Ingegneria delle microonde

Utilizzo di uno schema di risoluzione diverso per le guide a sezione trasversale non omogenea

E' possibile utilizzare uno schema di risoluzione diverso da quello che abbiamo utilizzato in precedenza per le guide a sezione trasversale non omogenea. Invece di ricavare le componenti trasverse dei campi e da queste le componenti longitudinali, faremo il contrario. Attraverso lo studio delle componenti longitudinali, ricaveremo quelle trasverse. Questo nuovo approccio è necessario per le guide a sezione trasversale non omogenea, in cui il formalismo di Marcuvitz-Swinger non può più essere utilizzato.

Utilizzeremo questo nuovo tipo di approccio, in cui ricaveremo le componenti E_z che svolgono un ruolo analogo alle E e da queste poi le componenti trasversali. Questo perché le componenti E_z saranno comunque eventualmente tangenti rispetto alle superfici di discontinuità che possono caratterizzare questa struttura a mezzo non omogeneo. Su di essa sarà relativamente facile applicare delle condizioni di raccordo.

menodi casi particolari che vedremo.Nessuno ci vieta di utilizzare uno stesso approccio anche qui. L’uno o l’altro in questo caso sono equivalenti. Il bello dell’altro, il nostro, è che ci ha fatto mettere in luce il ruolo di I z e e riferirci alle linee di trasmissione. Dai risultati ottenuti è facile dedurre ora ilV zconcetto di additività delle potenze.Consideriamo una sezione trasversa arbitraria della nostra struttura guidante (sotto lesolite ipotesi), come mostrato in figura 1.5.

Figura 1.5: Sezione trasversa di una generica struttura guidante.

Bozza - Ingegneria delle microonde Anno Accademico 2013/201439Il flusso del vettore di Poynting attraverso tale superficie è1    ˆ* (1.157)P E H z dS2 Sed è chiaro che solo le componenti trasverse daranno un contributo non nullo all’integrale1    ˆ* (1.158)P E H z dSt t2 SUn generico campo traverso, all’interno della

struttura guidante, può scriversi, come già visto precedentemente, come sovrapposizione dei modi. Più in generale si ha la seguente espansione modale:

∑(TE_m,n + TM_m,n) = V_ze^tV_ze^t

∑(TE_m,n + TM_m,n) = TE_m,n + TM_m,n

L'integrale nella (1.158) risulterà pertanto essere pari a:

∫∫ *E H_z dS = t² S₁ ∑(TE_n,l + TM_n,h) I_ze^th_tz dS_n,l

∫∫ *E H_z dS = t² S₁ ∑(TE_n,l + TM_n,h) I_ze^th_tz dS_n,l

∫∫ *E H_z dS = t² S₁ ∑(TE_n,l + TM_n,h) I_ze^th_tz dS_n,l

∫∫ *E H_z dS = t² S₁ ∑(TE_n,l + TM_n,h) I_ze^th_tz dS_n,l

Stante l'ortogonalità dei modi solo TE o solo TM e la sempre

verificata ortogonalità fra TE e TM, rimanendo i soli TE o TM con indici comuni, facendo in modo che ∫∫ ∇ · E = 0 (1.161) e ∇ × H = jωεE (1.162). Se dividendo opportunamente per la norma (normalizzato cioè il flusso), questo flusso sarà ∑∑ (1.162) TE TE* + TM TM* P V z I z V z I z n n m m. In altre parole, l'additività delle potenze: la potenza che fluisce attraverso una data superficie è la somma delle potenze di ogni modo eccitato, quelli non eccitati non danno un contributo attivo. La cosa interessante è che se ragioniamo in termini del singolo modo e vogliamo calcolare la potenza ad esso associata (supponendo ad esempio che sia il singolo modo eccitato), grazie alla proprietà di normalizzazione, che può sempre farsi, essa sarà il prodotto delmodo; ma mentre e non sono tensione e corrente, il loro prodotto esiste ed è qualcosa di misurabile, ossia è proprio la potenza che si manifesta nella guida. Mediante un approccio a linea di trasmissione lavorare è molto più semplice e alla fine la potenza è questa. Nella maggioranza dei casi lavorare solo sulle equazioni equivalenti dei telegrafisti, e quindi in termini di potenza, è più che sufficiente al fine dell'analisi e della sintesi della guida. In alcuni casi la risoluzione del problema vettoriale e quindi il calcolo vero e proprio dei campi, è necessario, almeno in ambito locale, ad esempio quando intervengono discontinuità nella struttura stessa, come nel caso dei diaframmi. Dispersione Modale Dispersione in guida Andiamo adesso a studiare con maggiore dettaglio le proprietà di propagazione dei modi in una struttura guidante che come abbiamo già precedentemente evidenziato non sonocosìsemplici in quanto la relazione fra costante di propagazione e frequenza non è lineare. Ciò si ripercuote sul fenomeno della propagazione rendendolo dispersivo. A tale scopo riscriviamola relazione che esprime la costante di propagazione in una struttura guidante: ^k_z = -√(^ω_μ^ε)² - ^k2_te Ricordiamo inoltre i parametri secondari trovati rispettivamente per i modi TE e TM: ^ω_μ = ^k_z = ^ω_ε^μ2ε_tm^2ε_te² Supponiamo, per semplicità, che il mezzo sia non dispersivo e quindi μ e ε sono delle costanti; nella quasi totalità delle applicazioni con le guide d’onda il mezzo è il vuoto (ovvero aria). La prima cosa che notiamo è che ^k_z non è sempre reale; esiste una pulsazione detta pulsazione di taglio, ω_{pulsazione di taglio}, in corrispondenza della quale la costante di propagazione, relativa al modo che stiamo considerando, si annulla. La corrispondente frequenza si chiama frequenza di taglio o di cut-off. lungo z La relazione di

