u                     u
• (C, +, ⋅)                 u                     u
• (P(A), ∪, ∩) non è un anello perché (P(A), ∪) non è un gruppo

Consideriamo l'insieme P = {2m / m ∈ Z} dei numeri pari. Se x, y ∈ P → x + y ∈ P e x ⋅ y ∈ P e dunque sono definite le operazioni:

• +:PxP→P
• ⋅:PxP→P

La struttura (P, +, ⋅) è un anello perché (P, +) è un gruppo abeliano, l'operazione ⋅ è associativa e valgono le leggi distributive. Tale anello è COMMUTATIVO ma NON UNITARIO perché in P non esiste elemento neutro rispetto all'operazione ⋅.

Campo

È un anello unitario commutativo (A,+,·) in cui ogni elemento ≠ 0ó ha un elemento neutro rispetto a + è invertibile rispetto a ·.

Esempi

• (ℤ,+,·) non è un campo perché gli unici elementi invertibili rispettoall'operazione · sono -1 e + 1.
• (ℚ,+,·) campo razionale.
• (ℝ,+,·) campo reale.
• (ℂ,+,·) campo complesso.

Campi Finiti

Sia A = {0,1} dove 0,1 sono per il momento solo due simboli.Definiamo su A un'operazione +: A x A -> A definita al modo seguente:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = ?

Se vogliamo che (A,+) sia un gruppo dobbiamo porre 1 + 1 = 0. Se ponessimo1 + 1 = 0 l'elemento 1 non sarebbe invertibile, cioè ∄ X ∈ A: 1 + X = 0

Definiamo su A un'operazione ·: A x A -> A al modo seguente:

• 0 · 0 = 0
• 0 · 1 = 1 · 0 = 0
• 1 · 1 = 1

Si può verificare che la struttura (A,+,·) è un campo, dove 0 èl'elemento neutro rispetto all'operazione + e 1 l'elemento neutroall'operazione ·. Questo campo finito si denota con ilsimbolo GF(2), ovvero "Galois Field of order 2", cioè "campodi Galois di ordine 2", è il più piccolo campo finito. Esistono campifiniti di ordine p^m dove p è un numero primo e m∈ℕ.

GF(p^m)

Spazi Vettoriali su un Campo

Sia (K,+,·) un campo. Dominiamo con 0 l'elemento neutro rispettoall'addizione e con 1 l'elemento neutro rispetto all'operazione ·.Consideriamo:

K^m = K x K x K x ... x K = { (x₁, x₂, ..., x_m) / x_i ∈ K } con m∈ℕ

vogliamo definire su K^m una struttura di spazio vettoriale.

Gli elementi di K^m si dicono Vettori Numerici, ad esempio

(0,0,0,...) è detto Vettore Numerico Nullo di K^m.

Definiamo un'operazione interna di addizione in K^m +: K^m x K^m -> K^m al modo seguente:

(x₁, x₂, ..., x_m) + (y₁, y₂, ..., y_m) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m) ∈ K

Esempi in K^m:(1, 0, 2) + (2, 1, 2) = (3, 1, 3)in K³(0, -1, 5) + (3, 1, 6) = (3, 0, 1)

L'operazione +: K^m x K^m -> K^m è associativa

dim. Posto (x₁, ..., x_m) = (y₁, ..., y_m) = (z₁, ..., z_m) =

=> x + (y + z) = (x₁, ..., x_m) + ((y₁, ..., y_m) + (z₁, ..., z_m)) =

= (x₁, ..., x_m) + (y₁ + z₁, ..., y_m + z_m) = ((x₁ + (y₁ + z₁)), ..., x_m + (y_m + z_m)) =

= per la proprietà associativa di +: K x K -> K =

= ((x₁ + y₁) + z₁, ..., (x_m + y_m) + z_m) =

= ((x₁, ..., x_m) + (y₁, ..., y_m)) + (z₁, ..., z_m) = (x + y) + z

Elemento Neutro e Invertibile di K^m

In K^m 0 è elemento neutro rispetto all'operatore +: K^m x 0 = (x₁, ..., x_m) + (0, ..., 0) = (x₁, ..., x_m)

dunque lo vettore numerico nullo (0, ..., 0) è l'elemento neutro rispetto all'operazione +: K^m x K^m -> K^m

Ogni elemento di K^m è invertibile rispetto all'operazione +: K^m x X^m -> K^m, infatti ∀ (x₁, ..., x_m) ∈ K^m, ᵪ ha

(x₁, ..., x_m) + (-x₁, ..., -x_m) = (0, ..., 0) = (-x₁, ..., -x_m) + (x₁, ..., x_m)

Inoltre l'operatore +: K^m x K^m è commutativa, infatti

= (y₁ + x₁, ..., y_m + x_m) = (y₁, ..., y_m) + (x₁, ..., x_m)

In definitiva abbiamo verificato che (K^m, +) è un gruppo abeliano

OPERAZIONE ESTERNA IN Kⁿ

In K, definiamo un'operazione ESTERNA: K × Kⁿ → Kⁿ al modo seguente:

Dato a ∈ K e (x₁, ..., x_n) ∈ Kⁿ, poniamo

a · (x₁, x₂, ..., x_n) = (a · x₁, a · x₂, ..., a · x_n).

