Ingegneria metabolica

La matrice inversa e l'importanza nel calcolo dei sistemi lineari

T- A V (in genere si sceglie questo metodo)1- V A2La matrice inversa, se si può moltiplicare per quella originale, significa che hanno le stesse dimensioni: moltiplicando l'una con l'altra risulta sempre una matrice unità. Riuscire a calcolare l'inversa di una matrice serve per risolvere i sistemi lineari (seriesco a calcolare l'inversa della matrice dei coefficienti e la moltiplico per la matrice C, ottengo la matrice delle variabili x e y). La matrice originale deve essere quadrata, altrimenti non si può calcolare l'inversa: la matrice in questione è la matrice dei coefficienti, la quale avrà tante righe quante sono le equazioni e tante colonne quante sono le variabili. Quando è quadrata, siamo in presenza di un SISTEMA DETERMINATO: è un sistema risolvibile perché si può prendere l'inverso di A. I SISTEMI SOVRADETERMINATI sono riconducibili a sistemi determinati scartando il numero di equazioni.

in eccesso rispetto al numero di variabili. I SISTEMI SOTTODIMENSIONATI costituiscono invece un problema: si deve in unqualche modo il numero di variabili. Se riuscissi a misurare n-j variabili, riuscirei ad ottenere un sistema determinato equindi una matrice quadrata. Se le variabili corrispondono ai flussi, alcuni flussipossono produrre sostanze nel mezzo extracellulare e quindi sono facilmentemisurabili.

La matrice, oltre ad essere quadrata, deve avere determinante non nullo: questoperché il determinante va al denominatore. Il determinante è un numero, non unamatrice, che viene associato ad una matrice quadrata.

A volte il determinante di una matrice quadrata può essere uguale a zero.Quando due righe o colonne sono proporzionali, significa che una delle due può esserericavata dall’altra moltiplicando per un fattore.

Se sono linearmente dipendenti sono derivabili per combinazione lineare: non è facileaccorgersi di questa situazione.

Se consideriamo

sia l'ATP sia l'ADP ci ritroviamo con righe e colonne con coefficienti uguali ma opposti in segno (proporzionali). Questa matrice, qualora fosse anche quadrata, avrebbe il determinante nullo. Il minore complementare è il determinante della sotto matrice. Il rango mi dice quante righe e quante colonne indipendenti ci sono nella matrice. Se la matrice ha rango pieno, significa che tutte le righe e tutte le colonne sono indipendenti l'un l'altra. In realtà la definizione di rango per una matrice non quadrata non serve a nulla perché non si può legare al determinante. Una matrice per essere invertibile deve avere determinante non nullo, perché per trovare l'inversa di una matrice bisogna dividere per il suo determinante. Dove A è la matrice dei coefficienti, x è la matrice delle incognite e B è la matrice degli altri elementi a cui eguagliamo la sommatoria tra i prodotti tra le due matrici precedenti. Se la matriceè quadrata, siccome il numero delle righe corrisponde al numero dellereazioni e il numero di colonne corrisponde al numero delle incognite, allora possiamodire che il sistema è determinato perché il numero di reazioni è pari al numero diincognite (altrimenti abbiamo un sistema sovradeterminato o sottodeterminato). I vettori S, P, X_macro, X_met devono essere scritti in modo coerente: S avràdimensioni n*1 se la matrice è J*n. Vogliamo descrive in modo diverso il metabolismo del carbonio in E.coli (facendo fintache E.coli non abbia massa) Il substrato in questo caso è uno ed è il glucosio. I prodotti sono invece l’acidosuccinico, lattico, formico, acetico e l’etanolo: si definiscono prodotti perché sonoall’esterno della cellula e si riescono a misurare. I metaboliti intracellulari considerati sono quelli che costituiscono i punti di snodo. Questo disegno può essere reso più o meno complicato inbase alla precisione che si vuole ottenere. Le 8 trasformazioni possono coincidere con 8 singole reazioni o con 8 meta-reazioni. Bisogna sempre suddividere i vari componenti nelle tipologie di specie (substrati, prodotti..). La matrice B avrà 8 righe (numero delle reazioni) e 7 colonne (specie che considero): viene moltiplicata per il vettore dei coefficienti dei prodotti. L'assegnazione è univoca: un'entità non può essere in più di una categoria. I prodotti generati nella prima reazione sono pari a zero: la prima riga della matrice dei coefficienti stechiometrici (corrispondenti alla prima equazione) sono tutti nulli. Nella seconda equazione compaiono la CO2 e l'acido succinico. Nella terza ci sono zero prodotti. Nella quarta si produce acido lattico e così via. La matrice è piena di zeri perché la stragrande maggioranza delle specie partecipa ad una sola reazione, non a tutte le reazioni. La matrice C considera i

coefficienti stechiometrici dei metaboliti intracellulari: le righesono sempre 8 quante sono le reazioni, le colonne sono invece 5, tante quanti sono imetaboliti intracellulari. Per avere un sistema determinato devo ricavare una matricequadrata, facendo una sotto matrice.

I metaboliti intracellulare che si considerano sono quelli che fanno da punto di snodo,perché in questi punti abbiamo tante reazioni di bilancio quanti metaboliti andiamo avalutare. I flussi sono tanti quante sono le reazioni, in questo modo la matrice èquadrata (condizione necessaria per l’invertibilità).

