Idraulica - Appunto 13

Vediamo come integrare le equazioni di Eulero in vari casi, per

ricolalri a determinare prima il campo di moto e c. il q:

riduce ad un problema lineare.

Ricordiamo le equazioni di Eulero:

_V [p^p = D^t]

—> Equazione del moto

_V·^V = 0

—> Equazione di continuitá

Inoltre richiamiamo che il trinomio di Bernoulli.

7 + 1/2 V² = cost lungo la traiettoria di una particella se

8x, 2q

il moto è permanentede;

e che se il moto è irrotazionale ossia w=0, ossia rot = 0;

i▽ ^j il trinomio di Bernoulli è comunque costante nel

k’intero campo del moto.

Pensiamo alle iprovo di tutti L’ipotesi: che il moto sia irrota

zionale (w=0: condizione nécessaire) e che il fluido sia gas e

fetto. In tal di ipotesi, esiste una funzione scalare, il poten

ziale di velocità, tale che Ф: (t,x,y,z,t).

_V = ▽Ф

= ∂Ф/∂x i + ∂Ф/∂y j + ∂Ф/∂z

k verificiamo che se esiste il potenziale della velocità

Ф(x,y,z,t) allora il moto è irrotazionale ossia:

rot ^V = w = 0

Sappendo che rot ^V = w = ▽∧^v =

i j k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

u_x u_y u_z

= >

ω = [\frac{\partial v_{z}}{\partial y} - \frac{\partial v_{y}}{\partial z} \quad \frac{\partial v_{x}}{\partial z} - \frac{\partial v_{z}}{\partial x} \quad \frac{\partial v_{y}}{\partial x} - \frac{\partial v_{x}}{\partial y}]^{_\vec{k}}

si vede che poiché \(\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\) \(\Rightarrow \vec{v} = \vec{\nabla} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k}\)

\{\frac{\partial v_{y}}{\partial z} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y \partial z} \frac{\partial v_{z}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z \partial y} \frac{\partial v_{z}}{\partial x} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z \partial x} \frac{\partial v_{x}}{\partial z} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x \partial z} \} quindi (in commutare)

\frac{\partial v_{x}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x \partial y} \frac{\partial v_{y}}{\partial x} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y \partial x}

Quindi tutte le componenti di rot v sono nulla  \Rightarrow \vec{\nabla} \times \vec{v} = \omega = 0  \Rightarrow Il \quad moto \quad è \quad irrotazionale

Vediamo inoltre che il potenziale di velocità soddisfa l'equazione di Laplace

\nabla^{2} \phi = 0

\(\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \phi = 0\Rightarrow  \vec{\nabla} \cdot\vec{v} = 0 \quad per \quad l'\equazione \quad di\quad continuità

\Rightarrow \nabla^{2}\phi = 0

\frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} = 0  \Rightarrow

&Rightarrow \frac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}x} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}y} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}z} \Rightarrow \nabla^{2}\phi = 0

La precedente è un'equazione lineare e ha due vantaggi:

• Maggiore semplicità per risolvere il problema
• Si determina il campo di moto in maniera indipendente dala pressione

Inoltre poiché il teorema di Bernoulli è costante, Pe

è irrotazionale, conseguentemente è soddisfatta l'equazione di Laplace.

\[

\left(\frac{\partial v_y}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial y}, \frac{\partial v_z}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial z}, \frac{\partial v_x}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial x}\right) = (0, 0, 0) \]

\Rightarrow \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = 0

\frac{\partial v_z}{\partial y} = 0, poiché v_z non dipende da y

\frac{\partial v_x}{\partial z} = 0, poiché v non ha componenti lungo l'asse y, dunque

\left(\frac{\partial v_x}{\partial y}, \frac{\partial v_y}{\partial z}\right) z = 0

\frac{\partial v_x}{\partial x} = 0, poiché v non ha componenti lungo l'asse y

\frac{\partial v_x}{\partial y} = 0, poiché v non dipende da y

quindi \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} \frac{\partial v_x}{\partial y}\right) x = 0

In conclusione w = 0, quindi il moto è irrotazionale.

Infine si trova che:

\[\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = 0\]

Ψ ha sempre lo stesso valore lungo una linea di corrente, quindi per una linea di corrente vale:

\frac{dx}{v_x} = \frac{dz}{v_z} \Rightarrow v_z \, dx - v_x \, dz = 0

e quindi

\frac{\partial \psi}{\partial x} \, dw + \frac{\partial \psi}{\partial w} \, dw = 0,

poiché ψ è costante lungo una linea di corrente.