Idraulica - Appunto 6

Consideriamo un recipiente avente la forma disegnata,

contenente un liquido in quiete. Si vuole calcolare la

componente verticale delle pres-

sioni idrostatiche sulla faccia

inferiore.

Se la pressione al pelo libero

effettivo è Po, per calcolare la

componente è richiesto di supporre

di avere un pelo libero im-

maginario, corrispondente al punto in cui le pressioni sono

nulle. L'importante è che non vari la distribuzione

delle pressioni idrostatiche.

pelo libero immaginario dove Po =

pelo libero effettivo

Si considera il cilindro

sovrastante la superficie

S:

G + Π = 0 =>

=> G_z + Π_x = 0 =>

=> δV + Π = 0 => I_z = - R_z = δV => R_z = - xV -

Se avessimo calcolato R_z facendo riferimento al pelo ef-

fettivo, avremmo avuto

- δV_o + Π - ρ_oΩ = 0

in altre parole, ci sarebbe stato in più il seguente ter-

mine - ρ_o Is_o che è la pressione sulla superficie

Consideriamo un recipiente avente la forma disegnata contenente un liquido in quiete si vuole calcolare la componente verticale delle pressioni idrostaticha sulla faccia inferíore.

Se la pressione al pelo libero effettivo è po, per calcolare la componente richiesta si suppone di avere un pelo libero immaginario corrispondente al punto in cui le pressioni sono nulle. L'importante è che non vari la distribuzione delle pressioni idrostaticha.

pelo libero immaginario dove po = _{pelo libero effettivo}

Si considera il cilindro sovrastante la superficie S:

G + _S = 0 =>

=>

G2 + _+T1 = 0 =>

=>

T = -R2 = v = R = -xV Se avessimo calcolato R₂ facendo riferimento al pelo effettivo, avremmo avuto:

-- _+T - po = 0

In altre parole, ci sarebbe stato in più il seguente termine -po = _{che è la pressione sulla superficie}

Supponiamo di avere il pre-

cedente recipiente di palo alto di un

cilindro; il peso che devo mettere

nell'altro piatto della bilancia

deve essere uguale al peso del

misture pi

Effettivamente ma perch

ni laterali(!) —》 Demente

Calcoliamo quanto vale

la risultante di tali prossi

laterali.

Superfici Chiuse

Supponiamo di avere una

superficie ideale chiusa e di fic-

mare qualcosa immersa in un

liquido. Vogliamo trovare la

risultante della pressione a-

genti su questa.

Spinta di Archimede

Sulla superficie chiusa S agisce una spinta verticale e uscente che in modulo vale

o meglio: Al volume racchiuso da S la netta azione del campo anche Archimede posta per esempio del corpo.

Ogni corpo immerso in un liquido riceve una spinta verticale uscente pari al peso del corpo immerso.

Corpi Galleggianti

Corpo galleggiante = Corpo che trova una condizione di equilibrio in una posizione in cui è parzialmente emerso e parzialmente sommerso.

Consideriamo la parte immersa del corpo considerata la risultante delle forze di pressione agente su questa posizione di superficie. Si calcola con i metodi visti per le superfici immerse.

M.B.

Quella della parte emersa è nulla (= pressione atmosferica).

V_C = Volume di carena = Volume della parte immersa

G_C = Centro di carena = Baricentro del volume V_C

|P| = per la spinta di Archimede

Per fai si che il corpo galleggiante sia in equilibrio i punti G e C devono stare sulla stessa verticale: il baricentro del corpo galleggiante e quello del volume di carena devono stare sulla stessa verticale.

Oss.

Ricordiamo le seguenti definizioni:

1. Equilibrio stabile - Se con una piccola perturbazione il corpo tende a rimanere nella posizione di equilibrio iniziale.
2. Equilibrio instabile - Se con una piccola perturbazione il corpo si allontana indefinitamente dalla posizione di equilibrio iniziale.
3. Equilibrio indifferente - Rimane nelle condizioni perturbate.

Analizziamo il comportamento di un corpo galleggiante soggetto a degli spostamenti infinitesimi:

1. Traslazione orizzontale

Figura disegnata

Se si effettua una piccola traslazione orizzontale si arriva ad una nuova condizione di equilibrio:

a. Equilibrio stabile (indifferente)

2. Traslazione verticale in basso

Figura disegnata

Il volume di carena V_c aumenta, la spinta di Archimede aumenta. Se la traslazione verso il basso è piccola d_z, e d_w possono considerarsi invariati. Il corpo galleggiante oscilla di d_z col basso verso l'alto smorzando quindi sia nella.

una posizione leggermente di equilibrio, condizione di equilibrio

stabile.

b) Traslazione verticale in alto

Se (−) che

il volume di carena (V_C) diminuisce.

La spinta di Archimede diminuisce

Anch'io in questo caso il corpo oscilla, però dall'alto verso, e tende

a ritornare nella sua posizione iniziale, quindi anche in questo caso

→ c'è l'equilibrio stabile.

