Idraulica - Appunto 3

Sistema di assi cartesiani ortogonali

Consideriamo un sistema di assi cartesiani ortogonali x, y, z di versori i, j, k rispettivamente. Sia V il volume delimitato dalla superficie S. La quantità di moto di tale corpo è data da:

_V ∫_V ρ v̅ dV = Q

Equazioni cardinali della dinamica

Per le equazioni cardinali della dinamica sappiamo che:

dQ/dt = ∫_V ρ f̅ dV

che è la risultante delle forze che si esercitano sul continuo in esame ossia

d/dt ∫_V ρ v̅ dV = ∫_V ρ f̅ dV

dove

f̅ = f̅_c + f̅_g + (δ f̅)

è una forza di massa.

Forze di superficie

Per quanto riguarda le forze di superficie consideriamo la superficie S cui si applica il principio di Cauchy. Le forze di superficie si indicano con:

T_σ ( x_m )

per sottolineare che sono funzioni del punto di applicazione individuato da x e dalla gi.

NB. n è il versore normale alla superficie S nel punto segnato da x.

Principio di Cauchy

Consideriamo un sistema di assi cartesiani ortogonali x, y, z, di versi i, j, k rispettivamente. Sia V il volume delimitato dalla superficie S: la quantità di moto di tale corpo è data da:

_{∫V ρ v̄ dV = Q}

Per le equazioni cardinali della dinamica sappiamo che:

_{Q̇ = D/Dt ∫V ρ v̄ dV}

cha è la risultante delle forze che si esercitano sul continuo in esame ossia

_{D/Dt ∫V ρ v̄ dV = ∫V ρ f̄ dV}

Forze di massa

dove _{f̄ = oi + oj + (ok) x} è una forza di massa.

Per quanto riguarda le forze di superficie consideriamo la superficie S cui si applica il principio di Cauchy: le forze di superficie si indicano con _{Σ(π n)} per sottolineare che sono funzione del punto di applicazione individuato da x e dalla gi.

Teorema del trasporto

N.B. n è il versore normale alla superficie S nel punto rappresentato da x.

N.B. Non è detto che le forze di superficie siano tutte ortogonali alle superfici.

Dunque si ha che- per il teorema del trasporto dove è la variazione della quantità di moto all'istante t, per unità di tempo.

Porzioni della superficie

Ipotizziamo che dove Su, Se ed So sono porzioni della superficie S per cui valgono le relazioni seguenti:

• Su: t · n > 0.
• Se: t · n < 0.
• So: t · n = 0.

quindi si ha che dove (momento uscente) (momento entrante)

Reazioni chimiche e formazione dei prodotti

Oxidation of QOOH

QOOH + O₂ → ⁡OOQOH → when T↑, eq shifted toward reagents

Shifting of H

Shifting of H in ⁡OOQOH + degenerate branching ⁡OOQOH → HOOQOH → RCO + RCHO

1. ⁡OOQOH = C-C-C-C-C=O
2. ⁡OOQOH = C-C-C-C-C-OH
3. HCOQOOH = C-C-C-C-C

Instabilità dei legami

Instable bond → branched molecules

What happens is that if branched a molecule, T increases (fast reaction), the equilibrium of Q and O shift toward reagent, T decreases (slower reaction)

Oscillatory behaviour, proper of the cool flame

Iso-octane

N.B. If we use iso-octane to have this type of mechanism at lower T, it has a great resistance to oxidize → it is used as anti-knock specie

This is due to the fact that the low T mechanism is affected by the chemical structure of hydrocarbons

Formazione degli inquinanti

Pollutant formation: CO, CO₂, VOC and aromatics

Primary pollutants: generated directly by emissions

Secondary pollutants: generated by reactions of primary pollutants in the atmosphere

Inquinanti primari

Primary pollutants: CH₄, CO, CO₂, SOx, NOx (PM, VOC, Dioxins, Metals, HAPS)

NMHC SOC (Non-methane hydrocarbons, semi-volatile organic carbon)

Volatile organic carbon Hazardous atmospheric pollutants

Calcolo delle forze di superficie

m è la normale uscente dedS(ABC)dS_x → m_x (i - i) (BC) ossia dS_x è la superficie infinitesima che ha per normale m_x, di versori i e i. Analogamente si ha che:

dS_y → m_y (j - j) (AC)

dS_z → m_z (k - k) (AOB)

