Il significato della definizione

Il significato della definizione

Nella definizione appena data, considerando ε, pensiamo a valori che diventano sempre più piccoli. Diremo che ε è preso «piccolo a piacere». Inoltre, se esplicitiamo il valore assoluto nell’espressione |f(x) − l| < ε, otteniamo − ε < f(x) − l < ε → l − ε < f(x) < l + ε, ossia f(x) appartiene all’intorno ]l − ε; l + ε[.

Interpretazione della definizione

La definizione dice che l è il limite di f(x) se, fissato un ε qualsiasi, anche «molto piccolo», troviamo sempre un intorno di x₀ tale che, per ogni x ≠ x₀ di quell’intorno, f(x) appartiene a ]l − ε; l + ε[, cioè f(x) è «molto vicino» a l.

• Fissiamo ε > 0. Individuiamo un intorno I di x₀ tale che f(x) ∈ ]l − ε; l + ε[ per ogni x ∈ I.
• Se riduciamo ε, troviamo un intorno di x₀ più piccolo.
• Più piccolo scegliamo ε, più piccolo diventa, in genere, l’intorno I.