III) Piccole oscillazioni

a) Intorno ad un asse verticale

Se si ha una piccola oscillazione

del corpo galleggiante intorno ad un

asse verticale, si vede che l'equili-

brio non varia, quindi c'è l'equili-

brio indifferente.

b) Intorno ad un asse orizzontale

Vediamo quale asse orizzontale ci conviene scegliere, può essere se

esterno che interno al corpo galleggiante. Supponiamo di

avere il corpo disegnato in figura

1. Metac di emersione
2. Metac di immersione

L'asse di rotazione orizzontale

deve passare per il centro di

massa (G₁), del corpo galleggiante

C₁) il centro di carena dopo la

piccola oscillazione.

H è il punto d'incontro fra l'asse del corpo galleggiante e la

della soluzione dello sforzo di Archimede, possiede per C i dopo

la piccola rotazione.

Oss.

Poiché si considera un corpo rigido, la posizione relativa del cent-

ro resta sempre la stessa.

La coppia che fa ruotare il corpo galleggiante è data dalla ri-

tta di Archimede (passante per C) ed il peso (passante per G); tale

coppia può essere di due tipi:

STAB^&SZlig;E, se il loro sforzo

=, che si trova alla destra di G,

instab^&SZlig;e in caso in cui C è alla sinistra di G, ° per

Si possono avere tutti e tre i tipi di equilibrio possibile.

Il punto M è chiamato metacentro ed è l'intersezione della

retta verticale per C, con la nuova verruica per C.

Se M forma al di sotto di G, quindi C alla sinistra di G, arem-

mo una coppia instab^&SZlig;e; in questo caso M è alla sopra

di G, c è alla sinistra di G, quindi z è fra una coppia stable?

Col contrario. Si noti che se M è = G si ha equilibrio.

Suggeriamo di conoscere le posizioni di G e di C, quindi cono-

sciamo anche il segmento sc a volte, che:

1. se MC > GC ⇒ si ha equilibrio stabile
2. se MC < GC ⇒ si ha equilibrio instabile
3. se MC = GC ⇒ si ha equilibrio indifferente

d &d=rMattere infinityamente

<> MC dx d&;

 > MC ≡ CC₁

d₁= =

Poicilc è piccolo L'ongolo

può essere approximato col sem-

sems: d₁ = sin d¹ = tg d₁

Vogliamo dimostrare che il volume del menisco di emersio

ne è uguale al volume del menisco di immersio

Supponiamo di avere un corpo omogeneo di volume V. Di tale

corpo consideriamo due parti g₁ e

g₂. Il baricentro di tale corpo è G₁,

se per es à posta la massa g₂ ve

so g₂ il baricentro di tutto il corpo

à posta in G₂ si vede che:

G₁G₂ = g₁ g₂ V, dove v è il volumetto

Siano

g_f = Baricentro del menisco di emersione

g_a = Baricentro del menisco di immersione

cc = _{ga gf v}/^y_c

A = Baricentro delle superfici

che costituise il priemo

di galleggiamento

Le indica la distanza dei punti del piano di galleggiamento

dall'asse di rotazione

m_e: Distanza dei punti emersi dell'asse di rotazione

m_i: Distanza dei punti immersi dell'asse di rotazione

dV = Volume infinitesimo compreso fra il piano di gallegg.

manualdo stato iniziale ed il piano di galleggiamento n_u

dV = dS z_c dξ dove dS z_c c. superficie di base del cilindretto

N.B.

• η = m_e
• η = m_i

Per come ξ è fissato il verso,

La superficie totale del piano di galleggiamento può essere

scritta come S = S_e + S_i, ossia come la

ie emerse e di quelle immerse.

Volume del menisco di immersione:

v_e = ∫ (m_e dd_l) dS = ∫ m_e dS

Volume del menisco di immersione:

v_i = ∫ (m_i dd_l) dS = dd_l ∫ m_i dS

Dunque si ha che

1. v_e = dd ∫_Se m_e dS
2. v_i = dd ∫_Si m_i dS

⇒ v_z v_x = d_z ∫_S η dS , ma

∫_S η dS = Momento statico

⇒

∫_S η dS = η_G S

η_G = Distanza dall'asse di rotazione del baricentro del pianodi galleggiamento, che all'inizio ho chiamato A i punti.

η_G = 0 ⇒

⇒ η_G S = 0 ⇒ ⊥ nulla, il momento statico ⇒

⇒ v_z - v_x = 0 ⇒ v²_z = v²_x che è quanto volevamo dimostrare

Calcoliamo la distanza fra g₁-g₂

g₁g₂ = Distanza fra il baricentro del menisco di immersionee quello del menisco di immersione.

η_g1 = ? ⇒ η_g1 = v_z g₁ = 0 = ∫ dS η_zi² d_z per il teorema di Huggens

η_g2 = ? ⇒ η_g2 = v_z g₂ = 0 = ∫ dS η_zi² d_z sempre per il teore

ma di Huygens

Ricordiamo che v_z = v_x = v allora

v (g_1z + g_2z) = ∫ d_z η² dS ⇒

         _{g1 g2}