Insiemi e funzioni

La funzione y= x con R->R non è né iniettiva né suriettiva poiché: 1)Due

2

numeri opposti hanno lo stesso corrispettivo nell’insieme B, 2)Per questo

motivo non tutti i numeri dei due insiemi non saranno coinvolti. Mentre se la

funzione andasse da R a R+, non si avrebbero negativi di ritorno, quindi la

funzione sarebbe suriettiva. Se la funzione andasse da R+ a R sarebbe iniettiva

poiché verrebbero considerati solo i numeri positivi, mentre se andasse da R+

a R+ sarebbe biunivoca.

Se è biunivoca, f:A->B, f :B->A e y->f (x) tale che f(f (y))=y e f(f(x))=x, inoltre

-1 -1 -1

f(A) [nel primo caso] è uguale all’immagine del dominio, che non sempre

coincide con codominio B.

x->x funzione identica, una funzione inversa è simmetrica rispetto alla

bisettrice del primo e del terzo quadrante.

g*f(x)= g(f(x)), composizione di funzioni.

Se due variabili o insiemi sono legate da una funzione biiettiva (o biunivoca), la

loro cardinalità sarà uguale (sembra strano ma y=x e y=2x hanno lo stesso

numero di elementi).

Una successione è una funzione il cui dominio è N.

La funzione che lega N e Z è biunivoca e andando dall’uno all’altro sarà 0->0,

1->1, 2->-1 (vanno contati andando prima a destra poi a sinistra dello 0).

L’insieme Q è quello dei numeri razionali risultato di frazioni, una frazione può

avere una scrittura univoca o no (ad esempio 2/2 è anche 1, ma 7/4 è solo

quello), definendo una biiezione fra N e Q essi si conteranno in questo modo:

Q 0 1 2 3 4

1 0 1 2 3 4

2 0 1/2 1 3/2 2

3 0 1/3 2/3 1 4/3

4 0 1/4 1/2 3/4 1

5 0 1/5 2/5 3/5 4/5

I numeri in alto sono il numeratore, i numeri in basso i denominatori, l’ordine

sarà 0,1,0,0,1/2,2 e così via.

Funzione monotona: è crescente, strettamente crescente, decrescente,

strettamente decrescente dove:

Crescente, per x x , f(x ) f(x )

 ≥

¿

1 2 1 2

Strettamente crescente, per x x , f(x ) f(x )

 ¿ ¿

1 2 1 2

Decrescente, per x x , f(x ) f(x )

 ≤

¿

1 2 1 2

Strettamente decrescente, per x x , f(x ) f(x )

 ¿ ¿

1 2 1 2

Esercizio:

v:N->N, supponiamo che la funzione v sia strettamente crescente, sarà

verificato che v(n) è maggiore o uguale ad n. Dimostrazione sul quaderno.

NUMERI REALI