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Equazioni del colpo d'ariete
∂H∙ + 1/a2 ∂Q/∂t = 0
∂Q/∂S + ρ/a2 ∂H/∂t = 0
1/a2∙ρ/ES/€
Ricordiamo le ipotesi sotto cui si sono derivate le precedenti equazioni sono ipotesi che comportano la trascurabilità degli effetti dissipativi ed in particolare date una grandezza G = G(s,t); ciò vuol dire che la velocità media del fluido per la derivata della grandezza G rispetto alla spazio è molto minore della derivata della grandezza G fatta rispetto al tempo:
G = G(S,t)
- ∂G/∂S ≪ ∂G/∂t
Questa è l'ipotesi fondamentale cui si aggiunge un'ulteriore ipotesi minore per quanto riguarda la possibilità di esprimere il secondo termine dell'equazione di continuità.
A questo punto ci siamo due equazioni di derivate parziali del primo ordine le cui due variabili dipendenti sono la velocità media U ed il carico geometrico H, mentre le variabili indipendenti sono lo spazio S ed il tempo t. Tale sistema di equazioni consente di ricavare un integrale generale. Per trovare tale integrale generale si considerano le equazioni del colpo d'ariete e si deriva la prima rispetto allo spazio S e la seconda...
La rispetto al tempo t:
(1) ∂2V/∂s2 + 1/g * ∂2U/∂t∂s = 0 (2) ∂2U/∂s2 - g/a2 * ∂2V/∂t2 = 0
manualmente si suppone che siano soddisfatte le condizioni poste da Schwarz per poter scambiare l’ordine di derivazione, per cui:
∂2U/∂s∂t = -g * ∂2V/∂s2 → si sostituisce
-g * ∂2V/∂s2 + g/a2 * ∂2V/∂t2 = 0 → ∂2U/∂s2 - 1/a2 * ∂2U/∂t2 = 0
∂2U/∂t2 - a2 * ∂2U/∂s2 = 0
La precedente è un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine però nell’unica variabile di stato h, il carico già zonemico.
Equazione di d’Alembert o della corda vibrante:
∂2U/∂t2 = a2 * ∂2U/∂s2
La precedente equazione rappresenta un certo tipo di fenomeno (le onde è quello che si verifica all’interno di una condotta interessante da moto vario elastico).
l’Eq. di d’Alembert ammette un integrale generale semplice (si generalizza) precisamente è ciò dire che l’integrale generale dell’eq di d’Alembert è la funzione:
R(s,t) = f(t - s/a) + φ( t + s/a ) + cost.
mi contorno per determinare tutto quanto c'è di indeterm.
generalmente, più precisamente le
costanti di integrazione e le forme delle funzioni.
Prima di andare ad esaminare le condizioni di contorno che
si possono imporre in un caso concreto, vediamo meglio il
significato delle funzioni
f=f(t,S1
a) e φ=φ(t,S1
a).
Se,
f=f(t,S1
a)
la funzione assume lo stesso valore quando
il suo argomento assume lo stesso valore, però l'argomento
assume lo stesso valore in posizioni e istanti diversi, per esempio
se si considera la posizione S1 e l'istante t2 in cui ha un certo
valore della funzione
f(t2,S1
a),
poi la funzione assume lo stesso valore nella posizione S1
all'istante t2.
quindi:
{f(t1,S1
a) = f(t2,S1
a)
⇔
t1,S1
a = t2,S1
a
se e solo se vale la seguente relazione
t1,S1
a = t2,S1
a ⇒
⇒ il valore della funzione è lo stesso in posizioni diverse
nel nostro caso della sede in istanti diversi, nelle posizioni
e istanti in cui la funzione assume lo stesso valore intercorr
un legame dato dalla relazione
t2 - t1 =
aS1SS
t2
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