Instabilità-SLE di deformazione e fessurazione, Tecnica 3

SLU instabilità

Strutture in c.a. e c.a.p. (caso complicato, perché intervengono contemporaneamente le non linearità geometriche e le non linearità meccaniche).

Per studiarla dobbiamo riferirci alla teoria del secondo ordine; finora abbiamo applicato la teoria del primo ordine, ovvero abbiamo ricavato le sollecitazioni senza applicare le deformazioni che invece si hanno per le strutture più snelle, deformazioni non più trascurabili.

Ci sarà quindi uno stato di sollecitazione dovuto alle deformazioni indotte a loro volta dai carichi, uno stato di sollecitazione aggiuntivo.

Aste snelle o “N” elevato

La verifica di instabilità non va fatta sempre.

Riportiamo quello che succede in termini di dominio M-N, solo sulla parte della compressione.

Se l’asta è molto tozza, il momento del secondo ordine non ci sarà, e nel dominio il momento flettente crescerà linearmente con lo sforzo normale. Quand’è che avviene la crisi? Quando si raggiunge la frontiera, il punto A in questo caso.

Supponiamo che l’asta sia un po’ snella (B), via via che si deforma questa deformazione non sarà più trascurabile e ci sarà quindi anche una sollecitazione del secondo ordine. Al crescere dello sforzo normale quindi il momento crescerà più che linearmente, la crisi in questo caso avverrà sempre sulla frontiera del dominio ma sarà una crisi della sezione anticipata.

Se l’asta è molto snella, il momento crescerà immediatamente, la crisi si avrà in un punto C interno al dominio. Non c’è una crisi di resistenza ma una . (caso dell’acciaio, solo non linearità geometrica).

Crisi di instabilità

A noi interessa solo il caso B.

La crisi di instabilità è influenzata da alcuni fattori.

Vediamo in quali casi è necessario effettuare il calcolo allo SLU di instabilità. E quindi dobbiamo distinguere le strutture sulla quale si va a fare questa verifica, riguarda generalmente le colonne dei telai, in:

• TELAI A NODI FISSI (anche questo tipo di telaio subisce spostamenti trasversali che sono però di entità limitata rispetto a ciò che accade nei telai a nodi spostabili, gradi di libertà alla traslazione orizzontale attivati poco).
• TELAI A NODI SPOSTABILI (gradi di libertà alla traslazione orizzontale attivati in misura superiore).

La differenza tra questi due sistemi è legata anche alla differenza di calcolo delle sollecitazioni del 2° ordine perché se si parla di nodi fissi noi faremo la verifica sulle aste singole, cioè sui singoli pilastri della struttura, e perciò valuteremo le sollecitazioni del 2° ordine sulle singole aste che compongono la struttura.

Nel caso invece del telaio a nodi spostabili, dobbiamo valutare lo stato di sollecitazione sulla struttura nel suo insieme e poi in ambedue i casi la modalità di verifica potrà essere comune.

C’è una formuletta presente nella normativa precedente (DM96): Se sono soddisfatte le relazioni a seconda del numero di piani, allora il telaio può essere considerato a nodi fissi, altrimenti è a nodi spostabili.

Altezza totale dell’edificio H: alla base dell’edificio N: SN ovvero la somma degli sforzi normali nei pilastri e nelle pareti calcolata con la combinazione delle azioni rara.

I: ovvero la sommatoria delle rigidezze flessionali in stato non fessurato di tutti gli elementi verticali presenti nell’edificio.

E SE Ic c i ha un’espressione poco chiara. Questa relazione contenuta nella normativa in verità ha poco significato perché, in realtà, si può dimostrare che questa espressione è equivalente a dire che il rapporto tra lo sforzo normale N di calcolo e il carico critico euleriano N è minore uguale di 1/10. d cr,E

In sostanza rispettare questa limitazione significa avere a che fare con una struttura a telaio nella quale gli sforzi normali di calcolo non eccedono 1/10 del carico critico. Perciò uno sforzo normale piccolo si avrebbe un effetto del secondo ordine limitato, e quindi un comportamento del tipo a nodi fissi.

Dobbiamo ora vedere quali sono le condizioni a seconda delle quali la verifica va fatta oppure no, cominciamo con nodi fissi.

Nodi fissi

Nel caso dei nodi fissi, dovendo fare la verifica solo sulle singole aste che compongono la struttura, noi dovremmo andare a calcolare una snellezza massima di ciascun’asta e verificare, affinché non si debba fare il controllo, che questo non ecceda un certo valore limite.

La lunghezza di libera inflessione, sia per quanto riguarda i nodi fissi che quelli spostabili, coincide con l’altezza d’interpiano, cioè la lunghezza dei singoli elementi strutturali.

Per quanto riguarda la snellezza limite, questa vale: Dove è lo sforzo normale adimensionalizzato. Osservando vediamo subito che al crescere dello sforzo normale ci dobbiamo attendere un pericolo di instabilità maggiore, il diminuisce. Mentre all’aumentare dell’area della sezione questo valore limite aumenta.

Oltre a questi due parametri, ne esiste un terzo contenuto all’interno del termine c che andiamo adesso a esaminare. È un coefficiente riduttivo che tiene conto della distribuzione del momento flettente lungo l’asta. Questo in particolare si calcola come:

Lo “0” sta a indicare che questi sono momenti del primo ordine (la normativa non lo indica col pedice I), 1 e 2 sono le due estremità dell’asta, e in particolare per convenzione quello che indichiamo con 2 è il momento flettente che in modulo è più grande lungo un’asta.

