Insiemi e funzioni

Gli Insiemi

Capi 1

A = { x | x ∈} esplicito

implicit esplicit extensional intension

A = { x ∈ Z | x = 2n, n ∈} elenca con un nome una caratteristica

Insiemi Particolari

• Insieme Vuoto { }
• Singoletta { a }

Proprietà:

P \/ Q = congiunzione

P ∩ Q = disgiunzione

¬ P = negazione

P → Q = implicazione o freccia di verità

P ↔ Q = equivalenza o bi-implicazione

Quantificatori Universali

∀ per ogni

∃ esiste

∃! esiste unico

Definizione sottoinsieme:

A ⊆ B

Assioma di Estensionalità:

A = B → ( x ∈ A ) & ( x ∈ B )

Definizione Insieme delle Parti:

E3. P = {1, 2, 3} P(a) = {[], [1], [2], [3], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [1, 2, 3]} (1) 0 ∈ P(a) (caso perciò che non ci sono almeno 3 elementi diversi) (2) {3} ∈ P(a) (3) f: {1, 2} → 0=elemento

altro modo

da scrivere

{1, 2, 3} ∈ P(a) nell'insieme A ci sono andati i 3 elementi singoli

IMPORTANTE!

E3. P(a) = {0} P(a) = {} (1) ο di questi ci interessa, ovvero non ci sono insiemi che contengano un elemento che sia particolare.

P(a^c) = {a, 0} ∃ x ∉ a

E3.

{1, 1} {0, 0} ∃ x ∉ a

{1, 1} ⊂ a {11} ⊂ a {1} ⊄ {a} ⊄ a {2, 2} ⊂ a {11} = {1} ∃x∉a

DATI DUE INSIEMI A E B

UNIONE DI DUE INSIEMI AOR B = ∃x((x∈A)) V (x∈B))

INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI AAND B = ∃x((x∈A)) ∧ ((x∈B))

A E B SONO DISGIUNTI SE L'INTERSEZIONE È VUOTA, E QUINDI: A ∩ B = ∅

DIFFERENZA DI INSIEMI, O COMPLEMENTARE: B ∖ A = { x | x ∈ (B) (∧¬∃(x∈A))}

PROPRIETÀ DELL'UNIONE

• COMMUTATIVA A ∩ B= B ORA ∩ A
• DISGIUNTA OPPURE A∩B= B ∪ A
• DISTRIBUZIVA A ∪ (B∩C) = (A ∩ B) ∪ (B∩A) ∩ (¬B) = (¬C)

B⊂A - B contiene A

B⊄A - B o contiene A ma

LEGGI DI DE MORGAN

Siano A e B sottoinsiemi di un insieme X (A, B ⊆ X), allora

• x ∈ ¬(A∩B) ⇔ (x∈A) ∧ ¬(x∉B))
• x ∈ ¬(A∪B) ⇔ (x∉A) ∧ (x∉B)

X ¬ A = { x | ((x∉X) ∧ (x∉B))

X = fig. di entità sconnesso da variabile

X = insieme generico

X, Y variabili

f: X → Y

∀ x ∈ X ∃ ! g : Y

f(g) ∃ f: X → Y

X dominio

Y codominio

f: X → Y

x = f(a)g = Iniettività: domani e uniche nello scorso.

f costante = quando tutte le costanti portano solo uno elemento

non è una funzione

x = f(g)iniettiva

Es. f: N → Na = f(1,2,3)

X → Y funzione

Proprietà Funzioni: X → Y funzione (biuniva)

SE f iniettiva a x = x se a ≠ b

E5.

• A, B numeri e numeratore R se numeratore e denominatore
• esa R = R
• A = (mn − nm) R il numeratore differenza numeratore