Instabilità-SLE di deformazione e fessurazione, Tecnica 3

I I

seguono la legge E e altre la legge E ma più correttamente dovremmo usare il legame medio, cioè

c 2 c 1

I

E .

c m

Rifacciamo allora l’integrale:

Questo però vale nel caso di struttura isostatica, perché conoscendo P, è facile risalire direttamente al

momento flettente e poi alle curvature, rigidezze e frecce dalla linea elastica.

Nel caso di struttura iperstatica, è incognito il legame momento-curvatura, per cui dal carico P non posso

tracciare direttamente il diagramma del momento.

 c f

P M V

STRUTTURA ISOSTATICA  c f

P M V

STRUTTURA IPERSTATICA

complicazione richiede una metodologia di calcolo differente, almeno nell’impostazione iniziale del

Questa

problema. I metodi di calcolo possibili sono tre:

- Calcolo elastico

- Calcolo iterativo

- Calcolo incrementale

CALCOLO ELASTICO

Calcolo elastico vuol dire che noi calcoliamo il diagramma del momento flettente senza mettere in conto la

I

fessurazione della struttura, facendo riferimento solo alle rigidezze E e addirittura possiamo approssimare

c 1

I

alle rigidezze geometriche E . In realtà fare questo non è del tutto corretto, ma vediamo in quali casi tutto

c m

sommato è accettabile questo metodo. Pensiamo ad una trave continua su due campate di eguale lunghezza

soggetta ad un carico distribuito: Disegniamo il livello dei momenti di fessurazione,

ci sono tre tratti fessurati. In una struttura iperstatica la

fessurazione provoca un fenomeno di migrazione

del momento flettente, vale a dire che essendo il

momento maggiore là dove maggiore è la rigidezza,

nel momento in cui queste zone si fessurano queste

tre zone diventano meno rigide e il momento migra

verso le altre zone più rigide che risultano non fessurate.

Quindi il calcolo elastico si può ancora utilizzare,

anche se sbagliato, se la struttura è simmetrica, cioè se i

rapporti di rigidezza nel caso delle due campate sono

gli stessi o almeno confrontabili.

Questo metodo cade subito in difetto se anziché questa struttura ne prendo una come la seguente:

Impostiamo il calcolo con il CALCOLO ITERATIVO

Inizialmente troviamoci il diagramma del momento

flettente, a questa prima iterazione il diagramma che

(1)

otteniamo M , lo calcoliamo in riferimento allo stato non

fessurato:

Adesso cosa è successo alla nostra trave, sarà cambiata, ed essendo una struttura iperstatica cambierà anche il

diagramma del momento al variare delle rigidezze.

Verrà fuori, sulla base delle rigidezze calcolate nella 1° iterazione, un nuovo diagramma del momento e nuove

lunghezze delle zone fessurate, di conseguenza una nuova configurazione delle rigidezze.

Si itera n volte fino a quando non si ottiene una variazione del diagramma fra due iterazioni successive inferiore ad una

certa soglia:

C’è però un inconveniente, alcune volte il metodo non converge, la non convergenza nasce in casi in cui la fessurazione

non avvenga contemporaneamente a momento negativo e a momento positivo, cioè il momento migra continuamente

fra i diversi tratti.

più utile è il

L’approccio .

CALCOLO INCREMENTALE

CALCOLO INCREMENTALE

Caso delle strutture iperstatiche. Avevamo detto che nel caso di strutture iperstatiche c’è una

complicazione in più nel calcolo della freccia, oltre alla presenza della fessurazione, legata al fatto che

applicato un carico il diagramma del momento non lo possiamo valutare subito, perché questo diagramma

del momento è legato alla distribuzione delle rigidezze, e quindi delle curvature, ma questa distribuzione

delle rigidezze non la conosciamo perché significherebbe dire che dovremmo conoscere a priori quale

parte della struttura è fessurata e quale non lo è.

Data una struttura sulla quale è applicato un generico carico P , agente in esercizio per la combinazione

d

delle azioni SLE che stiamo considerando, i passaggi da eseguire sono:

valore del carico che corrisponde alla prima fessurazione della struttura, cioè all’attingimento in



1. P

F

almeno una sezione, ma contemporaneamente anche più d’una, del momento di fessurazione.

Supponendo, come è molto probabile, che P sia minore del carico P agente sulla struttura che si

F d

ricava per esempio nel caso della freccia a breve termine, con la comb. delle azioni rara, se sto

valutando la freccia a lungo termine ho bisogno della combinazione quasi permanente.

Quindi dopo valutiamo un carico inferiore P come:

F

Cioè sezione per sezione noi ci andiamo a calcolare il momento di fessurazione, il momento in quella

sezione indotto dal carico e facciamo il rapporto, il valore minimo di questo rapporto moltiplicato per

P ci dà il livello del carico di fessurazione.

d

Vediamo quali sono i successivi passi, con riferimento ad un esempio.

Supponiamo che la sezione dove si è raggiunta la

fessurazione sia alla sommità del pilastro.

