Insiemi e funzioni

Insiemi e funzioni

Insiemi

⊆ = A è sottoinsieme di S, per ogni elemento x appartenente ad A, x appartiene a S.

⊊ = A è strettamente incluso in S (esistono elementi di S non appartenenti ad A).

#S = numero di parti dell’insieme = n, detto anche cardinalità.

P(S) = insieme delle parti di S, insieme che include sottoinsiemi, l’insieme vuoto è sempre incluso.

Dato un insieme S = {a}, il numero di insiemi possibili è 2, in quanto una singoletta (un singolo elemento) può esserci o non esserci.

Dimostrazione: sul quaderno.

A ∪ B = insieme unione.

A ∩ B = intersezione, elementi in comune di A e B.

A \ B = insieme differenza (elementi di A - elementi di B).

Dati A e B sottoinsiemi di S, S \ A sarà uguale al complementare di A, che si scrive A^c e A \ B = A^c ∩ B.

A Δ B = differenza simmetrica fra A e B (il risultato apparterrà ad A o a B).

A × B = prodotto fra A e B {(a,b): a appartiene ad A e b appartiene a B}, il risultato è l’insieme delle coppie ordinate come (a,b), hanno un ordine in uno spazio (tipo cartesiano), se (a,b) = (a’,b’) ciò implica che a = a’ e b = b’.

Funzioni

Oggetto che lega due insiemi tramite una legge f: A → B. Per ogni x appartenente ad A, f(x) appartiene a B, il grafico della funzione rappresenta un sottoinsieme del prodotto dei due insiemi. {x, f(x): x appartiene ad A}.

Dominio = è uguale ad A, l’insieme di partenza della funzione.

Codominio = uguale a B, l’insieme di arrivo della funzione, non sempre coincide con l’immagine del dominio, che rappresenta i valori assumibili dalla funzione.

Funzione iniettiva: due elementi diversi dell’insieme A hanno due diversi corrispettivi in B.

Funzione suriettiva: tutti gli elementi di entrambi gli insiemi sono coinvolti.

Funzione biunivoca: ciascun elemento dell’insieme A ha uno e un solo corrispettivo in B, inoltre tutti gli elementi di tutti e due gli insiemi sono coinvolti, una funzione biunivoca è anche invertibile.

La funzione y = x con R → R è biunivoca in quanto si verificano tutte le condizioni sopra.