Idraulica - Appunto 16

Ricordiamo la equazioni di Navier-Stokes:

ρ⎕⎮v =⎕p + ²⎮v

⎕⎮v = 0

2) Moto di Poiseuille

Si studia il moto di un fluido, che si muove di moto minore, all'interno di una condotta.

Consideriamo un sistema di coordinate cilindriche, le componenti della velocità v sono date da:

vₓ = vₓ (x, r, ⍬, t)

vᵣ = vᵣ (x, r, ⍬, t)

v = v (x, r, ⍬, t)

Ipotesi:

• Il moto è permanente quindi non dipende dal tempo.
• Il moto è laminare per filetti rettilinei, quindi si ha che:
• vᵣ = 0
• v = 0

Oss.

Il moto non dipende da e poiché si svolge simmetrica mente rispetto ad x. ∴ vₓ non dipende da e Dall'equazione di continuità si vede che:

d/dx

1/r d/dr (rvᵣ) + 1/r d/d⍬ v + r d/dt ( )= 0

Poiché vᵣ = v = 0, gli ultimi due termini della precedente sono nulli e quindi si ha che:

Ricordiamo le equazioni di Navier-Stokes

{

₁

2) Moto di Poiseuille

Si studia il moto di un fluido, che si muove di moto minore, all'interno di una condotta.

Consideriamo un sistema di coordinate cilindriche; le componenti della velocità sono date da:

• v_z = v_z (x, r, φ, t)
• v_r = v_r (x, r, φ, t)
• v_φ = v_φ (x, r, φ, t)

Ipotesi:

1. Il moto è permanente, quindi non dipende dal tempo.
2. Il moto è laminare per filetti rettilinei, quindi è che:
   • v_r = 0
   • v_φ = 0

Oss. Il moto non dipende da e poiché si svolge simmetrica, quindi

Dall'equazione di continuità a vedi che:

par(v)

poichìe v_r = v_φ = 0, gli ultimi due termini delle precedenti sono nulli e quindi è che:

per cui la velocità non dipende da x. In conlcusione se v non dipende ne da t e ne da x; in r la v_x = v_x(r,t).

L'altra variabile di stato è la pressione:

p = p(x,r,u)

Condizioni di contorno

se il raggio della condotta è r=R, allora : p e la

• v_x=0
• v_r(R)=0

per il principio dell'aderenza ossia in corrispondenza delle pareti il fluido ha velocità nulla (v_r(R)=0).

Sappiamo che β = V(-g/z) (campo di fase conservativo)

μ ∇²v_z=0 ?

quindi dell'equazione di conservazione delle masse (prima equazione di Navier Stokes) si ha che:

-(∇p + ρ β = 0

per cui se i filoni del fluido sono rettilinei e paralleli, la distribuzione della pressione è di tipo idrostatico.

Dunque si ha che:

∇²v =0

0=- – gρg/z dx + μ ( 1 ) + ( 1 ¹ )

=>

=>

(g/z - g), ^ds

Condizioni al contorno

v_z = 0

v_r(R) = 0

Equazione di continuità

∇ . v = 0

∂v_z / ∂z + ¹/_r ∂ / ∂r (r v_r) + ¹/_r ∂v_θ / ∂θ = 0 → ∂v_z / ∂z = 0

Equazione di Navier-Stokes

ρ _∂h/∂x = μ/ℓ _∂/∂x (u_ϰ²)

Andlizziano il termine _∂h/_∂x

Lvediamo che le velocità si rigle ad intervalli greci, quindl di l'energia cinetica dello corrente non varia lungo il percorso, quindi le velocità media è costante: U=cost.

= U²/2g = cost

Quindi se consideriamo il carico totale della corrente H=h+ U²/2g si vede che il termine U²/2g è costante.

Parehe il gluido è viscosi il carico totale H decosce nel senso del moto, per un modo uniforme H diminuisce nel senso del moto.

= ∂H/_∂x = Perdita di energia per unità di lunghezza e di peso è costante.

_∂R/_∂x = cost

Il carico piezometrico dovre coordinamento come se carico tale perché l'energia cinetica è costante la linea che fa vedere l'andamento del carico piezometrico è quello elle giuida in massi (...)