2. Valuto un incremento di carico: DP

P =P +

2 1

Sulla base di questo carico incrementato mi calcolo il nuovo diagramma del momento flettente,

dipenderà dalle rigidezze del passo precedente, e visto che le rigidezze precedenti sono le rigidezze

al limite della fessurazione, in realtà non sono altro che le EcI (1 sta per stato non fessurato). Per

1

cui calcolo un diagramma del momento flettente per un attimo pensando ancora che la struttura sia

priva di fessurazione. Sulla base di questo diagramma del mom. flettente che adesso sarà tale da far

(2)

I

fessurare delle piccole zone, io mi posso calcolare una nuova dist. delle rigidezze, Ec . Posso

andare quindi al passo 3.

3. DP

P =P +

3 2

Con questo nuovo incremento di carico valuto il diagramma del momento sulla base delle distribuzioni

delle rigidezze che avevo ottenuto al passo precedente, è ovvio che io ad ogni passo commetto un

errore, perché io in quel passo calcolo il diagramma del momento sulla base delle rigidezze ottenute

dal passo precedente, quindi questo errore si cumulerà, l’unica accortezza che bisogna avere è

scegliere un passo un passo molto piccolo, un incremento di carico molto piccolo, perché altrimenti

la soluzione avrebbe un errore troppo grande.

Procedo finché non raggiungerò un passo K per cui:

DP

P =P +

K K-1

Mi fermo perché P ha raggiunto il carico P di calcolo.

K d

È un calcolo impensabile da fare a mano, perché se si pensa ad un pilastro o ad una trave:

Il pilastro generico, quando il carico evolve, avrà un’inerzia variabile di questo tipo.

Nella trave ancora più fastidioso, perché in realtà ci sono zone a momento positivo e zone a momento

si può fessurare tanto la campata quanto l’estremità, quindi nel caso della trave in realtà

negativo, quindi

l’inerzia è variabile in modo ancora più complesso, anzi a rigore dovremmo tenere conto che a seconda che

il momento sia positivo o negativo il momento d’inerzia I1 I2

o potrebbero anche essere differenti se

l’armatura sopra e sotto non è uguale o la forma della sezione è dissimmetrica.

In sede di esame capitano esercizi in cui è richiesto il calcolo della freccia di una struttura iperstatica, ma

seppur sbagliando si userà solo il calcolo elastico.

SLE FESSURAZIONE

Ci sono delle esigenze che rendono necessario un controllo di questo genere:

- Esigenze funzionali ( , non deve fessurarsi altrimenti subisce perdita di fluido)

SERBATOIO

- Esigenze di durabilità (maggiore esposizione delle armature agli agenti atmosferici)

- Esigenze estetiche

Per ottenere il rispetto di queste esigenze bisogna considerare:

 Combinaz. delle azioni opportune, in questo caso:

 Sensibilità delle armature alla corrosione

 Condizioni ambientali (dove si trova la struttura)

Tenendo conto i questi tre aspetti devono essere, a seconda dei casi, soddisfatte tre verifiche:

 DECOMPRESSIONE

Si impone che sulla sezione trasversale più sollecitata non ci siano tensioni di trazione, cioè la sezione sia tutta

compressa, e quindi si dice anche che in corrispondenza dell’estrema fibra della sezione che potrebbe andare

in trazione, la tensione a trazione nel calcestruzzo si impone pari a zero ( )

Il fatto che la tensione sia nulla teoricamente significa che non si dovrebbero formare fessure, perché il LCS un

po’ di resistenza a trazione ce l’ha e quindi la fessurazione almeno teoricamente è impossibile, però c’è da fare

una considerazione, tutte le resistenze che noi calcoliamo sono valutate in modo probabilistico e questa verifica

condurrà ad una probabilità estremamente bassa ma comunque non nulla di avere fessurazione, quindi un

pochettino di probabilità cmq si conserva.

 FORMAZIONE DELLE FESSURE

Imponiamo che all’estrema fibra tesa della sezione la tensione di trazione raggiunga il mite di resistenza a

trazione imposto dalla normativa ( ) questo sta a significare che proprio in quel lembo siamo al limite

della fessurazione, ma a maggior ragione questo stato limite condurrà ad una probabilità un po’ più alta di

fessurazione di quello di , cioè sulla carta nessuno dei due dovrebbe portare a fessurazione

DECOMPRESSIONE

ma di fatto una probabilità se pur piccola c’è. Quanto vale questa ?

Nel caso della TRAZIONE PURA:

Nel caso della , dovremmo considerare non f ma f (resistenza media a trazione

TRAZIONE PER FLESSIONE ctm cfm

:

per flessione)

 APERTURA FESSURE

Stavolta non si parla più di probabilità di fessurazione, perché le fessure si sono formate, possiamo solo

controllarne, limitarne, l’ampiezza massima. C’è da calcolare un’ampiezza di progetto delle fessure W come:

d

Allora nella normativa c’è un tabellone:

Sulle armature poco sensibili, l’unico controllo che si fa è sull’apertura delle fessure, a meno che non ci siano

delle esigenze funzionali tipo il caso di un serbatoio dove le fessure non devono proprio aprirsi.

restrittiva, all’aumentare dell’aggressività

Nel caso di armatura sensibile invece la normativa è più

dell’ambiente diventa più severo il controllo che noi facciamo.

Il controllo più restrittivo è quello della .

DECOMPRESSIONE

S.L. DECOMPRESSIONE

Facciamo riferimento a un caso molto semplice, quello di una sezione a doppia armatura sottoposta ad un

certo sforzo normale N e ad un certo momento flettente M.

d

Lo sforzo non deve essere necessariamente di trazione, va bene anche di compressione.

noi in pratica sti