Se calcoliamo la quantità di una specie misurabile, si vede che la quantità calcolatanon è mai pari alla quantità misurata: questo significa che il metabolismo scritto inmaniera matematica non presenta tutti i termini necessari.

Posso voler calcolare una specie che non è misurabile, come per esempio NADH.L’NADH prodotto dal catabolismo del glucosio

Deve essere smaltito in un qualchemodo. Viene prodotto solo nel primo passaggio della glicolisi: il micro lo smaltisce facendo 3 prodotti (PEP, piruvato, acetil-coA). Se il micro in condizioni anaerobie potesse usare il ciclo degli acidi tricarbossilici, produrrebbe solo ATP e non acido piruvico.

L'NADH è il quinto compentente del vettore dei metaboliti intracellulari e i suoi coefficienti stechiometrici si trovano nella quinta colonna dei coefficienti stechiometrici della matrice dei coefficienti stechiometrici dei metaboliti intracellulari.

L'NADH viene prodotto nella prima reazione e viene consumato nelle reazioni 2,4,8 (le uniche che hanno coefficiente del NADH negativo).

Considero la prima reazione per vedere quando NADH viene sintetizzato: per ogni mole di glucosio consumato vengono prodotte due moli di NADH.

Si considerano poi le reazioni 2,4,8 in cui non partecipa nessun substrato e in cui vi è la produzione di 1 mole di CO2 e 1 mole di succinato nella reazione 2.

Con consumo di 2 moli di NADH - 1 mole di lattato nella reazione 4, con consumo di 1 mole di NADH - 1 mole di etanolo nella reazione 8, con consumo di 2 moli di NADH vengono consumate attraverso questa fermentazione 200.5 moli di NADH a fronte dell'utilizzo di 100 moli di glucosio.

Non è un risultato del tutto corretto, perché una delle due moli formate inizialmente era NADPH.

La velocità di formazione dell'NADH nella glicolisi è pari a 2 (coefficiente stechiometrico con il quale la specie è ingaggiata in un certo cammino metabolico, come la glicolisi) moltiplicato per la velocità del cammino metabolico.

La velocità di 'reazione' (rete di reazioni, cammino metabolico) v corrisponde al flusso della glicolisi.

Le concentrazioni sono difficilmente calcolabili, mentre i flussi sono semplici da calcolare perché non sono entità legate a singole specie e hanno un numero minore rispetto ai modelli di calcolo delle

velocità che si basano sulla concentrazione. Le velocità delle reazioni non sono tante quante le specie ma sono tante quante le reazioni che considero. Se riuscissimo a legare gli altri tre termini (substrati, prodotti, metaboliti intracellulari) alla biomassa, potremmo considerare la biomassa come unica entità che normalizzata per se stessa dà 1 come risultato finale. Per normalizzare tutto con la biomassa, si usano le VELOCITÀ SPECIFICHE, le quali si riferiscono alla produzione di una specie in base alla quantità di biomassa: in questo modo la biomassa viene inglobata negli altri tre termini e non bisogna più considerare i singoli componenti della biomassa come singole unità. Quello che mi interessa è v_j, perché v_i è una cosa misurabile (se i è un prodotto o un substrato). L'unico problema è che ho le v_i anche dei metaboliti intracellulari che sono di difficile misurazione. La velocità disintesi della biomassa è pari a μ. Se voglio guardare la velocità di consumo dell'NADH, so che questo è consumato in 3 reazioni (2,4,8): se voglio avere la velocità complessiva di consumo di NADH devo fare la sommatoria tra tutte le reazioni che ho a disposizione del coefficiente stechiometrico dell'NADH in ogni reazione moltiplicato per v_j. La parte sinistra dell'equazione viene sistemata dimensionalmente con la parte destra dell'equazione, che corrisponde ai flussi. Misuriamo, attraverso uno strumento, quanta CO2 viene prodotta (controllo della carbon revolution rate): non siamo in grado di dire come viene prodotta la CO2. La CO2 misurata è molto probabilmente la risultante della CO2 prodotta e consumata dal micro, è la quantità netta prodotta. La r_s,i è ciò che si vede scomparire o apparire al netto delle reazioni nel mezzo extracellulare: corrisponde alla somma tra consumo e produzione. Non è una

velocità di reazione in senso classico (reazione caratterizzata da un enzima). In generale A (matrice dei coefficienti dei substrati) ha dimensioni j*n e viene moltiplicata per il vettore delle velocità dei diversi cammini metabolici, ossia il vettore dei flussi. Il vettore dei flussi ha dimensioni j*1 o 1*j (j= numero dei flussi).

- Scrivo il vettore dei flussi come 1*j (vettore riga) e lo moltiplico per A.

- Scrivo il vettore dei flussi come j*1 (vettore colonna) e lo moltiplico per la trasposta di A. Si preferisce usare questo perché storicamente il vettore ce lo immaginiamo come vettore colonna e inoltre siamo abituati a moltiplicare il coefficiente al fattore (e non il contrario).

Il vettore risultante da questo prodotto è un vettore ad 'n' componenti: una matrice j*1 che moltiplica una matrice j*n crea un vettore n*1.

Lo stesso ragionamento si può fare anche con i prodotti. Il vettore r_p è un vettore m*1.

Gli 'n' sub