Integrali doppi

(X ER

4) 1

y

T 0

a 0 =

=2 x

-4 %

:

, -

*

110

01: flyl passante -

retta

10 . A 1

B X

A per =

e :

((X 4703

ER2

il

es 42

Riscrivere D

dominio x 2

4) 1 4

=

= +

:

= ,

. ,

A

- 4224

x a 2

+ = -

b

4221

x2 2

+ =

420

D rispetto

solo alla

normale X

è E XE2 -1JU[ri2]

y2

X2 0

B(x) 4 ,

= ,

+

: X(X)

y2 =

x2

4

= - v E

xz 1]

x r

y +

= ,

,

=N

Y xz

=

((x B(x)]

4)t(2

D 2 = 1 2 ((x) =

x

: y

=

= , - ,

PARTIZIONE DOMINIO

UN NORMALE

DI limitata

dominio (D

D compatto chino

DD

normale e

di

Teorema compatto

Weistra

il esistono

En per insieme

in min.

max

un e

, GD Da heN

partizione domini D

Di

P finito

P di

ha

D normali

insieme

e ,

se un

, .

. . ,

, ,

=E Dir = comune

interni

Di gli

D (non hanno punti

si sovrappongono

, in

non

,

Dare Di

ara ·

SOMME INTEGRAL

fe ((D) Opartizione di

dominio D

D normale

, ,

: f(x

minf area (somma e

Di 4)

ef(P integrale inferire ,

: (somma e

integrale

Sf(Q maxfarea D superiore

:

F Opartizione

sf(0) =Sy(P)

Afey (D GSCP)

&

Apartizione A partizionel

Bf :

=

: FI

separate SGE)

CQ

Af BJ due sf

insieme

sono .

e

Poiché due

continua Ag

f è BJ l'elemento

ed e

ciol di

esiste

insiemi CONTIGUI

sono

i , unico

e

() dice

4) dxdy

f(x Si estero

sepazione di f

: INTEGRALE DOPPIO D

a

.

, .

D d]

es [a bjx[c

D

f(x

- k =

y) = , ,

, ,

1/pfx del parallelepipedo

Volume

4 dxdy Klb-a)(d-c) -

=

, R altezza

base .

IKI

con e

PROPRIETA

ge((D)

f

D dominio

D normale

, ,

, VE

linearità

· cz))g(x

((g[xf(x 4)dxdy y)dxdu

(((f(x

y)]dxdu +

(2g(x

y) , ,

=

+

, ,

monotonia V(X Y)ED

f(x 4)

4) 1g(x

· , , ,

Ilpf(X /( 4) dxdy

41dxdy g(x ,

, p

additività

finita h

· Il /faxo De

viddu Dn]

fix partizioni di D

=

, ....,

CILINDROIDE //p

820

z vol

se (Xi4)dxdy (Cf)

=

-

↳ ((X y))

(3 01 z -f(x

(f y)tD

(X

z)

y +

= :

:

con ,

, , ,

,

· -f(x 4)

, relativo

di

cilindroide base f

D

0 a

Y

X

METODI RISOLUTIVI doppi

metodi

Ci integrali

gli

che risolvono

3

sono : nototto

doppio

integrale di

al due integrali

calcolo

FORMULE e

I DI RIDUZIONE : un

di variabile

una ; funzione integranda

semplicifere la farma

la

CAMBIO si

VARIABILE e o

2 DI riesce a

:

del dominio

;

FORMULE

3 GAUSS-GREEN .

FORMULE RIDUZIONE

DI

fe CCD) dominio

1) D normale rispetto X

a

, /Bus

Kafx 41 dxdy dx

du

=

,

Id variabile

I funzione HX1dx

H(X)

E(B(x) G(x(x) a una

-

=

= =

-

fe CCD) dominio

2) D normale rispetto Y

a

, b) dx

Kafx 41 dxdy d

=

,

I variabile

[Gxs]

>dx funzione

M() -

G() G() a une

=

-

= = applicare

il entrambe

dominio rettangolo normale

Se

osS Si le

per Xe passano

y

e un

. .

formule riduzione

di . 1) f(x)d

=1 xdu)dx

(f(x 41 dxdy =

, formula

19 formula

20 X

y =

s

/((3x x]

((x

es 24)dxdy 1]

( x [0 x

D y)

. = 2y

+ =

= :

, , ,

b x2 B(x)

a x(x)

0 X

1 =

= =

=

, , , (1

0) 1)

(1 ·

· ,

,

d f(4) 5

1f(y)

0 y

c = =

= =

, , D

alla

rispetto

normola alla

D X

è sia y

sia

f(x 4)E((D) #

:00 cia

, I 241du(d

formula

1 x +

- fax

)(x

(3x -

[3xy *

= x)dx

2 x4)dx 3x3

(xyyjdx 3x

(x x

dx x4 -x =

-

= -

=

+ + -

-

x +

+ -

=

[

= I 24(dx)du

formula

2e

- 3x =

+

/ = /

24x] 24 -E

24pdu %

3

4 44

24 -

+ +

= =

+ -

-

5

3 7 =

+

= -

FUNZIONI SEPARATE

VARIABILI

A

f(x h continue

h(4)

g(x)

)

M g

= . , (

(/xdx)

(lafix 41 dxdy =

, ·

AREA DOMINIO

doppio

L'integrale della otaminio

all'area del

funzione e

costante uguale .

