Appunti di Integrali per funzioni di variabile reali

Lezione 23

14/12/20 (2h noto)

Integrale Indefinito - Primitiva

Def: (Primitiva)

F è primitiva se è derivata di F e f (formulazione).

cioè, data f: I ⊆ ℝ, si possiede una funzione derivata di F nel senso che F' = f (deriv. da f)

esempio:

• Esponenziale
• Funzione

Teorema

se f: (a, b) → ℝ, con a, b ∈ ℝ è una funzione C⁰, allora f possiede primitive (esiste almeno una) in K (comport. con ℝ)cioè una primitiva K

Esempio:

1. Supponiamo che F ∈ C sia una primitiva di f e G appartenente a K allora G ≠ continua in supp. C (G) ⇒ G è una primitiva di f.
2. Supponiamo che F ∈ C stessa proprietà e φ un polinomio f (unico) conduce che [φ e F ∈ G primitive - variabili] [Trans + F(a = b) = 0 + c, fatta + numericità in [0,1]*having migliore fornito] Per la continuità della funzione, l'aumento in un intero normalizzato, η in una C⁰-posizione con ℝ.

Def: (Integrale Indefinito)

Data f: I → ℝ con I ⊆ ℝ (campo qualsiasi)

chiamasi Integrale Indefinito di f l'operazione globale ordinario primitiva F ⊂ ℝ e si introduce (classe).cioè ∫ f possiede numeri non definiti costante C fissata, le combine per conoscenza su ogni intervallo:

Note: la non possedere sempre ∫ f(x) = F(x) + C Funzione Numeri

Teorema: (Primitiva funzioni elementari)

∫0 dx = c con c ∈ ℝ

∫x^adx = valore con c ∈ ℝ

∫sinαdx = Sc α = -1 con c ∈ ℝ

∫cosαdx = Sc⁰ da K_{cp0 con c ∈ ℝ}

Sommatorie

Sommatorie

S≤a dx = x⁰ + lnx + C_{defizione classe}

∫cos2αdx = (-cos) + c Sc

∫(Sc^-1)dy + log (logx)xente

ossessione: soluzione fondamentale

oss: dimostrazione che tutte le funzioni continue hanno una primitiva

Lezione 25 18/12/20

Proprietà: Integrale Definito

Teorema: Siano f, g : [a; b] → ℝ funzioni integrabili su [a; b]   (Lineare integrale definito)

• Dato un intervallo generico:   Divido in n sottointervalli:    

Per det. di partenza:   Allora  

Dimostrazione per l'integrale indefinito   Tra gli spazi variabili e le loro somme integrabili   Allora

Inserire punto (∀ f(x) \subset V è   Allora  

Vogliamo dimostrare un risultato che permette di calcolare un integrale indefinito senza ritornare alla def. Abbiamo bisogno di qualche preliminare:

Teorema (del massimo integrando):   Sia f su   l'integrale diventa la somma ottimale    

Il nome è "teorema della metà": non c'è più massa.   Allora   Alla fine    

Esempio:

Σ_n=1^∞ 1/n² dx

f(x) contenuta in (1, _∞)

∫₁^∞ 1/x² dx da a=1

Integrale convergente

Σ_n=1^∞ (1/n²)(1/n) (Risultato: [0, _∞) divergente)

casi in cui Σ_k=j^∞ diverge (-1) (1 _∞)

ESEMPIO Σ_k=1^∞

f(x) contenuta in (1, _∞)

Σ_n=3^∞(1)

Dico scriverei

L=Σ_k=1ⁿ = 1

L _∞

considerare Σ

∫₁^∞ (f(x)e^x) dx

Risultato costante

Criteri di Integrabilità

ln(n)

Sicuramente

ln(n+1)=lnn

Nel seguito supponiamo

Condizione: serie armonica generalizzata

a_n = ¹/_n^α con α = 1

a_n = ¹/_n^α con α > 1 convergente

Si può dimostrare per α>0 con gli integrali generalizzati:

S_m = a₁ + a₂ +a₃ + ... +a_m-1 +a_m S_m = ¹/_1^α + ¹/_2^α + ¹/_3^α + ... + ¹/_(m-1)^α + ¹/_m^α

poiché  ¹/_x^α≤ ¹/_n^α ≤¹/_(n-1)^α S_m ≤ ∫²/₃ ¹/_x^α dx con α>0

Risultato fondamentale: ∫^∞/₁ ¹/_x^α dx = ¹/_(α-1) con α > 1

→ S_m converge