Idraulica - Appunto 7

Considerazioni su un recipiente cilindrico in rotazione

Consideriamo un recipiente cilindrico contenente un liquido. Supponiamo che il contenitore ruoti intorno al suo asse verticale. Fissiamo un sistema di riferimento cilindrico i cui versori sono: e_z, e_r, e_θ.

Si ricorda che ∇ = ∂/∂z e_z + ∂/∂r e_r + ∂/∂θ e_θ.

∇P = ρg ∇P = ∇(ρf_g) - f_g ➔ campo di forze conservative.

f_g = -g z + 1/2 ω² r² dove c₂ è l'accelerazione centrifuga.

Dunque si ha che: ∇f_g = -g e_z + ω² r e_r + 0 = ∇(ρ-ρf_g) = 0 ⇒ ρ - (ρ(-gz + 1/2 ω² r²)) = cost

⇒ Dividiamo tutto per ρ ed otteniamo z/g + 1/g ω² r² = cost

Equazione della superficie a pressione costante

ρ = k + ρ ( -gz + 1/2 ω² r² ) = cost

dove g z + 1/2 ω² r² è l'equazione di un paraboloide di rotazione.

Consideriamo un recipiente cilindrico contenente un liquido. Supponiamo che è contenibile quasi intorno al suo asse verticale.

Fissiamo un sistema di riferimento cilindrico, i cui versori sono k_z, k_r, k_θ.

Si ricorda che ∇ → d/dz k_z + d/dr k_r + d/dθ 1/r k_θ

∇p = -ρg_z f_Vb = V(ρv)

-∫ ∇*f*₃ f = -g_z + 1/2 ^{ω2 x ₂₃}

dove ᶜᶜ è l'accelerazione centrifuga.

Dunque si ha che...∇*f₃ = -g_z + ∫ + ω∫x₂ = o ⇒ ∇ (ᶜᶜ - ρg_z)= o ⇒ ρ = ρ - ( -g_z + 1/2 ^{ω2∫₂= const}

⇒ Si divide tutto per ᶜᶜ come τ = const

L'equazione della superficie a pressione costante ρ = k + p ( -g_z + 1/2)

dove g_z + 1/2 ^{ω2x₂ è equazione}

Se consideriamo il pelo libero ha che..._k+_ρ (^g – 1/2 ω²x²)=0

Se z_pe = a la quota del pelo libero quando il cilindro non si in rotazione, troveremo la costante k uguagliando il volume del paraboloide di rotazione formato dal liquido al volume del liquido quando il cilindro non ruota.

Se si aumenta la velocità angolare aumenta l'altezza h_g fino a scoprire il fondo del contenitore (notato che la massa del cilindro liquido non varia), il caso limite si ha quando la velocità angolare è talmente elevata che il liquido si dispone parallelamente alle pareti verticali del cilindro.

Urto di massa

_Dρ/_Dt + _ρ∇⋅_v = 0 ➡ Principio di conservazione della ➡ (Equazione indefinita di continuità)

∇T+_ρ^gf_g+ _ρ ^D(î^V)_/Dt = 0

In forma integrale è la che ∯_S ρ_Dv_t + ∯_S ρv ds = D⎰_V ρdv - ⎰_V ρ_t ds = 0

D⎰ dV = 0^V∯_S G + Π - P_L + Μ_L + Ι

Semplificazioni nei campi di moto

Esistono dei campi di moto in cui si possono introdurre delle semplificazioni piuttosto utili. Consideriamo le correnti, queste hanno dimensione lineare molto più grande della dimensione trasversale. L'asse di una corrente varia molto gradualmente così da non essere studiate variazioni di direzione. Sia S l'asse che individua l'ogse di una corrente e sia Ω l'area di una sezione normale a questa corrente (d'altronde S), tale che Ω = Ω(S, t) ossia riferisce Ω è una funzione (varia in funzione) dell'asse S e del tempo t.

