Insiemi separati e continui (dimostrazioni)

Insiemi separati e continui

Insiemi separati e contigui

Se A e B sono due parti dell'insieme IR, si dice che A e B sono insiemi separati se per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B risulta a < b.

Se A e B sono insiemi separati, esiste un elemento separatore tra gli insiemi A e B: un qualunque numero reale k tale che ∀ a ∈ A, b ∈ B si abbia a < k < b.

Se A e B sono insiemi separati di numeri reali allora si ha che:

1. A e B sono contigui (se sono separati ed hanno un solo elemento separatore)
2. Sup (A) = Inf (B)
3. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B tali che b - a < ε

Dimostrazioni

: Se A e B sono insiemi separati allora l'estremo superiore di A e l'estremo inferiore di B esistono e sono separatori tra A e B. Di conseguenza se A e B sono contigui, cioè se hanno un solo elemento separatore, allora deve aversi (ii).