Se poniamo AB = L allora l'energia dissipante per unità di lunghezza e di peso è dato da: ΔH / L

Sia i = ΔH / L La pendense marule i torniamo all'espres.ziones

dH / dx = si vede che

- i = μ / δ d / r dr (r dv_x / dr) cerchiamo di iniezione

- i = - μ / δ d / x dr (r dv_x / dr) prima di tutto y sono molificiateentramli i membri per a noi integramo demeno

- i π 2 / 2 = - μ dv_x / dr + A =

= → √ / d dv_x / dr = i π 2 - A / r

x → so → v_x si trova nell'abe della condotto mentreper x = R v_x(R) = 0 quindi la velocità è massima sel'abe =

dev. nulle d v_x / d t = 0 → Corriere porti A = 0.

vel. nulla

Integramo ancora una volta

μ / δ v_x = - i π 2 / 4 + B =

Quindi v_x(R_x) = - δz / 4μ (R² - r²)

Calcoliamo la portata:

Q = ∫_Ω τ_ρ dΩ

dove n è la generica sezione della condotta

Q = ∫₀ ^R v_x 2πr dr =

= 2π δz / 4μ ∫₀ ^R τ_c (R² - r²) dr =

= 2π δz / 4μ [R² r / 2 - r³ / 4]₀ ^R = δz · π / (8)μ R⁴

Ω = π R² e Q = Ω U allora la velocità media è data da:

U = δz R² / (8)μ

Se confrontiamo la velocità media vista sopra con la velocità massima v_max = δz R² / 4μ si vede che vale la seguente relazione v_max = 2 U.

la velocità media si può riscrivere anche come

V_m = 1/8 π ₈/(μ)

Te è dato un'espressione più generale della velocità media e

dove Ω è l'area di una generica sezione della condotta.

Vi è un legame lineare fra U_m e un legame di proporzione

fisso. Tale proporzionalità è caratteristica del moto laminare.

Nei precedenti legame del moto turbolento non è rius

cire. Dunque se si ha un fluido che si muove di moto

laminare la velocità media U_m e la perdita di carico j, sono legati da una proporzionalità diretta.

Oss.

Abbiamo detto che affinché il modo sia laminare si deve

avere Re (Reynolds) piccoli. Devono avere velocità basse e

conseguentemente anche pressioni molto basse.

Moti di filtrazione Morini Ricalci

Si tratta di un moto laminare con problemi di interesse tec

nico. Tenendo sempre conto di

V _m = 1/8 π ₈ Ω_{i / μ} (velocità media)

analizziamo il moto di un fluido sillo attraverso degli strati

V cositutiti da granili di varia materiale, i quali non essendo

fornite rigidamente come coagulanti, formano dei fil (moti di)

che rendono permeabile l'ammasso cobinanti. Possono es

essere naturali o artificiali.

Se consideriamo il suolo sensere vediamo che questo può

essere costituito da strati permeabile ed stratt impe

rmeabile cioè i vari strati possono avere portalità diverse

succede che all'interno di questi strati è fornita dalle ac

quali strati più permeabili; con strati sottostanti impermeabili

e' il caso della falda freatica. La pressione atmosferica.

Può accadere anche che si accumuli acqua anche in

diversi strati sottostanti impermeabili racchiuso tra strati im-

permeabili, in questo caso la pressione è maggiore (falda

artesiana), e' il caso di una falda in pressione

Gli ammassi porosi sono classificati a seconda della gran-

dezza (diametro) dei granuli. Gli ammassi porosi artificiali

i più comuni sono i filtri.

- Consideriamo un ammasso di granuli fra i massi dei quali si

infila l'acqua

Se i granuli sono molto piccoli e complessivamente la

velocità di filtrazione è molto bassa, si può utilizzare la

relazione di proporzionalità fra gradiente motivante velocità

(la media)

Perché la descrizione del campo di moto dell'acqua attraverso

dei granuli non è semplice da descrivere e la complessa

struttura drastica di contenitore e' l'intero insieme dei grani

come campo di moto.

Campo di moto

Per quanto riguarda le pressione il problema si risolve

considerando le pressione esercitata dell’acqua su un in-

golo grande le foci e si risolve il carico piezometrico H_p,

e estendono a tutto il dominio.

Per il calcolo della velocità consideriamo delle superfici

a carico piezometrico constante.

Il moto è facilmente analizzabile

zionale e perpendicolare alle su-

perfici a carico piezometrico constan-

-te (dette anche superfici equipotenziali).

Quindi anche le velocità è orizzonta-

-zionale e perpendicolare alle superficie perpendicolare

che va da una superficie carico piezometrico maggiore

ad un’altra con carico piezometrico minore tale velocità lo

chiameremo velocità apparente v_app.

v_app: vettore con direzione perpendicolare alle superfici soprai-

cile e con verso verso carichi piezometrici de-

crescenti.

Il campo di moto risolto è molto difficile per cui la velocità

media trovata è molto minore della velocità reale.

Perciò

i = dR/dx

dobbiamo ridefinire la pendenza media, per cui

i = √H_p.

Dunque in realtà se il moto vero è un moto laminare

e è quindi considerato valido il regime tra velocità medio