Ingegneria Sismica II

Diuniversita' ingegneria Enzo Ferrari, Modena

Curriculum in ingegneria delle strutture

Anno accademico 2019/2020
Enrico Spinelli
Matricola: 137960

Indice

• Parte 1: Dinamica delle strutture e analisi a collasso
  • Dinamica delle strutture - oscillatore semplice
  • Spettri di risposta (calcolo da accelerogramma)
  • Dinamica delle strutture - strutture MDOF
  • Dinamica delle strutture - strutture MDOF - esempio con Mathlab
  • Dinamica delle strutture nello spazio
  • Esempio: modi struttura spaziale (Mathlab e FEM)
  • Analisi limite e analisi incrementale - parte 1
  • Analisi limite e analisi incrementale - parte 2
  • Analisi limite e analisi incrementale - parte 3
  • Analisi limite e analisi incrementale - effetti del II ordine
• Parte 2: Metodi di analisi in presenza di azioni sismiche
  • Metodi di analisi - analisi dinamica lineare - parte 1
  • Metodi di analisi - analisi dinamica lineare - parte 2
  • Metodi di analisi - analisi dinamica lineare - parte 3
  • Metodi di analisi - analisi dinamica lineare - parte 4
  • Metodi di analisi - analisi statica lineare
  • Analisi lineari: masse ed eccentricità delle azioni
  • Analisi non lineare - modelli di plasticità e analisi dinamica non lineare
  • Analisi statica non lineare - parte 1
  • Analisi statica non lineare - parte 2
  • Analisi statica non lineare - parte 3
  • Analisi statica non lineare - parte 4
  • Analisi statica non lineare - parte 5
  • Verifiche SLO e SLD - effetti del II ordine e componente verticale del sisma
• Parte 3: Edifici in C.A.
  • Strutture in C.A. - parte 1 - parte generale e fattori di duttilità
  • Strutture in C.A. - parte 2 - duttilità delle sezioni in C.A. e confinamento
  • Strutture in C.A. - parte 3 - gerarchia di elementi a telaio in C.A.
  • Strutture in C.A. - parte 4 - verifica dei nodi
  • Strutture in C.A. - parte 5 - dettagli costruttivi parte 1
  • Strutture in C.A. - parte 6 - dettagli costruttivi parte 2
  • Progetto di un edificio in C.A.
  • Pareti in C.A. - parte 1 - sistemi misti telaio-parete
  • Pareti in C.A. - parte 2 - pareti accoppiate
  • Pareti in C.A. - parte 3 - verifiche e dettagli costruttivi
• Parte 4: Edifici in acciaio
  • Strutture in acciaio in zona sismica - parte 1 - generale
  • Strutture in acciaio in zona sismica - parte 2 - strutture a telaio parte 1
  • Strutture in acciaio in zona sismica - parte 3 - strutture a telaio parte 2
  • Strutture in acciaio in zona sismica - parte 4 - strutture con controventi
• Parte 5: Fondazioni, distanze tra edifici, elementi secondari e non strutturali
  • Fondazioni, distanze tra edifici, elementi secondari e non strutturali

Dinamica delle strutture - oscillatore semplice

Consideriamo un oscillatore semplice che può essere un elemento di massa m che può oscillare con spostamento orizzontale v e viene richiamato nella posizione iniziale attraverso una molla k. Gli spostamenti vengono limitati dalla rigidezza k della molla e, per edifici reali, devo considerare anche lo smorzamento che vedremo in seguito per evitare degli assurdi nel comportamento dinamico degli elementi.

L’equazione del moto del sistema ad un grado di libertà è scritta attraverso l’equilibrio dinamico del corpo in ogni istante considerando sia le forze esterne p(t) sia la forza d’inerzia Fi, che ha valore pari a massa per accelerazione (derivata seconda dello spostamento), sia la forza elastica Fs della molla (più la molla si allunga, più la forza è grande) pari alla rigidezza per lo spostamento e sia la forza di smorzamento Fd che non sempre è proporzionale alla velocità ma in questo caso lo consideriamo così.

Oscillatore non smorzato

Il caso più semplice è quello di assenza di forzante e di effetto di smorzamento quindi abbiamo solo la forza d’inerzia e la forza elastica. Se uno risolve l’equazione differenziale con derivata seconda, una soluzione dell’equazione differenziale è quella riportata a fianco dove v(0) è lo spostamento iniziale che imprimiamo al nostro corpo e v’(0) è la velocità iniziale che imprimiamo al corpo.

