Idraulica - Appunto 5

Calcolo della risultante delle pressioni idrostatiche

Consideriamo una superficie di forma qualsiasi, non piana aperta (o superficie-caso), immersa in un liquido. La superficie considerata è ideale, quindi le tensioni che agiscono sulle due facce (interna ed esterna) sono uguali ed agiscono sempre perpendicolarmente alla superficie. In questo caso si ha un sistema di forze spaziali. Si vuole trovare la risultante delle pressioni idrostatiche.

H.B. Un sistema di forze spaziali non è riconducibile ad una sola risultante, ma dovremmo considerare anche un momento risultante. Per ora trascuriamo il momento risultante e consideriamo soltanto la risultante delle pressioni idrostatiche. Il sistema di forze spaziali si può scomporre lungo gli assi x, y, e z così da avere 3 forze f meglio. La risultante delle forze viene scomposta nelle sue tre componenti rispetto agli assi x, y, z.

Componenti delle forze

R_x, R_y, R_z

Consideriamo una superficie di forma qualsiasi, non piana, quindi (superficie curva) immersa in un liquido. La superficie considerata è ideale, quindi le tensioni che agiscono sulle due facce (interna ed esterna) sono uguali ed agiscono sempre perpendicolarmente alla superficie. In questo caso si ha un sistema di forze spaziali. Si vuole trovare la risultante delle pressioni idrostatiche.

N.B. Un sistema di forze spaziali non è riconducibile ad una sola risultante, ma dovremmo considerare anche un momento risultante. Per ora trascuriamo il momento risultante e consideriamo soltanto la risultante delle pressioni idrostatiche. Il sistematic forze spaziali si può scomporre lungo gli assi x, y e z così da avere 3 forze: meglio, la risultante delle forze viene scomposta nelle sue tre componenti rispetto agli assi x, y, z.

R_x, R_y, R_z

Calcolo di G_z

Bisogna fare un’osservazione: tutto il liquido è in quiete; si considera un volume di liquido quindi delimitato dalla superficie in esame e da una superficie che idealizzo io. Torniamo alla superficie di partenza. Consideriamo il cilindro che ha come rette generatrici quelle verticali (perpendicolari al pelo dell’acqua) e come superfici orizzontali la parte del pelo libero ed inserimento con la superficie aperta. Si è così definita una superficie chiusa in questo modo si ha una massa fluida per la quale si può scrivere una relazione di equilibrio per le forze verticali: la risultante delle forze di massa giù la risultante delle forze di superficie sull’asse è uguale a zero, ossia

G_z + П_z = 0

dove G_z = -⍴gV, V = volume della superficie chiusa che contiene (perimetro + superficie aperta). Per quanto riguarda le forze di superficie П_z risponda con R_z la superficie superiore Ω quella nel pelo libero e la superficie aperta S. La pressione esercitata in Ω è zero perché è la pressione atmosferica, mentre la pressione esercitata su S è la componente z di R₁, R₂ da noi ricercata quindi

П_z = R_z

In conclusione, poiché -ϱV + ϱ_z = 0 ⇒ ϱ_z = ϱV

M.B. Si ricordi che

_G = ∫_{V ϱ} g dVT = ∫_{S t} dS

Calcolo di ϱ_y

Si costruisce un cilindro analogo a quello fatto per calcolare ϱ_x: le rette generatrici sono parallele all'asse y; le superfici che lo delimitano sono Ω ed S. M.B. La superficie Ω giace su un piano π scelto arbitrariamente e perpendicolare al piano del pelo libero. Si riscrive la relazione di equilibrio G_y + T_y = 0, che in questo caso sarà:

G_y + T_y = 0

G_y = 0 poiché l'unica forza di massa considerata è il peso T_y = ϱ_y

Sulla superficie Ω agisce la forza orizzontale F, contraria ad ϱ_y quindi si ha che:

ϱ_y = F = ϱ_y ⇒ ϱ_y = F_G + q_y

ϱ_y = ϱ_ygT_yΩ = ϱ_y = ϱ_ygT_yΩ

Calcolo di Q_x

∑_x + G_x = 0

∑ = 0

G_x = 0

∑_x = Q_x

Q_x = F’ = r_cΩ

−ℑϱr_ch_cΩ-ℑ

→ Q_x = −ℑϱr_ch_cΩ-ℑ

Esempio 1

Condotto contenente un liquido in quiete, munito di due aperture circolari α e β, chiuse tramite due sfere 1 e 2. π ed τ sono gli assi di simmetria delle sfere e, rispetto ai quali, anche la distribuzione della pressione è simmetrica rispetto a questi due assi. Si determina la risultante delle pressioni esercitata sulla superficie immersa nel liquido. Si noti che maggiore è la quota del pelo libero, maggiore è la pressione esercitata dalla sfera.

Sfera 1

Componente verticali

G_z + Π_z = 0

G_z = -8V ⇒ -8V + Ω_z = 0 ⇒ Ω_z = 8V

V = volume cilindro + volume calotta sferica

Scriviamo ora l’equazione di equilibrio del fluido contenuto nella calotta sferica.

G_z + Π'_z = 0

G_z = -8_c ⇒ —8 - δV_z + Q_z2 = 0 => Q_z2 = -δV_z

1. In conclusione si ha che: Q_z = Q_z2 - Q_z2 = δ(V_z - V₁)

Leggiamo di chiudere con un piano orizzontale le aperture circolari del condotto

G_z + Π_z = 0

G_z = -δV¹, quindi -δV¹ + Q_z2 + ϱ/ϱ₂ Ω = 0

-δV¹ + η/η Ω + Q_z2 = 0 => => Q_z2 = δ(V_z - η Ω)

N.B. R_x = R_y = 0.

Esempio

La paratìa e rettile è costituita da pile mobili che si alzano e si abbassano. Vogliamo calcolare la risultante delle pressioni idrostatiche. Le paratoie servono a mantenere una certa quota del pelo libero, alzando il corso del fiume ed allargandolo. Si considera, per trovare la risultante delle pressioni idrostatiche, il volume colorato e si suppone che al suo interno vi sia il fluido. Dunque, data una quota del pelo libero, cui corrisponde una certa distribuzione di pressioni e data la superficie della paratoia, si vuole calcolare la risultante delle pressioni idrostatiche.