Integrali Definiti - Teoria ed Esempi

CAPITOLO 5: INTEGRALI DEFINITI

Consideriamo una certa funzione f(x) e un certo intervallo [a, b]. Allora penseremo all'integrale sull'intervallo [a, b] di f(x) in dx come l'AREA sottesa del grafico della funzione f(x) all'interno dell'intervallino.

AREA (con segno) della regione di p.culi compresi tra il grafico di f(x), l'asse x e le rette verticali x = a e x = b.

Perchè "AREA (con SEGNO)"?

Perchè se f(x) fosse negativa negli intervallini che ci interessano il risultato dell'integrale coinciderebbe con un numero che è l'area cambiata di segno.

Da cos'è composta questa notazione?

• [a, b] = INTERVALLO (CONI) DI INTEGRAZIONE
• f(x) = FUNZIONE INTEGRANDA
• dx = ci ricorda che stiamo integrando secondo la variabile x.

CAPITOLO 5: INTEGRALI DEFINITI

Consideriamo una certa funzione f(x) e uncerto intervallo [a, b]. Allora penseremoall'integrale sull'intervallo [a, b] di f(x)in dx come l'AREA sotto al graficodella funzione f(x) all'internodell'intervallino.

In altre parole

∫_a^b f(x) dx = AREA (con segno) della regione di p.c.u.l. compresa tra il graficodi f(x) stesso e le rette verticali x=a e x=b.

Perché "AREA (con SEGNO)"?

Perché se f(x) fossenegativa nell'intervallino checi interessa, il risultatodell'integrale coinciderebbecon un numero che è l'areacambiata di segno.

Da cos'è è composto questo notazione?

[a, b] = INTERVALLO (zona) DI INTEGRAZIONEf(x) = FUNZIONE INTEGRANDAdx = si indica che stiamo integrandosecondo la variabile x.

Come si definisce un integrale?

−> Caso in cui abbiamo una funzione costante che vale sempre K

Per le funzioni che assumono lo stesso valore all'interno dell'intervallo che ci interessa, l'integrale è definito dal prodotto di lunghezza dell'intervallo moltiplicato per il valore costante.

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) \cdot K \]

\[ (b-a) = \text{BASE sarà sicuramente positiva ma K = \text{ALTEZZA potrebbe anche essere negativo}} \]

−> \[ \text{AREA (CON SEGNO) DEL RETTANGOLINO che si viene a costruire tra il grafico della funzione, l'asse x e le rette verticali x = a, x = b} \]

f(x) = K, ∀ x ∈ [a, b]

−> Caso in cui abbiamo una funzione costante a tratti oppure funzioni "a scala"

\[ f(x) = \text{xm, xm, xm} \]

Funzioni che assumono un certo valore in un primo intervallo, nel secondo e nel terzo, e via dicendo fino a concludere a causiv.

Sia f(x) una funzione a scala (che assume il valore Ki nell'i-esimo intervallo dove [xi-1 ed xi come estremi)

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_{i-1}) \cdot K_i \]

\[ (x_i - x_{i-1}) = \text{BASE dell'i-esimo rettangolino} \]

\[ K_i = \text{ALTEZZA (CON SEGNO) dell'i-esimo rettangolo} \]

\[ \text{SOMMA ALGEBRICA DELLE AREE (CON SEGNO) DEI RETTANGOLINI} \]

Fare la sommatoria per i che varia da 1 fino ad n in pratica somma con tutti questi contributi fra di loro.

Cas in cui la funzione non è costante

In questo caso consideriamo delle FUNZIONI a scala che sono sempre maggiori o uguali a ƒ(x) (chiamiamole h(x))

Possiamo approssimare il valore dell'area che vogliamo calcolare con l'integrale della funzione a scala h(x) definito in precedenza

Più precisamente diremo che l'area del sotto grafico deve essere minore o uguale all'integrale tra [a; b] della funzione h(x)

A ≤ _a∫^bh(x)dx

Possiamo considerare anche una funzione a scala g(x) che sottostime i valori di ƒ. Quindi sono sempre maggiori o uguali a g(x)

sup _{g(x) ∈ a scala} ∫^b_ag(x)dx : g(x) ∈ a scala e g(x) ≤ ƒ(x), x ∈ [a, b]