Il momento su un pilastro può essere: costante ( ), trapezio, intrecciato.

Vediamo cosa può succedere al momento flettente. “c” quindi ha un limite inferiore pari a 0,7.

Quindi abbiamo detto che questa snellezza limite dipende dallo sforzo normale e dall’area della sezione, in particolare se abbiamo un’asta snella ma con uno sforzo normale piccolo, può darsi che sia da un punto di vista dell’instabilità, meno pericolosa di un’asta un po’ più tozza ma con uno sforzo normale un po’ più grande, non basta quindi guardare solo la snellezza ma entra in gioco anche lo sforzo normale.

Ma in un pilastro in realtà c’è anche il momento flettente, di cui tiene conto c. Il diagramma del momento più pericoloso risulta essere quello costante.

Se quindi è soddisfatta la limitazione di non è necessario effettuare la verifica di instabilità.

C’è inoltre un’altra prescrizione solo per i nodi spostabili dove compaiono delle nuove diciture adottate dalla normativa del 2008.

Metodi di calcolo

Stabilito quando occorre fare la verifica, vediamo quali sono i metodi che si possono utilizzare.

1) Analisi non lineare

È il metodo più completo ma anche il più complicato, e consiste nell’effettuare l’analisi non lineare della struttura; sarà un’analisi al passo, che però è più difficile della semplice non linearità geometrica perché nel c.a. e nel c.a.p. c’è anche la non linearità meccanica (legami costitutivi non lineari dei materiali).

Ovviamente non è un calcolo che si può fare a mano, occorre avere a disposizione un software di calcolo avanzato.

2) Metodo della rigidezza nominale

Un’analisi non lineare dove si mette in conto, è comunque esclusivamente la non linearità di tipo geometrico (non si tiene conto più dei legami costitutivi non lineari, xk per tenere comunque conto della non linearità meccanica e della viscosità che interessa il calcestruzzo si introducono delle rigidezze nominali flessionali).

Il che è in questa espressione è il coefficiente di viscosità valutato a tempo t=∞, che alla triennale compariva nella seguente relazione come a.

Inoltre nell’espressione delle rigidezze nominali non c’è la dipendenza dalla fessurazione del calcestruzzo che a rigore ci dovrebbe essere ma che la nostra normativa non contempla. E poi c’è E che si esprime cd come:

Quindi con questo secondo approccio, il problema rimane comunque molto complicato, c’è comunque un’analisi al passo da fare, occorre un codice di calcolo.

3) Metodo della colonna modello

4) Metodo della curvatura nominale, detto anche dello stato di equilibrio

Questi metodi si fondano su delle ipotesi comuni:

• Sforzo normale lungo l’asta costante.
• Sezione dell’asta costante (A_c = cost).
• La sezione in cui c’è il massimo momento del 1° ordine deve coincidere con quella in cui c’è il massimo momento del 2° ordine.

Metodo della colonna modello

Vediamo il metodo della colonna modello.

Queste ipotesi sono costruite su un modello di asta che si chiama colonna modello appunto, ma valgono per entrambi i metodi.

Con il metodo della colonna modello si fa un controllo dell’instabilità solo nella sezione più sollecitata.

Abbiamo bisogno di determinare il legame che esiste tra e la curvatura alla base, troviamolo e poi vedremo perché ci serve. Questo legame viene fuori dall’uguaglianza tra il momento esterno alla generica ascissa z e il momento interno alla stessa ascissa.

Grazie alle ipotesi fatte, il termine risulta essere costante, per cui questa è un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti.

La soluzione è quella classica: W₀: integrale generale dell’omogenea associata. W₁: integrale particolare.

Le incognite sono: { A,B,d}.

Per calcolarle possiamo imporre le nostre condizioni al contorno:

Abbiamo un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite. Non lo risolviamo, ma si può trovare subito che B=0, successivamente possiamo trovare la legge della W(z) e ricavare per doppia derivazione la legge della W''(z).

Adesso noi sappiamo che la curvatura è: Se sviluppiamo l’equazione ci viene fuori il legame.

Percorriamo ora un’altra strada che ci porta agli stessi risultati ma con meno passaggi.

Scegliamo un nuovo sistema di riferimento che ha origine nell’estremità della mensola a deformazione avvenuta. La lunghezza di libera inflessione di una mensola l₀ è due volte la lunghezza dell’asta.

Approssimiamo questa deformata con una legge sinusoidale: ipotesi.

Quindi ci ritroviamo con il risultato ottenuto prima.

Verifica nodi fissi

Vediamo come si fa la verifica di instabilità delle aste singole per i telai a nodi fissi.

Verifica (nodi fissi).

Se noi ci portiamo nel piano M- c e vogliamo vedere questo legame legato alla sollecitazione, per cui il legame M- c “sollecitante” con riferimento alla sezione critica A-A.

1° considerazione: vediamo che nella sezione ci sarà un momento che è sempre costante qualsiasi sia il valore della curvatura, poi c’è anche un momento del secondo ordine (M_d^II) legato alla freccia in sommità che ha una sua legge che dipende linearmente dalla curvatura.

Per cui il legame c-d ci serviva per trovare una variazione lineare del momento del secondo ordine con c.

Questo è il legame sollecitante, ma la sezione che noi assumiamo, per esempio una sezione rettangolare a doppia armatura, avrà anche un legame momento-curvatura resistente.

Deve essere costruito fissando innanzitutto lo sforzo normale, perché il legame è funzione dello sforzo normale.

Come prima ipotesi dobbiamo dire che lo sforzo normale resistente è