Inferenza statistica

Calcolo della media generale della popolazione

Si considera un n<<N. Per calcolare la media generale della popolazione, si tenta di costruire qualcosa di simile allamedia generale dell'insieme: si calcola la media del campione (sottoinsieme) e poi la si estende all'insieme.

Si ha a disposizione una serie di osservazioni (x1, x2, x3, x4, xn..) e si va poi a determinare il valore di riferito all'insieme generale. ϑ ϑ^ϑ≠

Con questo metodo non si può però ottenere un valore esatto │ϑ ̂- ϑ│< Ɛ. Si spera che la differenza tra i due valori sia minimo.

È necessario stabilire una metrica che aiuti a definire e misurare questa situazione. L'unico strumento valido per la misurazione è il principio delle probabilità.

Si può dare una misura al grado di fiducia affinché questa asserzione sia giusta. Sappiamo che il carattere X si distribuisce secondo una determinata funzione rappresentata in grafici (istogramma). Conoscendo la distribuzione,

si può passare da una funzione f(x) a una g( ) In cui è θ θfunzione di x ^ xθ=xQuesta è una proprietà che deve essere necessariamente soddisfatta. 1, 2,x x3, …, k

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Il calcolo delle probabilità è uno strumento necessario e riconosciuto per la misura del grado di fiducia che un certo evento si verifichi.

Il concetto principale sta nella definizione di EVENTO e le concezioni classiche di probabilità.

La statistica descrittiva consiste nell'avere una collezione di dati e a descriverla costruendo la distribuzione statistica del carattere x al termine della quale è possibile stabilire che la caratteristica x si è presentata/verificata in modalità x , x ,..,x con una certa frequenza n , n ,1 2 k 1 2…,n k

La probabilità è una misura che si basa sulla fiducia che un certo valore/evento possa verificarsi.

Un EVENTO è un qualsiasi

fatto/asserzione che può verificarsiEs: oggi piove è un'asserzione. Quanto è vera questa asserzione? Bisogna attribuire una probabilità, cioè un valore compreso tra 0 e 1 con cui si determina se un evento è certo/impossibile/incerto.

Queste diverse definizioni sono associate a valori compresi tra 0 (impossibile) e 1 (certo), incerto per valori intermedi.

Dati gli eventi (sottoinsiemi A, B, C, D) che formano l'insieme di OMEGA qual è la probabilità di pescare uno di questi elementi?

EVENTO SEMPLICE: [Maria vince alla lotteria]

L'evento è certo se l'insieme OMEGA dei biglietti è stato interamente acquistato da Maria;

L'evento è impossibile se Maria non ha acquistato alcun biglietto;

L'evento è incerto/aleatorio/casuale se Maria ha comprato solo una parte di biglietti.

Una probabilità di verifica se c'è la possibilità al verificarsi dell'evento.

Questi sono

eventi SEMPLICI e si distinguono dagli eventi COMPOSTI, cioè se è possibile stabilire legami logici tra eventi semplici

EVENTO SEMPLICE:

EE1: TESTA nel lancio della moneta

E2: 4 nel lancio di un dato

E3: numero pari nel lancio di un dado

E4: numero dispari nel lancio di un dado

EVENTO COMPOSTO

Eventi che si ottengono attraverso gli operatori logici, quali

UNIONE tra due eventi (A U B);

UNIONE AuB [A oppure B] [A non esclude B]

INTERSEZIONE (A B) data dai punti in comune;

INTERSEZIONE AnB

NEGAZIONE. Considerato l'evento A, la negazione è data da tutti i punti non appartenenti all'insieme A.

NEGAZIONE

Esempio NEGAZIONE: A B∪

Es: E2: uscita del 4

E4: numero dispari

Questa UNIONE costituisce una ESCLUSIONE: il verificarsi di un evento, esclude l'altro (NEGAZIONE)

L'uscita di un numero dispari alla prima estrazione esclude l'uscita del 4 alla stessa estrazione

Esempio 1: A B∪

Si consideri un mazzo di carte:. Carte raffiguranti figura E1.

Carte che riportano un numero L'evento composto implica un concetto di compatibilità/incompatibilità

EVENTI COMPATIBILI/INCOMPATIBILI

Dato un certo numero di oggetti che appartengono ad A e un numero di oggetti che appartengono a B, l'estrazione di un oggetto che appartiene ad A non esclude che questo appartenga anche a B,

In questo caso gli eventi si definiscono COMPATIBILI.

Se il verificarsi di A esclude B, gli eventi si dicono INCOMPATIBILI

INCOMPATIBILI

Per quanto riguarda il concetto di intersezione bisogna considerare eventi il cui verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell'altro evento A ∩ B = ∅

A: maglietta blu

B: pantaloncino verde

Nella sovrapposizione risiede l'intersezione degli eventi A e B,

- Intersezione: eventi compatibili

ESEMPIO 2: EVENTI COMPATIBILI

CARTE DIVISE IN FIGURE-NUMERI-SEMI

E1: coppe

E2: figura

compatibili

ESEMPIO 3: EVENTI INCOMPATIBILI

Ω : [1, 2, 3, 4, 5, 6] DuP A ∩ B = ∅

A:[ 1, 3, 5]

B:[2, 4, 6]