Ingegneria sismica - Esercizi

Formulazioni

1. Principio di D'Alembert

   P(t) - m · ẍ(t) = 0

   • le forze d'inerzia sono opposte al moto
   • P(t) → vettore delle forze escluse le fi
   • ẍ(t) → vettore delle accelerazioni

2. Principio dei Lavori Virtuali

   ∑ Lp + ∑ Lvi = 0

   • Lvi → lavoro virtuale delle forze d'inerzia

3. Principio di Hamilton

   H(t₀,t₁) = ∫_t₀^t₁ (T - V + W_nc) dt = ∫_t₀^t₁ F(t,v,ẋ) dt

   Teorema di Eulero → ∂F/∂v - d/dt ∂F/∂ẋ = 0

   F = T - V + Δ + W_nc

   • T = 1/2 m ẋ² → energia cinetica
   • Δ = 1/2 c · v² → energia dissipativa (v relativo)
   • V = 1/2 K v² → energia potenziale (v relativo)
   • W_nc → lavoro forze non conservative

Rigidità in Serie

V_TOT = V₁ + V₂

F_TOT = F → stesse forze

1/K_TOT = 1/K₁ + 1/K₂

entro le rigidezze minori

Rigidità in Parallelo

F_TOT = F₁ + F₂ → stesso spostamento

V_TOT = V_K₁ = V_K₂

K_TOT = K₁ + K₂

entro le rigidezze elevate

CENTRO di MASSA

X_G = ^{∑ X_i ・ M_i} / _{∑ Mi}

• effetti torsionali• sistema a 2 gdl

CENTRO di RIGIDEZZA

X_K = ^{∑ X_i ・ K_i} / _{∑ Ki}

• niente effetti torsionali• sistema a 1 gdl

Possiamo scrivere l’equazione del moto e procedere alla sua risoluzione. Siamo interessati al fenomeno terremoto non ma non vogliamo studiare il fenomeno fisico, bensì vogliamo studiare gli effetti sulle strutture. Essendo non un’azione qualsiasi dovremmo trovare la soluzione attraverso l’ANALISI al DOMINIO del TEMPO e l’ANALISI nel DOMINIO delle FREQUENZE. La risoluzione del problema con questo modo di procedere mostra delle problematiche:

• ONEROSITÀ della SINGOLA ANALISI → richiederebbe molto tempo
• ELEVATO NUMERO di ACCELEROGRAMMI da UTILIZZARE → bisogna considerare sistemi accelerogrammi perché è improbabile che si manifesti un terremoto con le stesse caratteristiche
• ANALISI delle STRUTTURE in CAMPO NON LINEARE → è improbabile che le strutture rimangano in campo elastico sotto terremoti violenti

SPETTRI di RISPOSTA

• ELASTICI
• NON LINEARI
• DI PROGETTO

SISTEMI A N gdl

Vogliamo ricavare le equazioni del moto per i sistemi a n gdl, quindi scelti:

n gdl della scrittura applichiamo uno dei vari metodi e otteniamo la seguente formulazione → M + C · v + K · v = ρ (matrici e vettori)

Detto ciò per i casi da esaminare dobbiamo partire dalle equazioni del

moto in assenza di forzante (abbiamo il risuono) e in assenza di

ammortamento (per semplicità, in quanto è un valore molto basso)

→ M Y + K V = 0

V(X,t) = Φ Y(t)

→ M · Φ Ẏ(t) + K Φ Y(t) = 0 → Σ Ẏ + M Ẏ + Δ · Y = Φᵀ M ρ V₉

Per separare le variabili moltiplichiamo per Φᵀ e dividiamo per Y(t)

• Ẏ(t) / Y(t) = Φᵀ K Φ / Φᵀ M · Φ = cost λ →
  • Ẏ(t) = λ Y(t)

{(K - λ M) Φ = 0}

La soluzione non banale si ha solo se det(K - λ M) = 0

→ equazione di grado n in λ le cui radici sono reali

Ẏ - λY = 0

tenendo λ possiamo determinare ω_j x T_j ed

entrare nello spettro λ_j = ωᵢ²

(K - λ M) Φ = 0 → Φ = (r₁ / vm)

Inversiamo il valore di λ e ricaviamo due equazioni dove fissiamo

un gdl pari a 1 e ricaviamo l’altro

Φᵢⱼ = Φᵢ / √Φᵢ Φⱼ

normalizziamo xⱼ = Φᵢ M · ρ

vettore di trasformazione

Determinate la matrice M e K procediamo con l'analisi modale.

