Integrali (proprietà ed esercizi)

INTEGRALI DEFINITI

Funzione y = f(x)

Come calcolare l'area?

Passaggi al limite:

• divido in rettangoli piccoli in modo da poter considerare la funzione come una retta
• l'area di una delle strisce verticali ≅ f(x)_i Δx_i
• Se Δx_i → 0 gli errori nei calcoli delle aree tendono a zero

lim_Δx→0 (Somma delle aree di tutte le strisce verticali)(Somma delle f(x)_iΔx_i)

∫_a^b f(x) dx

PROPRIETÀ DELL'INTEGRALE DEFINITO:

• ∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx
• Se K è costante allora∫_a^b Kf(x) dx = K ∫_a^b f(x) dx

∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx

Per convenzione

∫_b^a f(x) dx = - ∫_a^b f(x) dx

Integrali Definiti

Funzione

y = f(x)

Come calcolare l’area?

Passaggi al limite:

• Divido in rettangoli piccoli in modo da poter considerare la funzione come una retta
• L’area di una delle strisce verticali ≈ f(x)_i Δx
• Se Δx → 0, gli errori nel calcolo delle aree tendono a zero

lim_Δx→0 (Σ (Somma delle aree di tutte le strisce verticali(cioè f(x)_iΔx))= ∫_a^b f(x)dx

Proprietà dell'integrale definito:

∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

Se K è costante allora:

∫_a^b Kf(x) dx = K ∫_a^b f(x) dx

∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx

Per convenzione

∫_b^a f(x) dx = - ∫_a^b f(x) dx

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Sia f: [a, b] → ℝ una funzione continua.Sia G: [a, b] → ℝ tale che G’(x) = f(x).G è detta "primitiva" di f.

Allora

∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a)

Una funzione G (primitiva di f) tale cheG’ = f si indica con G = ∫ f(x) dx

Integrali di Funzioni Elementari:

Se K è costante:

• ∫ K dx = Kx + c (c costante)
• ∫ x dx = x²/2 + c
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/ⁿ⁺¹ + c (se n ≠ -1)
• Se n = -1
• ∫ x^-1 dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + c
• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + c
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + c
• ∫ e^x dx = e^x + c

Regole di Integrazione:

1. Integrale per sostituzione:

Sia G(x) una funzione tale che G’(x) = f(x),cioè ∫ f(x)dx = G(x) + c,poniamo x = φ(t) (funzione di t)si ottiene G(x) = G(φ(t)) (funzione composta)

Quindi:

D[G(φ(t))] = G’(φ(t)) • φ’(t)

= f (φ(t)) • φ’(t)

∫ f(φ(t)) • φ’(t) dt = ∫ f(x) dx

es. ∫ e^x sin(x) • cos(x) dx =

dx

sin x = z

∫ dz cos x • dx

| e^z dz = e^x = e^{sin x}

es. ∫ 1 / √x + 1 dx =

√x = z √

x = z

dx = 2z dz

= ∫ 1 / z + 1 dz = 2 ∫ 2 / √x + 1 dz = 2 ∫ (1 / z + 1

Ossia ∫ f(x) • g'(x) = ∫ f(x) g(x) dx - ∫ g(x) f(x) dx

Ottego:

= ∫ f'(x) • g(x) = (f(x) • g(x)) - ∫ g'(x) • f(x) dx -> formula di integrazione per parti

es. ∫ x sin(x) dx =

= ∫ x • cos(x) - (-cos(x)) dx = x cos(x) + ∫ cos(x) dx

- ∫ cos(x) dx + sin(x) + C

es. ∫ x² sin²(x) dx = x²(-cos x) - ∫ 2x (-cos x)

= -∫ x² cos x + 2 ∫ x cos x dx = uso ancora integraz ione per parti

es. ∫x ln(x) dx = ∫1 ln(x) dx + ln(x) · x - ∫ 1 · x · ¹/_x dx = x ln x - x + c

es. ∫ e^x sinx dx = sin x · e^x - ∫ e^x (cos x) dx

+ [ sin x · e^x + cos x · e^x] - ∫ ( - sin x ) dx =

-   ∫ e^x x sin x dx = e^x sin x - e^x cos x - ∫ e^x sin x dx

=D   2 ∫ e^x sin x dx = e^x sin x - e^x cos x

=D 5 ∫ e^x sin x dx = e^x sin x - e^x cos x / 2

APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE:

• calcolo di aree
• ricerca delle primitive di una funzione (Soluzione di eq. differenziali)
• calcolo dei volumi
• calcolo della lunghezza di una curva

VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE

V = ∫ [f(x)]² dx

Scissa elemento per rotazione del grafico y = f(x) attorno all'asse x

Il volume della sezione è [f(x)]² dx

Il volume totale =

V_a^b = ∫ [f(x)]² dx = ∫ [g(x)]² dx

es. volume di una sfera di raggio r:

y = ± √R² - x²

La semicirconferenza è data da y = ± √R² - x²

V = dri∫_L (R² - x²) dx = ∫ R² dx = (R²·x - x³/3)_c,

=u [R² R³/3 ]

V = ₄⁄₃ π R³

Se derivo la formula del volume della sfera ottengo 4πR²che è la superficie della sfera.

CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UNA CURVA

Teorema di Pitagoradl = √(dx² + dy²)se ho dy = f'(x) dxdl = √(dx² + f'(x) dx²)    = √(1 + f'(x)²) dx

La lunghezza totale dell'arco di curva è:

L = ∫_a^b √(1 + f'(x)²) dx

Consideriamo la curva = catenariay = C_R(x)    = e^x + e^-x₂

f(x) = C_R(x)      f'(x) = S_R(x) = e^x e^-x₂

1 + f'(x)² = √(1 + S_R(x)²) = √(C_R(x)²)= C_R(x)perché (C_R(x)² + S_R(x)² = 1     ( C_R(x) è sempre >0)

Si ottiene:L = ∫_a^b √(1 + f'(x)²) = ∫_a^b C_R(x) = [S_R(x)]^b_a = S_R(b) - S_R(a)

es. f(x) =      1           x²

Dominio: x ≠ 0

∫_a^b 1/x² dx = ?

Nel estremo a la funzione non è definita

∫_ɛ^b 1/x² dx     ɛ > 0

ɛ → 0 ∫_ɛ² 1/x² dx

INTEGRALE GENERALIZZATOSe limite può non esistere