Idraulica - Appunto 4

Equazione dell'idrostatica

Applicheremo l'equazione dell'idrostatica a fluidi omogenei ed incomprimibili; poiché possiamo considerare ρ (densità) costante. Considereremo il fluido in questione sottoposto alle sole forze di massa quindi lo considereremo in un campo di forze conservativo. Il fluido è in quiete ⇔ ∇p = ρg dove ρ = cost ed il campo di forze considerato è conservativo. Quindi si ha che: ∇ln = ρ ∇(g_z) ⇒ ∇(ln + g_z) = 0 ⇒ L'integrale generale diviene: ln + g_z = cost posto ρg_z = Φ (- peso specifico) si ha che: ∫₁² + z = cost ⇒ Carico piezometrico

Oss. La pressione all'interno di un liquido è costante su ogni piano orizzontale, mentre varia con l'altezza z. La quantità z + ∫₁² è chiamata carico piezometrico ed è: ∫₁² + z = cost.

Applicheremo l'equazione dell'idrostatica a fluidi omogenei ed incomprimibili. Tale equazione deriva dal principio di conservazione dell'energia e considera ρ (densità) costante. Considereremo il fluido in questione soggetto alle sole forze di massa quindi lo considereremo in un campo di forze conservativo. ∇×f=0 i+j×(-gk) f_j=∇(-gz) Il fluido è in quiete ⇔ ∇p=ρf dove ρ=cost ed il campo di forze considerato è conservativo. Quindi si ha che ∇p=ρ∇(gz) ⇒ ∇(p-ρgz)=0 ⇒ ⋯ L'integrale generale diviene: p+ρgz=COST posto (ρg=δ) (peso specifico) si ha che +\frac{p}-{δ} + 2z = cost ⟹ Carico idrostatico

Oss. La pressione all’interno di un liquido è costante lungo il piano orizzontale, mentre varia con l’altezza z. La quantità 2z+\frac{p}-{δ} è chiamata carico piezometrico e si ha che 2z /\frac{p}{δ} = cost.

Pressione dei punti all'interno di un liquido

• Consideriamo un liquido in quiete all'interno di un recipiente e consideriamo i punti A e B, il primo all'interno del liquido (sia ad una certa profondità) il secondo sul pelo libero del liquido.
• H.B. Si chiama pelo libero di un liquido la superficie di quest'ultimo a contatto con l'aria (precisamente con l'atmosfera).
• 2_A = 2_B + rho * (2_B - 2_A) ma rho = la pressione atmosferica quindi si trascura 2_B = 2_A, con 2_B =(2_B - 2_A) rho₁ = delta(2₃ - 2₂) 2₃ e 2₂ sono le quote, rispettivamente di B ed A, se sommiamo delta = 2₃ - 2₂, l'affondamento di A è la che rho_A * x_B.

Supponiamo di avere due liquidi non miscibili, il sistema è da CC con delta₁ < delta₂. Consideriamo i punti A, B e C come in figura. Prendiamo prima A e C. p̅₁ + ρg₁^z₁ = p_c + ρg₂^z₂ ai moti che C può appartenere sia al fluido 1 che al fluido 2. Dipende quindi si fa coincidere... in questo caso si deve considerare come parte del fluido 2. Ricordando che ∇p = ρg, sull'interfaccia fra i sel | 1 con avendo posto d₁ = z₂ - z₁. Oss. 2⊕ p₁ è trascurato (= 0), perché è la pressione atmosferica ⊖ in questo caso è considerato come parte del liquido 1. Dalla prima equazione si avrà che p₁ = ρ·g₁(z₂ - z₁) + g₁(z₁ - z₂). Oss. Siccome dei dispositivi del tutto analoghi si considerano già di due equilibr... non miscibili.

Metodo per la misura del carico piezometrico

Consideriamo l'autoclave disegnata: p = Pressione atmosferica z_pe = Quota del pelo libero A = generico punto all'interno del liquido. Fissato l'asse z si misura la quota del pelo libero z₁ e la si sottrae dall'oggetto totale del liquido nel tubo così da ottenere p/δ. Questo metodo non si può usare per misurare pressioni troppo alte poiché risulterebbe una z troppo grande.

Un altro metodo usato per calcolare il carico piezometrico è quello della canna piezometrica. I punti A, B e C sono a quote diverse. Consideriamo A e B: z_A + ^p_A/_δH2O - 2z_a = ^p_B/_δHg → p_B = δ_Hg(2z_a - z_b) si osservi che p_A è la pressione atmosferica quindi è trascurabile. Ora consideriamo il generico punto P ed il punto θ, si ha che: z_P + ^p_P/_δH2O = 2zθ - z_P → p_P = β - γ_Hg(2z_θ - z₂).

