Insiemi,progressioni, teorema induzione,scomposizioni - Analisi 1

30/08/19

PROPOSIZIONE

• sempre false = contraddizioni
• sempre vere = tautologie

Connettivi:

1. Negazione (¬)
2. contemporaneamente (∧)
3. oppure inclusivo (V) : se almeno una delle 2 proposizioni è vera
4. oppure esclusivo (⊕) : se solo una (es. usuai latino)
5. implicazione (⇒) → P⇒Q ≡ (¬P)∨Q
6. coimplicazione (⇔) → P⇔Q ≡ (¬P)∨Q ∧ P∨(¬Q)

TEOREMA

• ipotesi (si assume vera)
• tesi dimostrazione (catena di deduzione)

Quantificatori:

1. Quantificatore universale (∀ ogni)
2. esistenziale (∃: esiste almeno un)
3. "di unicità" (∃!: esiste un unico)

INSIEMI

oppure coincidere con B

→ differenza A\B = A-B = {x∈A | x∉B}

complementare A^c = U\A U = universo

Prodotto cartesiano AxB

Triplo

Somma

n volte

Dimostrare che ⁿ∑_i=1 i = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂

induzione:

1. Vera per n=1

⇒ ¹∑_i=1 = 1

Vera

2. Supponiamo vera per n=k (assunzione)

⇒ ^k∑_i=1 = ^k(k+1)⁄₂

3. Dimostriamo vera per n=k+1

^k+1∑_i=1 = 1+2+3+...+k+k+1 = ^k(k+1)⁄₂ + k+1 =

= ^{k(k+1) + 2(k+1)}⁄₂

= ^(k+1)(k+2)⁄₂ = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂

vera

Equazioni irrazionali

• bisogna razionalizzare

• se l'incognita è sotto radice

• e poi verificare che le soluzioni trovate siano giuste