∀a ∈ K, ∀x, y ∈ Kⁿ si verifica che:

a · (x + y) = a · x + a · y infatti:

dim: a · (x + y) = a · (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n) = a · (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n) =

=(a · x₁ + a · y₁, ..., a · x_n + a · y_n) per la prop. distributiva nel campo K =

= (a · x₁, ..., a · x_m + a · y_n) = a · x + a · y

∀a, b ∈ K e ∀x ∈ Kⁿ si ha:

(a + b) · x = a · x + b · x =>

=> (a, b) · x = (a · b) · (x₁, ..., x_n) = ((a+b) · x₁, ..., (a+b) · x_n) =

per la proprietà distributiva nel campo K = (a · x₁ + b · x₁, ..., a · x_m + b · x_m)

= a · x + b · x

∀a, b ∈ K e ∀x ∈ Kⁿ in che:

(a · b) · x = a · (b · x)

infatti:

=>(a · b) · x = (a · b) · (x₁, ..., x_n) = ((a · b) · x₁, ..., (a · b) · x_n) =

per la proprietà associativa dell'operazione ·: K × K → K =

=(a · (b · x₁), ..., a · (b · x_n)) = a · (b · x₁, ..., b · x_m) =

= a · (b · (x₁, ..., x_n)) = a · (b · x)

Definizione di Spazio Vettoriale su un Campo K

Sia V un insieme.

V dice spazio vettoriale sul campo K se sono definite due operazioni:

• V x V → V (interna) e • : K x V → V (esterna) tali che

1. (V, +) è un gruppo abeliano
2. a₁(µ + ν) = a₁µ + a₁ν
3. (a + β)µ = aµ + βµ
4. (a • β) • µ = a • (β • µ)
5. 1 • µ = µ

∀ a, β ∈ K

∀ µ, ν ∈ V

Abbiamo quindi verificato che l'insieme V = K^m è uno spazio vettoriale sul campo K, detto spazio vettoriale numerico di ordine m sul campo K

∀ x ∈ Kⁿ, si ha:

• 1 • x = x, infatti 1 • x = 1 • (x₁, ..., x_n) = (1 • x₁, ..., 1 • x_n) = (x₁, ..., x_n) = x

Essendo (V, +) un gruppo abeliano, in V l'+quelle che l'elemento neutro rispetto all'operazione +, del vettore nullo di V è si denomina con Q.

Dunque si ha:

x + Q = Q + x = x ∀ x ∈ V

Inoltre, essendo (V, +) un gruppo, ogni elemento di V è invertibile se ∈ V e il numero di V rispetto all'operazione + e si denota con -x

Dunque:

∀ x ∈ V ∃ -x ∈ V ∣ x + (-x) = (-x) + x = Q

Esempio

In Kⁿ il vettore nullo è Q = (0, 0, ..., 0)

Quello di ℝ² è (0, 0)

Quello di ℝ⁴ è (0, 0, 0, 0)

MATRICI SU UN CAMPO

Sia K un campo.

Si definisce MATRICE DI TIPO m x m su K una tabella formata da m righe ed n colonne i cui elementi ∈ K:

A = (

  a₁₁ a₁₂ ... a_1m

  a₂₁ a₂₂ ... a_2m

 (   .

  a_n1 a_n2 ... a_nm)

)

a_ij ∈ K

Ogni elemento a_ij della matrice A è rappresentato da due indici:

  i = indice di riga,  j = indice di colonna.

ESEMPIO 1

A = (

  0  4  -1

  2  0  3

 (  0  -2  4)

) matrice di tipo 3x4

a₁₁ = 0

a_m1 = -1

a₂₃ = 3

A può essere su qualunque campo K. Infatti gli elementi devono 0,1 ∈ K,

ma anche -2 = 1 + 1 ∈ K, 3 = 1 + 1 + 1 ∈ K, -1 = -2 – (-1 + 1) ∈ K

ESEMPIO 2

La matrice A = (

  0  2  5

  6  3  -8

 (  0   3)

) può essere definita nel campo EF(2), in tale caso

  0  2  5

  0   3

 (  0   3)

)

infatti  2 = λ + λ = 0

      0 = λ + λ + λ + λ = 4

-λ = λ   perché λ - λ = 0   3 = λ + λ + λ = λ

Definiamo con K^m,n l'insieme formato da tutte le matrici di tipo m x m su campo K e in esso l'operazione (colonne: k^m,n + k^m,n → K^m,n)

NOTAZIONE

(

  a₁₁ a₁₂ ... a_1M

  a₂₁ a₂₂ ... a_2M

 ( a_m1 a_m2 ... a_mM)

) + (

  b₁₁ b₁₂ ... b_1M

  b₂₁ b₂₂ ... b_2M

  b_m1 b_m2 ... b_mM

) = (

  a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ ... a_1M + b_1M

  a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ ... a_2M + b_2M

 a_m1 + b_m1 a_m2 + b_m2 ... a_mM + b_mM

)

Esempio

Im K_1,3

In GF(2^2,2)

ma

e quindi

In maniera analoga al caso di K^m si può dire che:

1. (K^m,n, +) è un gruppo abeliano.

   L'elemento neutro è la matrice di m x n nulla ( 0 0 ... 0 )

   mentre l'inverso della matrice ( 0 0 ... 0 )

   ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m )( a₂₁ a₂₂ ... a_2m )( a_m1 a_m2 ... a_mm )

   è la stessa ma

   con gli elementi

   questa volta

   negativi.

Operazione esterna matrici

Definiamo: k x K_m,n = K^m,n

Notazione

=

Esempio

In K^1,3

Analogamente a quanto visto per K^m si può verificare che:

2. K · (A + B) = k · A + k · B
3. (h + k) · A = h · A + k · A
4. (h · k) · A = h · (k · A)
5. 1 · A = A

K^m,n è detto spazio delle matrici di tipo m x n sul campo K.