Idraulica : Bernoulli; Navier-Stokes; Applicazioni

Equazione indefinita del movimento

Consideriamo un parallelepipedo elementare di fliudo in movimento con note in O le x, y, z, la velocità v (scomposizioni A)

Dobbiamo esprimere l'equilibrio del primo scrivendo che la somma di tutte le forze ad esso applicate sia nulla.

Come se saldo le forze applicate sono:

• DI MASSA
• DI INERZIA
• DI SUPERFICIE

Per l'equilibrio dinamico della traslazione si deve annullare la somma di queste tre forze.

Forze di massa

considera F le forze di massa per unità di massa. Le forze complessive sono

^∫F d_x d_y d_z

Forze di inerzia

Derivano dall'accelerazione. Anch'esse sono proporzionali alla massa

^∫A d_x d_y d_z

Forze di superficie

Sono quelle che si manifestano sull'elementino attraverso le superfici di contorno.

In questo caso a differenza dell'idrostatica le forze agenti su ognuna delle superfici agiscono con una direzione diversa dalla normale, perchè ci sono anche le componenti tangenziali.

Quindi ogni sforzo ha componente normale e tangenziale.

Ad esempio sulla faccia ADEF di normale x0 abbiamo lo sforzo Fx che ha Gx (componente normale) e Gy, Gz (componente tangenziali).

Se Dx è lo sforzo elementare la spinta esercitata sull'intera faccia sarà

Dx d_yd_z

Sulla faccia opposta BCGD avremo uno sforzo Fx incrementato rispetto a x

(Fx + ^∂Dx/_∂x) sforzo

Moltiplicando per la nuova un

i loro risultanti sono:

Stesso discorso vale per le altre facce e quindi:

form. di sup.

Facendo la somma delle forze

β(F_x − A) − ^∂β_x/_∂x − ^∂β_y/_∂y − ^∂β_z/_∂z = 0

Proiettandolo e il sistema

Componente della spinta lungo x

lungo y

lungo z

A questo va aggi

G + I + M₁ - M₂ + Γ = 0

• Il termine G rappresenta la risultante delle forze di massa agenti sulle singole particelle che occupano il volume V considerato. Il vettore G è verticale, rivolto verso il basso, ed applicato al baricentro.

• Il termine I rappresenta la risultante delle forze di inerzia locali che dipendono esclusivamente dal modo con cui variano nel tempo la velocità e la densità. Questo termine si annulla nel caso di moto permanente, perché si annulla l'accelerazione locale: ^{_{∂V ∂t}}

• Il termine (M₁-M₂) individua il flusso della quantità di moto entrante M₁ ed uscente M₂ dalla superficie di contorno A del volume V.

  Osservando l'integrale ∮ SV_m dA vediamo che SV_m dA è pari alla portata infinitesima dQ di massa attraverso il singolo dA; il prodotto SV_m dA = ρdQ fornisce quindi la massa che transita nell'unità di tempo attraverso dA;

  SV dσ = SV nda rappresenta la quantità di moto posseduta da detta massa, e tale vettore è diretto in ogni punto come la velocità. Quindi, in definitiva, l'integrale M₁ = ∮ SV_m dA individua la quantità di moto di tutta la massa fluida che attraversa, nell'unità di tempo, la superficie di contorno A del volume V.

  In entrambi i passaggi a stanghetta tre porzioni, una A₁ che si attraversa dal fluido in entrata (una A₂ che si attraversa dal fluido in uscita) A₀ non attraversata dal fluido. Si scrive il flusso della quantità di moto in entrata M₁ M₂ sarà il flusso della quantità di moto della massa uscente, sono negativi perché V_m negative (V_m un tale in entrata se inversi questo).

Se consideriamo una tubazione cilindrica, quando la corrente ha la traiettoria rettilinea e parallela, ogni sezione traversale ha la quota piezometrica costante.

Considerando la sezione piani AB, se mettiamo due piezometri, uno in A e l’altro in B, questi individuano la stessa quota piezometrica.

Questo obiettivo che anche per altre sezioni traversali non avviene cambierebbe il valore della quota piezometrica.