Ammette soluzioni differenti da quella banale quando

det [(2ℓk - λm -2ℓk ) (-2ℓk) ( -2ℓk 4ℓk - λm )] = 0

→ (2ℓk - λm) (4ℓ - λm) - 4ℓ = 0

M_max = √(N_1max² + N_2max²) = √(5803,5² + (-215,94)²) = 5807,51 km

S_max = √(S_1max² + S_2max²) = √(896,63² + 84,22²) = 824,48 km

Fatto cio, vediamo quali sono le masse partecipanti.

π₁² = (1,377 √m)² = 1,896 m

π₂² = (0,325 √m)² = 0,106 m

π₁² + π₂² = 2,002 m ≈ 2m

π₁² / 2m² = 94,8%

I risultati si discostano poco poiché già con il primo modo eccitiamo circa il 95% della massa

ESERCIZIO 2

Caratteristiche materialig_cls = 2.5 t/m³E_c = 3 • 10⁶ kN/m²G_c = 1.2 • 10² kN/mk_i = 2 • 10⁴ kN/m

Calcoliamo le masse

M_i = g_acciaio • aZ + g_cls • (a • b • a' • b') • L= 2 • 6.80 + 2.5 • (6.2 • 5.2 • 1.6) 80= 2176 t

Mpile1 = g_cls • π • (R² - R'²) • h₁ = 2.5 • π • (2² - 1.2²) • 10 = 200.06 tMpile2 = g_cls • π • (R² - R'²) • h₂ = 2.5 • π • (2² - 1.2²) • 20 = 402.12 tMpile3 = g_cls • π • (R² - R'²) • h₃ = 2.5 • π • (2² - 1.2²) • 30 = 603.18 tMpile4 = g_cls • π • (R² - R'²) • h₄ = 2.5 • π • (2² - 1.2²) • 40 = 804.25 t

Poiché le masse di ciascuna pila sono più piccole di quelle dell'impalcato, quindi volendo considerare le masse delle pile dovremmo considerare un aliquota di circa il 30% ma poiché questa dipende da poterle e in conto sono molte influenze elle masse all'impalcato possiamo trascurare questi contributi. Possiamo a considerare la rigidezza per quanto riguarda gli isolatori si assume una rigidezza rodiata dal po problema. Per le pile si assume che lavorino deformando rubber type onde ad quando potrebbe essere disattivabile in quanto non è realmente impiedita le rotazioni in setta alla pila.

concentrata nel baricentro e ci riferissimo alla mossa traslazionale e

rotazionale.

Detta cio consideriamo l'equazione del moto Nv̈ + Kv = 0, la quale

ammette soluzioni diverse da quella banale quando il det(K−λM) = 0

Det

→

→ 3,16⋅10¹⁰ − 8,36⋅10¹⁰λ − 9,57⋅10⁷λ + 2,52⋅10²λ² − 2,56⋅10⁻¹⁰ = 0

→ 2,52⋅10¹¹λ² − 8,46⋅10¹¹λ + 6,10⁹ = 0

→ λ_1,2 = −b ± b² − 4ac / 2a = 8,46⋅10¹¹ ± (8,46⋅10¹¹)² − 4(2,52⋅10¹¹)(6⋅10⁹) / 2⋅2,52⋅10¹¹

{ λ₁ = 0,007

{ λ₂ = 3,350

λ_j = w_j² → { w₁ = √λ₁ = 0,084

{ w₂ = √λ₂ = 1,830

T_j = 2π / w₁ → { T₁ = 2π / w₁ = 74,80 s

{ T₂ = 2π / w₂ = 3,43 s

Abbiamo definito periodo e pulsazioni, pertanto possiamo o determinare le

forme modali.

(K−λ_jM)Φ_j = 0

λ₁ ⇒ (K−λ_M)Φ_j = 0 scriviamo solo la prima in quanto la seconda

sarà identicamente soddisfatta poiché fissiamo il valore già o Φ.

(71800−24760−λ)v−160000Φ=0

v=1 → (71800−24760⋅0,007)v−160000Φ=0 → 74647,68−160000Φ=0

Φ = 74647,68 / 160000 = 0.448