Principio fondamentale della meccanica

Le forze di superficie si calcolano facendo riferimento al punto O ed alla normale m = 1/2 (O,m). Per il principio fondamentale della meccanica si ha che:

∑( m )dS + ∑( m_x) dS_x + ∑( m_y) dS_y + ∑( m_z) dS_z = 0

Relazioni delle superfici

madS_x = dS | m_x |

dS_y = dS | m_y |

dS_z = dS | m_z |

quindi sostituendo ∑( m ) = - ∑( m_x) |m_x| - ∑( m_y) |m_y| - ∑( m_z) | m_z < OS Sapendo che ∑( m )=1/2 (m) continuiamo 1 e x₂, j = j - k₂. e- x₁ ed m_x = m_y = m_z ∑( m_x )dS + | m_x | - | ∑(()),m ,- x_j | = ∑( l,i ) m_x - i ^l...

Coordinate polari

Si ricordi che per trovare _{z c} si devono considerare le 'normali' uscenti da _{dS X}, _{dS y}, _{dS z}, e queste corrispondono a _i, _j, _k. Quindi da qui si ha che:

_{z c} (_m) = _{z c} (_i) m _x + _{z c} (_j) m _y + _{z c} (_k) m _z

Calcolo del momento

Dipende da quali degli 8 quadranti si considera. Nell'esempio fatto siamo nel quadrante n. 6. Dunque si ha che:

_{z c} (_m) = _{z c} (_i) m _x + _{z c} (_j) m _y + _{z c} (_k) m _z

m _x = m · _i

m _y = m · _j

m _z = m · _k

Espressioni polari

Le tre corrispondenti espressioni polari sono:

_{z c} (_m) = _{z c} (_i) m _x + _{z c} (_j) m _y + _{z c} (_k) m _z

_{z x} (_m) = _{z c} (_i) m _x + _{z y} (_j) m _y + _{z z} (_k) m _z

_{z z} (_m) = _{z y} (_i) m _x + _{z c} (_j) m _y + _{z c} (_k) m _z

Inverso degli elementi

Se l'inverso degli elementi è dato da:

_I^-1 =

1. (_{z x} (_i)  _{z x} (_j)  _{z x} (_k))
2. (_{z y} (_i)  _{z y} (_j)  _{z y} (_k))
3. (_{z z} (_i)  _{z z} (_j)  _{z z} (_k))

Sforzi su superfici

dove t_x(j) dei estremi è la componente lungo l'asse x dello sforzo che si esercita su un elemento di superficie che ha per normale uscente j. Sulla diagonale principale di t_ij sono gli sforzi n. mentre gli altri elementi rappresentano gli sforzi tangenziali. In conclusione si ha che:

Σ_jt_i(j) = τ_i = i m

Σ_jt_i(j) = sforzo forza di superficie per unità di superficie.

Proprietà del tensore degli sforzi

PROPRIETÀ DEL TENSORE DEGLI SFORZI: È SIMMETRICO

Il momento della quantità di moto è costante quindi

∫_v((π-π_p)∧(ρv))dV = cost⇒ ^D⁄_Dt ∫_v((π-π_p)∧(ρv))dV = 0 ⇒=>∫_v((π-π_p)∧(ρ&g_d))dV +∫_s((π-π_p)∧t_j)zdS = 0

Teorema del trasporto

Per il teorema del trasporto si ha che ∫_v ^ρ⁄_Dt {((π-π_p) ∧ π-}dVO è centrato nel centro di massa del parallelepipedo e xi sono i momenti belO come polo tutti gli sforzi normali sono nulli. Tutte le facce hanno sforzi tangenziali.

π ∧ Σ dSπ ∧ Σ =-iπyxyzy-jπxcyzy-kzxzycz= i (πy cz - πz cy) - j (πx cz - πz cx) +k (πx cy - πy cx) = 0

Simmetria del tensore degli sforzi

Per dimostrare che il tensore degli sforzi è simmetrico, si usa il fatto che il momento delle facce di superficie è nullo. (Sistema Inerziale) Per le facce che hanno normale uscente ê e -ê ho che= _dy cz cz - idx dz ² cz cs = i(0) - k _dy cz cz - iarea braccio braccio area-k ^dy cz cz+ k _dy cz cz - j(0) e quindi i (dx dy dz cz cz cj) - k (dx dy dz cz cx cj) <