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Variabili Aleatorie
Quando parliamo di variabili aleatorie, si parla di uno spazio di Ω e insieme di possibili risultati dell’esperimento casuale.
Lo spazio è dato da una coppia (Ω, B₂) in cui B₂ è σ-algebra su Ω cioè insieme di sottoinsiemi di Ω i quali godono di alcune proprietà:
- Ω ∈ B₂
- Se A C B₂ → A^C ∈ B₂
- ⋃ᵢ Aᵢ ∈ B₂
Gli insiemi della B₂ sono detti insiemi misurabili. Uno spazio vettoriale è dunque dato da una coppia di un insieme Ω e dell’insieme di sottoinsiemi che godono di quelle proprietà.
La variabile aleatoria X è una funzione che associa ad ogni elemento di Ω un numero reale, cioè traduce l’esperimento casuale in numeri:
X: (Ω, B₂) → (ℝ, Bℝ)
Ed è una funzione misurabile, cioè tale che l’immagine inversa di ogni insieme che si trova in Bℝ appartiene a B₂.
Ex: lancio di una moneta. X: n° di teste
Allora Ω = {T, C} → B₂ = {∅, {T}, {C}, {T,C}}
X(ω) = {1 se w = T0 se w = C
Nel caso delle probabilità, allo spazio va abbinato lo spazio di probabilità che è una tripletta composta da insieme, σ-algebra su quell’insieme e la misura di probabilità (Ω, B₂, P).
La misura di probabilità è una funzione che associa una misura agli insiemi misurabili in Ω.
Nel caso delle variabili aleatorie si parla di una misura di probabilità indotta.
La funzione di probabilità indotta si definita così:
PX(A) = P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A})
Oggetto di probabilità indotto dalla variabile casuale
EX (cancio B. monetale)
Xm0P(X < 0) = 1/81P(X ≤ 1) = 3/82P(X ≤ 2) = 5/83P(X ≤ 3) = 1/8Una variabile casuale si dice discreta quando i valori che può assumere X sono un insieme discreto, cioè numerabile
Per questo tipo di variabili è possibile definire una funzione di massa di probabilità (pmf):
fX(x) = P(X < x)
Una funzione f: ℝ → [0,1] è una funzione di massa di probabilità se:
- f(x) ≥ 0 ∀x ∈ X
- ∑x∈X f(x) = 1
La funzione di ripartizione Fx di una variabile aleatoria X è, in un valore x, la somma di tutti gli f(t) con t ≤ x
FX(x) = ∑ fx(t)
Una variabile aleatoria si dice continua se il suo supporto (X: insieme dei valori che può assumere X) è un insieme continuo, o anche se la sua funzione di ripartizione Fx è assolutamente continua
Mentre nel caso discreto abbiamo una funzione di massa di probabilità, nel caso continuo abbiamo una funzione di densità, cioè una funzione a valori reali che soddisfa le proprietà:
- f
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