Appunti di Integrali per funzioni di variabile reali

Lezione 23 14/12/20

1^a Integrali Indefinito - Primitive

Def (Primitiva)

dico che F(x) è una primitiva di f(x) se esiste F'(x)=f(x) su un intervallo I.

• Esempio: f(x)=cosx
• Esempio: F(x)=sinx

Teorema

Se f(x) allora: come ultima primitiva definita a meno di una costante

dim: supponiamo f (x) allora esistono n>CRO

Per la continuità esiste un determinato massimo univocamente in un CRO

Def: (Integrare Indefinito)

chiamo

OSS: non si può calcolare

Teorema (Primitives funzioni elementari)

S

• OSS: demolizioni che dalle le funzioni continue hanno una primitiva

Studiamo i metodi di calcolo di primitive

• Per decomposizione
• Per parti
• Per sostituzione
• Integrali immediati (noti)

Per Decomposizione

Dati f(x), g(x), integrabili in A sottoinsieme R(ΑF + B G) con Α,B reali

• Integrale (Somma)oppure se somme F(x)-G(x)
• Si pone:

  Esempio

  ∫(3x-1)^2 dx= ∫(5X^3-5X-0)dx = (E)

• (x^3-10x+n*c-c+c)[3.]₀
• = c∈R

Per Parti

Ricordo che sì (), ∫f(x) = dx

• Ponendo

d = g'(x)

da cui S<funz.antiderivata) = Proiz

Quando:S<conosco Funz.v prop. scom. dx

Esempio Scegli:

• Prima logeA
• x= logr+1 dx = g'(x)d= B log dF dx= X *_2.X * d
• logx
• B(x * 2XX * dx = 0R
• OSS: (Op G)(coo meno tarmato) log (3/4x) = B 3n logx-1X-1XRx
• = log

Posso con preferenze

un integrande puoi scre... integrando (in (3-)

Lineari

Sedia) + ∫(xx) [S=funz]= s²+∫<38.6x]

∫(D/N) dx = LOG In Remanenti (A) (*);_cosR

Per Sostituzione (o composizione di funzioni)

Ricordo che Per il dermatavile[x∈ derv costante]= L'(x) derivata di primo:T(gx)da cui ∫(g(x)) → Dsi pone:

• Quantizzazioni
• ∫(f(v)),ing(∫T)(x)]
• (x[value])= ∫(funz. * F(ET}) dx
• (Eimg)

&_=tk

Esempi

1. x=∫(3x(dx) = [3x[2=0]= ∫(tg(1+(∫(x) tanx)∫x= [(αtg)+(∫[x1
2. Per CXG*(x(x))

OSS:

Scelto con una temporali per cmvbesempio prima tan (integrale)

• Sì
• Volsi primo taurato pulv− in funzioni (3rev.in.E(cos+x[x)p

Si Eùm (sinx + cos(3y)con

esempio:

S ∫ e^2x = S(e^x(come dt anche))

f(x) = e^x

g(x) = e^x

f(g(x)) = e^g(x)

S e^x dx = `

S e^g(x) g'(x) dx

• S e^trueg(x) dx

esempio:

S ∫ 2e^x + dx 2sin(x) dx

e^-x

S e^x (per impostare)

• - è -x/
• - integrale `dx

esempio:

S ∫ x 2 e^x x' dx

S ∫ 43/27 (3 et + 1) e^x dx f(g vom \circ f'(x))

S(uext) = S (eine(s)) = cerR

io - 6 - 2x, 9x4yrq,

IMPORTANT!

• S = S * giro
• S = S(S = Sini nel set)
• Sx = x sin(x) cos(x)
• sinn2 = seno(x) + e/ dx sin (radice, x)

R

• S sin(x)/ sin(x)'

slegarsi: de lintegral

(osen e - cosa con carrello inferiore a sin)

Lezione 24 15/12/20

2° Integrale Definito

Sia f(x)≥0 con x∈[a,b], l'ombra è una curvilinea

dividiamo [a,b] in parti di ampiezza complessiva trascur.

• Scelgo arbitrariamente (non per forza un ordine) un punto x_i in ogni intervallo I_i

È continua la seguente somma: Sottintendendo il limite per n…

Con m→∞,Semplifico S_n=∑f(x_i)Δx_i

Quando S_m non ha senso:

(Per ogni x_i scelto un punto diverso)

Dentro…con seno perché S_m non ha un senso!

Def (Integrale Definito)

Se f, con x∈[a,b] e continua sotto a curva limitata

Il limite della somma n...

Si scrive ...S_n=∑f(x_i)Δx_i

(Limite esiste e non dipende dall'istante)

Tutto limite si nota...(Definizione Integrale Definito di f su [a,b])

• OSS:➀
• ∫(contrav) f
• ➁
• Se faccio il loro cubo
• Allora∫ cerca ∫ f
• S