A ciascun punto di Ω si associa un valore del vettore velocità e inoltre sia detto che peseti volumiam sono tutti uguali ai punti Ω₁ = Ω₂, Ω₃ = Ω₄.

Volume per unità di tempo

Si dice che la portata volumetrica del liquido è la velocità funzione dello spazio e del tempo, velocità media: U: U(S, t) = Ω = dove ν_s = ν(x,y,z,t) ∫ ν dΩ Ω.

La velocità media si trova in mod (Ω , mentre ha verso e direzione di S.

La velocità istantanea v è allineata (e //) il moto della corrente avviene lungo l'asse x (e = S), quindi non ci sono componenti lungo l'asse y e l'asse z. Inoltre si conserva il carico piezometrico.

Consideriamo ora il volume infinitesimo contenuto tra due sezioni normali della corrente Ω₁ e Ω₂, cioè dS, è altrettanto infinitesima del volume infinitesimo cilindrico considerato.

Si ipotizza che la densità ρ = ρ(S, t) abbia una variazione trascurabile lungo l'asse Ω per poter considerare costante la massa del volume contenuto fra le superfici Ω₁ e Ω₂, è saldo da ρ Ω dS = Disegno (M) e il volume fra le due superfici. Usiamo per il principio di conservazione della massa è tale: d/dt [ ρ Ω dS] = ρQ - ρ(Ω + Q) dS / dS

Quindi il principio di conservazione della massa si dice: ∂(ρ Ω) / ∂t + ∂(ρ Q) / ∂S = 0 → Equazione di continuità per una corrente.

Se x è l'area corrente che si muove di moto stazionario (e permanente) l'equazione di continuità diviene: ρ Q = cost

Se il fluido della corrente che si muove di moto stazionario e omogeneo incomprimibile, allora l'equazione di continuità diviene!

Vediamo che forma prende per una corrente, l'equazione, consideriamo ancora la solita corrente dS su = d_G^S = _p^S d₃ = ∫ d _d^{d (n,)} dS dS = Ampie dell'abrizione dono elle^n = z_n · BdS

Fase di superficie - Pressioni sulla faccia 2_m BdS - Tensioni tangenziali

Si considera tutta la superficie del volume H_p = ?

La quantità di moto attraverso ⊆ Ω è ^e ∫^_Ω ρ v² dΩ

U = 1 / Ω ∫ dΩ la velocità media = U + _e dodrev^# La media nulla trovi'll

∫_Ω^1/2 ω² dΩ - ∫_Ω u₂ ^u₁ ∫_Ω (ω²) dΩ + ∫_Ω^1/2 ∫_Ω (ω²) dΩ = 0.

Calcolo finale

M = ∫_Ω ρ(U² + 2Uω + (ω²)) d Ω = ρ U² Ω + o(∫_Ω ρ(ω²) dΩ dove ρ U₂ = ρQ

Use facciamo un'approssimazione e tralasciamo l'ultimo termine a secondo memoria di fonte: β = (ρQU + ∫_Ω ρ(ω²) dΩ) / ρQU = 1 + ∫_Ω ρ(ω²) dΩ / ρQU

Use il moto è turbolento la quantità ∫_Ω ρ(ω²) dΩ / ρQU è compresa tra 0,03 e 0,05

In conclusione M = ρ ρQU ≤ P_xs = -β ρQU dove β è lo stesso nelle due sezioni Ω₁ e Ω₂

P_U,Ω = -β(ρQU) - (∂(ρQU) / ∂S)(dS / DS)

Volume I = ∂/∂t (ρ ∫_S U dS(U))^dm dm dove ρ ∫_S U dS è la massa dm

Sostituendo tutto insieme: - ∂n / ∂S ∂(ρT - 2π) / Dδ = ∂mB = β[(∂(ρR) / ∂δ) + (ρ ∂U / ∂t ) + (∂(ρ) / ∂t )]+ ∫ ρ ∂U / ∂t