Integrali (formule, proprietà ed esercizi)

INTEGRALI DEFINITI

Funzione   y = f(x)

Come calcolare l'area?

Passaggi al limite: - Divido in rettangoli piccoli in modo da poter considerare la funzione come una retta - L'area di una delle strisce verticali   ≈   f(x) Δx - Se   Δx → 0   gli errori nell'addob delle aree tendono a zero

∫_a^b f(x) dx = lim_{Δx → 0}  (Somma delle aree di tutte le strisce verticali)                    (cioè   Σ f(x)_i Δx)

PROPRIETÀ DELL'INTEGRALE DEFINITO:

∫_a^b (f(x) + g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

Se K = costante allora:

∫_a^b K f(x) dx = K ∫_a^b f(x) dx

∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx

Per convezione:

∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx

Integrali definiti

Funzione

Come calcolare l'area?

• Passaggi al limite:
• Dividi in rettangoli piccoli in modo da poter considerare la funzione come lineare.
• Una sotto
• L'area di una delle strisce verticali ≅ f(x)_i Δx
• Se Δx → 0 gli errori nel calcolo delle aree tendono a zero

∫a^b f(x) dx

Proprietà dell'integrale definito:

• ∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx
• Se K è costante allora:
• ∫a^b K f(x) dx = K ∫a^b f(x) dx

Per convenzione

∫a^b f(x) dx = -∫b^a f(x) dx

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione continua

Sia G: [a,b] → ℝ tale che G'(x) = f(x)

G è detta "primitiva" di f

Allora

∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a)

Una funzione G (primitiva di f) tale che G' = f si indica con G = ∫f(x) dx

Integrali di Funzioni Elementari:

Se k è costante:

∫k dx = kx + c    ( c costante )

∫x dx = ^x2⁄₂ + c

∫x² dx = ^x3⁄₃ + c

→ ∫x^m dx = ^xm+1⁄_m+1 + c    (se m ≠ -1)

Se m = -1

∫x^-1 dx = ∫