Interazione fra liquidi in quiete e corpi rigidi

1. Superfici verticali nel liquido Supponiamo di avere un liquido in quiete all'interno di un recipiente e supponiamo di voler praticare un'apertura verticale in tale recipiente, veduta di forma generica e superficie A. Dobbiamo calcolare la risultante delle forze R agente su questa superficie ed il punto in cui questa forza è applicata, chiamato centro di spinta. All'equilibrio la risultante delle pressioni idrostatiche deve essere nulla: R_x=0. La direzione della risultante R_n è normale alla superficie della finestra con verso entrante. Dunque è che: R_n=∫_A dF

dF = forza elementare esercitata su ogni unità di superficie per cui ∫_A dF = ∫_A p₀ dA Sapendo che la pressione di un generico punto α è m, dove η è l'affondamento di tale punto, si ha che R_α = ∫_A δη_α dA = δ ∫_A η dA, ma ∫_A η dA = A . η_g è il momento statico dato dal prodotto dell'area della superficie considerata per la distanza del baricentro da un asse fisso tη_w - affondamento del baricentro) Quindi si ha che R_g = ∫_A η dA = η_w∫_A dA = ma δ η_g = ∫ => R_g = η_g Q.

N.B. All'inizio ≥ è indicato il modulo di B con n'' dose, in q= lo indicevemo com RSe Re è raggio grande per la struttura si può mettere un appoggio nel punto in cui passa la retta d'azione della rinormale tale punto è detto moltiplicatore non è C feriemente, ma si è più in basso troviamo tale punto che chiameremo C. Consideriamo i momenti rispetto all'asse xm_c Q = ∫_Q m dτ = ∫_A m_c ρ dA = = ∫_A m (x m_c) dA, poiché ρ = m ⇒ m_c Q = ∫_A m² dA ⇒ m_c ∫_A m dA = ∫_A m² dA ⇒ m_c = ^{∫_A m2 dA} / _{∫A m dA} Si noti che ∫_A m² dA è il momento d'inerzia Anche come segue ∫_A m² dA = ∫_A (m - m_G)² dA + m_G² A ← Inoltre ∫_A m dA è il momento statico e a ciò che ∫_A m dA = m_G A In conclusione si ha che ⇒ m_c = m_G + ^{∫_A (m - m_G)2 dA} / _{mG A} ← Oss. m_c è sempre maggiore di m_G.

Troviamo ora X_c. Si pone il momento della risultante uguale alla risultante dei momenti, quindi X_cR = ∫_A x dF = ∫_A x dA = ∫_A x_m dA = x_m ∫_A dA ← dove ∫_A x_m dA = Momento centrifugo rispetto ad x ed n.

2. Superficie piana con giacitura arbitraria Consideriamo una superficie piana con giacitura arbitraria immersa in un liquido, sia α l'angolo che forma col piano del pelo libero. Ovviamente le forze agenti su questa superficie sono normali a queste e quindi la superficie è in equità: Essi tali forze sono uguali in modulo e direzione, ma hanno versi opposti (per ogni punto della superficie), quindi per trovare la risultante R di tali forze si deve considerare una sola faccia della superficie. Quindi calcoliamo la risultante delle pressioni idrostatiche sulla faccia superiore tutte le forze sono espresse dichiar ad A. Fissiamo l'asse coincidente con la traccia del piano che contiene A. Si ha che Q_z = ∫_A dF = ∫_A η dA = ∫_A (σ s_n) dA, mad = m_z s_n ⇒ Q_z (σ s_n d) η dA = (σ s_n d) ∫_A η dA dove ∫_A η dA = S = momento statico quindi Q_z = (δ s_n m_z) (η_c A) = V_η η_c A, essendo η_c s_n = d_a Quindi Q_z = ρ_z A Troviamo anche la posizione del centro di giunta. Si usa lo stesso procedimento del punto i). momento risultante uguale alla risultante dei momenti η_c = ?d_c = ? η_c Q = ∫_A η dF = ∫_A η dA = ∫_A η dA = ∫_A η d.s dA == ∫_A η η s_n dA = s s_n ∫_A η η² dA, dove ∫_A η² dA = I = Momento d'inerzia. In conclusione è che m_c = I^∩_⊗ calcolati rispetto all'asse x.