Il nostro corpo si muoverà con andamento sinusoidale nel tempo e questa sinusoide ha pulsazione omega ω, calcolata come radice della rigidezza diviso la massa. Questa equazione di moto crea uno spostamento del corpo rappresentato nel grafico sottostante in cui la condizione iniziale v(0) determina il valore iniziale della sinusoide. La frequenza naturale (espressa in Hertz) della struttura f è la pulsazione (espressa in radianti) diviso 2π. Il periodo T della struttura è l’inverso della frequenza.

Oscillatore smorzato

I moti sono tutti smorzati, cioè non esiste il moto perpetuo, e quindi è più interessante studiare l’andamento dell’oscillatore smorzato sempre con l’assenza di forzante. La risoluzione di questa equazione differenziale genera uno spostamento nel tempo rappresentata qui sotto. L’indice zhi indica lo smorzamento cioè il rapporto tra il coefficiente di smorzamento e il coefficiente di smorzamento critico che si calcola come nella foto.

Il secondo termine è un termine che farà decrescere il primo termine sinusoidale, poiché è un valore esponenziale su un valore negativo, fino ad avere un valore nullo. L’equazione del moto dipende da una pulsazione ωd diverso dalla pulsazione ω che abbiamo visto nella formula del moto non smorzato poiché sarà la pulsazione smorzata.

Questa pulsazione smorzata ωd è molto prossima alla pulsazione ω se abbiamo uno smorzamento molto limitato, tipico delle strutture, e si può considerare coincidenti. Se lo smorzamento è nullo, il moto è perpetuo e perfettamente sinusoidale. Man mano che l’indice di smorzamento cresce, avremo un moto che risulta essere sempre più smorzato quindi raggiungo un valore nullo dopo un numero sempre più limitato di cicli.

Quando l’indice di smorzamento è unitario, non si vede nessun moto sinusoidale perché il moto tende a smorzarsi al primo ciclo. Le strutture hanno indici di smorzamento tipicamente nell’ordine di 3/4/5%, quindi particolarmente bassi, e questo fa sì che la pulsazione ω sia simile a ωd. Inoltre avremo parecchi cicli prima di raggiungere uno stato di quiete. Nel mio oscillatore di moto libero non smorzato posso avere uno spostamento iniziale (v(0)) o una velocità iniziale (v’(0)).

Noi però siamo interessati alla risposta dell’oscillatore ad una forzante esterna che per ora consideriamo sinusoidale. Quindi la forzante esterna che sollecita la mia struttura è una forza sinusoidale di ampiezza p0 e di pulsazione ω segnato. L’equazione si può riscrivere nel secondo modo dividendo per la massa. Questa equazione differenziale può essere risolta attraverso dalla somma di una soluzione del moto libero vc più una soluzione particolare vp.

La soluzione particolare ha andamento sinusoidale con pulsazione ω segnato caratteristica della forzante. Nel tempo, il moto libero tende a smorzarsi cioè tende a 0. Invece l’integrale particolare è sinusoidale puro quindi questo nel tempo non tenderà mai a diminuire. Quindi accade che in un primo periodo di tempo, le 2 soluzioni coesisteranno e il mio oscillatore avrà un moto che è somma delle 2 soluzioni ma, dopo parecchio tempo, la parte legata al moto libero sarà talmente smorzata che diventa ininfluente rispetto la seconda parte quindi diventa trascurabile.

Vuol dire che dopo molto tempo il mio oscillatore oscillerà di moto armonico ma con pulsazione pari alla pulsazione della forzante. La prima parte del moto si definisce transitoria perché coesistono entrambe le soluzioni e la seconda parte verrà detta a regime.

Lo spostamento nella parte a regime sarà dato dall’integrale particolare e si può scrivere in questo modo dove vst o spostamento statico è il rapporto tra l’ampiezza della forzante diviso la rigidezza e D è il coefficiente di applicazione dinamica. vst sarebbe lo spostamento del mio oscillatore se la forzante fosse statica cioè se applicassi una forza non dinamica ma ferma nel tempo di ampiezza p0. β è il rapporto tra la pulsazione della forzante e la pulsazione del mio oscillatore espresso dalla funzione riportata. L’andamento dei valori che assume D in funzione di β si vede nel grafico successivo che ha un valore massimo presso β=1 per poi decrescere per rapporti β maggiori di 1.