Se l'estremo sup di un insieme coincide con l'estremo in peù e del'altro

= A ≤ inf _{h(x) ∈ a scala} ∫^b_ah(x)dx : h(x) ≥ ƒ(x) ∈ x ∈ [a, b]

Se consideriamo l'intersezione dei due integrali

A ≤ inf_{∫^bah(x)dx : ∀x ) A scala e h(x) ≥ ƒ(x) ∀x ∈ [a, b]}

Se consideriamo l'insieme dei loro integrali e ammettiamo che questo insieme coincida con l'area che vogliamo calcolare perché queste funzioni approssimano per eccesso la funzione ƒ(x) quindi il loro integrale è comunque una sovrastima dell'area

Possiamo passare ai valori dell'area che vogliamo calcolare con l'estremo superiore dell'insieme sup{

=> da функцию integrabile secondo Riemann sull'intervallo [a, b] e il valore comune è _a∫^b ƒ(x)dx

5B Calcolo di Integrali Definiti

Come si calcolano gli integrali definiti?

Non si esegue direttamente la definizione appena data!

Una volta calcolata la si calcolare nei due limiti di integrazione, quindi calcolo F(b) - F(a)

Prima trova una funzione che nel intervallo [a, b] abbia f(x) come derivata (ovvero una primitiva di f(x))

Sottraggo due valori per trovare il valore dell’integrale

^b

∫ f(x) dx = F(b) - F(a)

_a

Esempio

Calcola l’integrale

⁵

∫ 3x² dx

₀

1. Trova funzione che ha come derivata 3x²: f(x)=3x² F(x)=x³ con F(x)=∫f(x)=3x²

2. Calcola questa funzione negli estremi di integrazione, con la nota che: [x³]₀⁵=(5)³-(0)³=125

3. Dopo aver trovato F(b) e F(a) sottraggo

Quindi in sostanza:

⁵

∫ 3x² dx = [ x³ ]₀⁵ = (5)³ - (0)³ = 125

₀

Ricorda: (a) calcola funzione prima in b poi in a

CALCOLO DEGLI INTEGRALI: PRIMITIVA

Cosa significa trovare una PRIMITIVA?

Trovare una funzione F(x) che sia DERIVABILE e che abbia la f come derivata in [a, b].

Se f: [a, b] → ℝ CONTINUA allora ammette delle primitive.

NOTA BENE: Se prendo le primitive qualsiasi di f(x) su un medesimo intervallo, allora la loro differenza è una costante:

F(x) - F₂(x) = c

La primitiva NON È MAI UNICA! Se F(x) è una PRIMITIVA, allora se ci aggiungo una costante qualsiasi:

F(x) + C = PRIMITIVA

Come si indica una generica primitiva di f(x)?

PRIMITIVE ELEMENTARI

• f(x) = cosx → F(x) = sinx
• f(x) = sinx → F(x) = -cosx
• f(x) = e^x → F(x) = e^x
• f(x) = a^x → F(x) = ^x/ln a

Esempio

1. ^{∫₀π/2 sin(x)dx = -cos(x) π/2₀ = ( -cos( π/2) + cos(0) ) = 0+1 =}
2. ^{∫₁2 x3dx = [ x4/₄ ]2₁ = ( 16/₄ ) - ( 1/₄ ) = 15/₄}

Proprietà Fondamentali dell'Integrale

1. ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
2. ∫ k · f(x) dx = k ∫ f(x) dx

Esempio

3. ^{f(x) dx = ∫_ac f(x) dx + ∫_cb f(x) dx}

Come Spiegarla: L'integrale tra [a,b] può essere spezzato nell'integrale tra [a,c] più l'integrale tra [c,b], perché se guardiamo il grafico e prendiamo il punto "c"sull'asse dei intervalli [a,b], e immaginiamo gli integrali come aree del sotto grafico,allora l'area totale è data dalla

4. ^{∫_ab f(x) dx ≤ ∫_ab | f(x) | dx}

Primitive di Derivate di Funzioni Composte

Sia F(x) una primitiva di f(x) e sia g(x) una funzione derivabile,

tale che sia possibile costruire la funzione composta: F(g(x))

[F(g(x)) ]' = f(g(x)) · ĝ(x)