In definitiva, in una corrente che ha la traiettoria rettilinea e parallela, oppure in una corrente laminare, la quota piezometrica rimane costante per tutti i punti di una stessa sezione, ma varia da una sezione all'altra.

Condotta in curva

Nel caso di condotta in curva, il capo z non è più infinito e quindi il termine _v²/₂^g non si può annullare.

Quindi dobbiamo considerare gli effetti dell’accelerazione centripeta e le conseguenze di ciò, e cioè la distribuzione della pressione nella sezione traversale NON è IDROSTATICA.

Se consideriamo una sezione traversale di una tratta curva e mettiamo due piezometri, uno in A e l’altro in B, vediamo che questi non determinano due «quote di piezometria.

Questo mette in evidenza che non possiamo più mettere un unico piano dei carichi costanti in quanto ogni punto ha un piano dei carichi costanti diverso.

In A = p_c (1, g)

In B = p_c * (2, g) ≠ e^{in B.}

Sia che vi sono forme di energia potenziale dovute alla presenza di altri corpi. (Il corpo TERRA per il e le PARTICELLE CONTORNO per )

^v2/_2g rappresenta l'energia cinetica posseduta per il fatto di e animata dalle velocità e in quanto si muoveva. Basta ricordare che non dell'unità di peso velo / e quindi l'energia cinetica

z + P/ + ^v2/_2g = H = cost

Energia potenziale Energia cinetica ENERGIA MECCANICA

Quindi il Th di Bernoulli può ossia enunciarsi:

NEL MOTO PERMANENTE DI UN FLUIDO PERFETTO PESANTE INCOMPRIMIBILE L'ENERGIA MECCANICA SPECIFICA SI MANTIENE COSTANTE LUNGO OGNI TRAIETTORIA

Nel pela parete con sbocco nell'atmosfera

In questo caso abbiamo una linea

di getto che sbocca direttamente

nell'atmosfera.

Spesso tuttavia il Φ e il calcolo

della pressione è costante

in tutti i punti della sezione contratta.

Applichiamo Bernoulli per la traiettoria AD.

_PA

_PB

_Ve²

z_B + R₀/_ℓ

_VB²

z_A + P_A/_ℓ = z_B + V_B²/2g

Note:

N₀ = 1/2 ℓg [(z_A + P_A/_ℓ - z_B) - N_j (H - 2z_B)] = 1/2 ℓg hb

z_O è l'approfondiamento del punto B sotto il p.c.i. quindi la V non

è costante ma varia con legge parabolica.

Conseguenza di ciò è che la portata Q dovrà ricavarsi

con l'integrazione a ∫₀^AΦ dA

Se tuttavia la bocca è soggetta ad un h₀ molto elevato rispetto

alle sei elevata 2i può sostituire all'orbito di possibile convivente

della sezione contratta il segmento ad tangente per cui

la V_media rispetta quella della V nel baricentro della sezione

e quindi la partata rivelta ancora

Q = μ ANgh

TUBO DI PITOT

È un dispositivo che serve a misurare la velocità.

Per comprendere il funzionamento, consideriamo una corrente che investe un ostacolo a testa fendeggiante.

Lontano dall'ostacolo la corrente ha una traiettoria rettilinea e parallela ma avvicinandosi, o quanto par. potarle, le ≡gime divergono.

La traiettoria AB dopo averlo toccato in B, si suddivide in infinite traiettorie evitando ed argolo retto.

In B il modulo della velocità v₀ è zero e per questo viene detto.

PUNEO DI RISTAGNO

Il tubo di Pitot è un tubicino, sagomato così, con la sezione iniziale diretta contro corrente, esso permette di individuare il dislivello piezometrico tra il punto A ed il punto B attraverso due tipi di prese, quella dinamica (b) disposta all'estremità esteriore e quella statica disposta sul corpo del tubo.

Applicando Bernoulli tra A e B abbiamo

z₁ + ρ + ² + v₂² = z₂ + + v_2²

(v_{v0 = 0)}

₂² = (z + ) - (z + (z + )) = Δ