Se la pulsazione della forzante è uguale a 0, avrò β uguale a 0 e D=1. Se lo smorzamento fosse 0, noi otteniamo un coefficiente di amplificazione D pari ad infinito ma non esiste un sistema senza smorzamento. Più lo smorzamento diventa più piccolo, più si ha il fenomeno della risonanza. Più lo smorzamento diventa elevato, più si ha un decremento della risposta della struttura rispetto all’equivalente forza statica. (Il valore θ non è minimamente accennato dal prof).

Di fatto, è difficile avere una struttura sollecitata da un'azione perfettamente sinusoidale. Il caso più generale è quello di avere una forzante periodica cioè una forzante che non è una sinusoide ma essendo periodica può essere trasformata in una somma di sinusoidi attraverso la serie di Fourier o trasformata di Fourier. L’idea è che se ho una forzante che è periodica, come in questo caso, a un certo periodo T o ad una certa pulsazione associata, è possibile decomporre questo andamento in una somma di tanti sinusoidi che sommate assieme mi danno la forzante p(t) che sollecita la mia struttura. Come nell’esempio, p(t) è la somma di p1, p2, p3 e p4.

Con tecniche numeriche si può fare l’operazione inversa cioè, nota la forzante periodica, ricavare le pulsazioni e le ampiezze delle varie sinusoidi che possono ricomporre la mia forzante periodica. Questa azione periodica p(t) può essere descritta attraverso un ‘cambio di dominio’ cioè cambiando gli assi e mettendo sull’asse x le frequenze o le pulsazioni delle armoniche che formano questa forzante e sull’asse y le ampiezze delle armoniche che formano quella forzante. Questa che è chiamata trasformata di Fourier è molto utile per quanto riguarda l’identificazione dinamica cioè comprendere sperimentalmente quali sono le caratteristiche modali della struttura.

A noi interessa però quale è la risposta della struttura se è soggetta ad una azione dinamica che è periodica in questo caso. In dinamica e nell’ambito lineare vale la sovrapposizione degli effetti. Quindi se è vero che la forzante può essere espressa come somma di forzanti sinusoidi, anche la risposta può essere espressa come somma di risposte a forzanti sinusoidali. Quindi per tutte le sinusoidi da cui è composta la mia forzante, avrò un coefficiente di amplificazione dinamica che moltiplica una parte sinusoidale del moto. In più va aggiunta un valore che indica la componente statica a0 della forzante. Questa formula ci troviamo difficilmente ad applicarla nella ingegneria sismica perché l’azione sismica non è periodica e né tantomeno sinusoidale. Quindi dobbiamo passare ad una forzante generica.

Una forzante generica è una forzante p(t) che varia nel tempo e non ha periodicità. Per capire come la forzante generica può sollecitare una struttura, dobbiamo fare riferimento al teorema dell’impulso che mi dice che la massa per la variazione della velocità è uguale all’integrale della forzante nel tempo, detto impulso. Possiamo dunque considerare l’impulso infinitesimo, cioè prendere una forza minuscola che influisce su un'unità di tempo molto piccola dτ. Per fissare le idee possiamo pensare a tirare una martellata leggera al nostro edificio e vedere come varia la nostra struttura a seguito della martellata. Se è vero il teorema dell’impulso significa che per quel breve istante di tempo, l’impulso deve essere uguale a massa per velocità della struttura.

L’oscillazione v(t) della mia struttura, quindi, dipenderà da quanto è alto l’impulso iniziale o la velocità iniziale che ho dato al mio corpo. Quindi, possiamo pensare che, a seguito di una martellata, da lì in avanti la mia struttura si muoverà di moto libero e l’equazione del moto sarà espresso dalla formula v(t) del moto libero non smorzato già citato. Se la mia ipotetica martellata la dò a t=0, avrò v(0)=0 perché la struttura era in quiete e v’(0)=(p(τ)dτ)/m per il teorema dell’impulso.