/ "

)

B(x-a(x)dx f(x

(Scul-ycys)da )tD

E

area D ,

(x

1

2)

= area = =

, ,

/dxdudxx- cx]

(dxdu =on

= riduzione

di

19f

DOMINI TRASFORMAZIONI REGOLARI

E regolare)

Def di dominia

dominio frontiene dall'unione

da

to di

CD

D ave

con

un

:

dice regolare

regolari si . del indicano

dominio

T

denomina regolare di

il coordinate

Si Con x si

v y

piamo u

con e

, .

due C'(T)

funzioni X S

XCa 4.4 la v

e

= , ,

,

VIET

E questa regolare

dice

(Xm EDIFICI trasformazione

VI)

In y(

V si

: se

,

,

,

, da

diverso

determinante

Cu di

il jacobiano T

1 VI T O

e

E :

, VI

XuCa Xv(r V

f(X

det det

I ,

,

, O

=>

2( V Ye(e Yu(e

, V

v) ,

,

determina corrispondenza I T ID

tra

biunivoca

2 E e

una regolare

regolare

E D

OSS =

.

TEOREMA CAMBIAMENTO

DEL VARIABILI

DI

TCIR I

dominio regolare trasformazione fe CCDI allora

regolare T

in

, ,

1) 2X

det ) dud

14

D

acco

· = 2(m V)

,

_

(la f)

ydxdy

fix S

det dal

f(X(u v)

· v y(u

= ,

. , ,

+

PASSAGGIO A COORDINATE POLARI Seto 2i]

#If (Xo 2058 ER

senS) +20 40)

(Xo

+

81 yo +p

= ,

, ,

, ,

,

,

trasformazione

La regolare Teorema

applicare

OSS possibile il

NON è

e comunque

, ma

. cosS-eseng

2x 4) det J514 sen-5)

sen'S +(cos25

, pos

=> 81 +

+ +

+ 0

=

= =

=

019 8 ,

, pross

send det J

matrice //yfixinidxdu 1/8(c058 5) dgo8

fe((D) +

esen

Jacobiana = ,

Questa trasformazione quando dominic

usata presenta simmetrie tra il

si

viene una

la funzione

e .

// 1)

es G(x

y2)(1-12dxdy 4) E2 X2 =

D

=

. (x y =

+

:

=

+ ,

,

flycos5 quanto

+sem5) radiale da S

dipende

92(1-p) funziona in non

= -

,

(9 (14

1) 2]] il dominio

peto

5 [0 2 ]

o [x[o 2: 1]

peto

T EIR Seto

5)

+ è

da

:

= un

=

,

,

, , ,

,

, rettangolo

,

2 1 493 2 -

= /

9dyd8

24 % 21 2

I )

14 -

+ =

.

- = = =

-

·

f(e 5) g(p) K

= .

, +

((x

/a 4203

es x-y2dxoy 4) ER2 x 12 292

D

. x20

aso +

:

= ,

- , ,

, , ·

(19 ]] settangolo

ER2 a]

Peto

T 5) de [o , e un

= :

, , , det

esen8)

flecos Naticosig-easens ·

= e

51

le =

pe

= .

,

I 108)/Tar-epop) du

d5 =

pot

an-y2. =

I a2

-q2 u

= =

= -d

du

-2pde =

-Ta

%

(10 )

=. = del

es Calcolare cilindroide.

il volume In

.

f(x f(x

X 342

4) di

semicerchio 4)20

D C 1

(1

= az

0)

, = = = ,

,

volCy /(p 4)dxoy

f(x

= , · C

0)

10

centrate 0

(1

Coordinate

metodo polari

1o , =

11 ,

in 0

- ,

( +se po

f(1 ( 2c 12co

sen

sens)

co 1

+ , + = +

+ + =

=

(19 variabili

5) E2e[0 ]] rettangolo separabili

1]

T ,

Se[o e

, e se

ma man

= un

-*

,

, ,

/ (

( 1 18-

=

2coydy(d E

13 (dy)d8

vol(g 29 253 29

+

= +

+ +

= +

= ·

metodo centrate

Coordinate polari

2o 10

in 0

- ,

96056

S f(pcs5

X 5) 92

= , sen =

eseng

y = (

(Xomd 0)

= ,

R

Yo)

Xok (4

(* + =

- -

112 =

(X 1

y

+ =

- psen5

190059-112 +

p2(cos sem25)-29c0s5 1 = 1

+ +

cos510

2-2

+ 255)10

y(9- p-2cos510 (19 20055])

20 SEM2Se[] yeto

T = ,

Seto , ,

]

20058 ,

3 = ,

/2005

= (d)d5 9)

vol(g difficile da

/e calcolare perché cos

più

= esa

doppi

integrali

SVOLGIMENTO ESERCIZI - 42213

((X Y)E12x10 xz

1D 42 X +

= -

,

, ,

Ar polari 9211

coordinate 01911

920

x 4211 in

+

.

D ,

,

pcosS prosS10 cos50

X

E S

ed

- = ed

S sensz-pcoss an

=

y sen y -

·

... cambia il

Sett si

J

=> , cosSo

perché

vero

(19 +e [0 1]

5) E12 T]

8 It .

T ,

:

= , ,

4)

((x =1)

-

vkX

2) D x2

0

0241 = y

X

= +

: -

, , ,

Se[π T]

,

pcosS +2

V21 1

o

=

- 21

#

-E cos510

=

1 =0y(216

y X

= - +[1] rispetto

(1e : Se[*] normale

SIE

T

= ,

, =

B(S)

(S) 1

< =

V2/cosS ,

= - 4 de)dS

/819

F 5) .

, tro

Calcolare D parabole

le 2x

X

3) le

y y

regione compresa

avea =

= e

,

iperboli XY XY

1 2

= = .

, calcolare

di

Calcolare significa

D

2x2

# area

y = x2

1 = //dxdy (det e

=

D

-Si E Questa sostituzione perché

XY conviene

u =

pona diventare il

conti

semplice fa

i

= e

V dominio