La dispersione che lega la costante di propagazione relativa al modo in esame con la pulsazione di lavoro è data dall'espressione:

ω² = -k² + k_zn²tn²

Questa risulta essere una relazione non lineare a causa del fattore k_zn. In particolare, se andiamo a graficare l'andamento di ω in funzione di k_zn, otteniamo:

1. per k_zn > 0, ω è reale
2. per k_zn < 0, ω è puramente immaginario

Esaminiamo separatamente le due condizioni nella (1.167):

1. Nel caso k_zn > 0, si ha che ω è reale e dalla (1.165) si perviene all'equazione:

k² - k_zn²tn²ω² = 0

Questa rappresenta l'equazione di un'iperbole in quanto i due termini quadratici contenenti le due variabili k e ω sono di segno opposto, portati allo stesso membro, con gli assi coincidenti con gli assi coordinati. Tale iperbole per parte propria k_zn → ∞ dalla pulsazione di taglio.

Quando la relazione tende a diventare lineare, ovvero tende all'asintoto ω = k⋅(1.168)c, dove il coefficiente angolare della retta che rappresenta l'asintoto è pari alla velocità della luce nel mezzo che riempie la guida. Nel caso si ha che α è puramente immaginario e dalla (1.165) si perviene ad un'equazione del tipo ω^2 + α^2 = -k^2⋅(1.169)^2c^2, con fattore attenuativo. Elevando la (1.169) al quadrato si perviene al risultato ω^2 - α^2 = -k^2⋅(1.170)^2c^2, e lasciando solo il termine alla destra dell'equazione si ottiene ω^2 + α^2 = k^2⋅(1.171)^2c^2, che rappresenta l'equazione di una ellisse in quanto i due termini quadratici contenenti le due variabili ω e α sono di segno uguale, portati allo stesso membro, con gli assi coincidenti con gli assi coordinati. In ultima analisi la pulsazione di taglio, ω, in corrispondenza della quale la costante di propagazione, tn, relativa al

Il modo che stiamo considerando, si annulla, è data dalla relazione ω² = -k² (1.172)2k k 0zn tn2c da cui risulta

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42ω = c ktn tn (1.173)

Concludiamo dicendo che la relazione è non lineare e ciò implica dispersione per il pacchetto d'onda, cioè un comportamento selettivo in frequenza. Da notare che tutto ciò è dovuto al che esce fuori dal fatto che siamo in regime di propagazione guidata, e quindi k tda non confondersi con la dispersione che risulta in un mezzo con perdite per via della ωε dipendenza di ε da ω.

Quando la pulsazione è maggiore della pulsazione di taglio la ω è reale e quindi si hanno in generale due onde, una progressiva e una regressiva, che si propagano lungo la nostra struttura guidante. Viceversa, quando siamo al di sotto della pulsazione di taglio la costante di propagazione diventa immaginaria, che va presa naturalmente, come si conviene.

colsegno meno. Dal punto di vista dell'andamento della tensione e della corrente sappiamo che in tal caso non c'è più propagazione, ma un'attenuazione esponenziale all'interno della struttura. Per tale motivo la ω è detta pulsazione di taglio, perché separa la zona di frequenze in cui non si ha propagazione all'interno della guida del modo considerato, dalla zona di frequenze in cui, viceversa, il modo si può propagare. Tale pulsazione di taglio, una volta fissato il materiale che riempie la guida, dipende da ; ricordiamo che i sono una k ktn tnsuccessione di numeri positivi che tende all'infinito. Quindi per ogni modo c'è una pulsazione di taglio corrispondente e così come sono ordinat