Quindi il primo termine se ne va e l’equazione del moto diventa come riportato, ponendo t-τ se la martellata non l’ho data nel momento iniziale. Se io penso alla mia forzante come una serie vicina di tante martellate, possiamo sommare gli effetti delle tante martellate nel tempo per ottenere il moto della mia struttura a seguito di una forzante che varia in dt. Quindi la soluzione generale è fatta come nella foto accanto. L’integrale presente nella soluzione viene chiamato integrale di Duhamel o di Convoluzione ed è alla base della risoluzione di un moto generico di un corpo. Può anche essere riscritto nell’altra forma dove h(t-τ)=[sinω(t-τ)]/mω. L'integrale di Duhamel non può essere risolto in maniera analitica ed esplicita, come era per le equazioni periodiche, ma può essere risolto per via numerica attraverso programmi di calcolo.

Ma noi non sappiamo neanche interessati all’equazione del moto per una forzante generica perché l’azione sismica non è una forza ma uno scuotimento alla base della struttura. Questo scuotimento ha un'equazione del moto che è prossima a quella che abbiamo appena risolto a una forza generica. Se noi abbiamo un moto del suolo, noi abbiamo uno spostamento del terreno pari a vg. La sommità del telaio invece si muove di una certa quantità v. Quindi v’totale=v+vg. Quindi se voglio calcolare l’equazione del moto del mio telaio devo considerare v(t)=v’.

Se io imprimo uno spostamento alla base del pilastro non sto in realtà imprimendo forze, quindi di conseguenza le forze impresse sono 0. Quando guardo le forze di inerzia (m*a) chiaramente la mia massa di sopra ha una forza che dipende dall'accelerazione (a’=a+ag) che investe questa massa quindi ha una forza.

Per quanto riguarda il termine elastico k*v(t) considero solamente lo spostamento del pilastro quindi v(t)=v senza considerare vg. Analogamente fa il termine viscoso c*v(t) poiché lo smorzamento dipende da quanto oscilla la struttura rispetto la sua base e non ad un sistema di riferimento alla struttura quindi v(t)=v senza vg. Quindi avrò quella equazione. Poiché noi sappiamo quale è l’accelerazione sismica che vogliamo applicare alla base della struttura, quindi vg noto, possiamo considerare m*vg(t) uguale ad una forzante effettiva o efficace sismica. Quindi questa equazione del moto possiamo vederla come un equazione del moto generica (la prima formula di questi appunti) dove la forzante generica p(t) non è una forzante sulla struttura ma è data dalle caratteristiche alla base del mio oscillatore.

Siccome questo accelerogramma è vario, non è sinusoidale o periodico o costante, questa equazione del moto deve essere risolta pensando alla risoluzione del moto con forzante generica attraverso l’integrale di Duhamel. Quindi poiché abbiamo che p=-m*vg(t) avremo questa risoluzione. Integrale complicato perché ho lo spostamento in ogni istante della struttura causato dal sisma e quindi deve essere risolto attraverso simulatori di calcolo.

Nel caso in cui lo smorzamento è piccolo, cioè minore del 20% (gli edifici hanno smorzamento di circa 5%), si può considerare la pulsazione smorzata pari alla pulsazione propria della struttura. Una volta ottenuto numericamente il valore dello spostamento nel tempo, è possibile ottenere anche le altre caratteristiche del moto della struttura, derivando lo spostamento stesso nel tempo.

Da notare però che il primo termine è preponderante rispetto al secondo perché il secondo indice è moltiplicato per il valore dello smorzamento che per gli edifici è piccolo. Analogamente mi può interessare qual è l'accelerazione derivando lo spostamento nel tempo o più semplicemente per differenza considerando lo spostamento e la velocità appena trovate. Anche in questo caso, il secondo termine sarà meno preponderante del primo poiché è moltiplicato per un valore più piccolo di quello del primo termine.

Talvolta però mi servirà conoscere solo il massimo spostamento della struttura che noi lo chiameremo con Sd o spostamento spettrale. Così come per quanto riguarda il valore massimo della velocità, Sv o velocità spettrale. Così come per quanto riguarda il valore massimo dell'accelerazione, Sa o accelerazione spettrale. Noi non faremo riferimento a queste 3 quantità così definite, ma ne faremo una piccola approssimazione. Se noi nell'espressione di velocità trascuriamo il secondo termine, c’è una relazione tra l’eff