Idraulica - Appunto 15

Rie. Lezione precedente

1) Se è considerata una corrente irrotazionale, la cui funzione di corrente è:

= v₀ r sen π⎛⎝₀²r²⎞⎠⎛⎝₀c⊘⎞⎠

Per , esiste un _g = √2, per cui = 0, dove ₀ è il raggio di una linea di corrente, all'esterno della quale il fluido si comporta come se incontrasse un corpo rigido cilindrico. Si vede che la componente normale della velocità è sempre nulla lungo il cilindro (o più in generale lungo l'ostacolo che incontra il fluido).

• v₀, ,

2) Si è considerata una corrente irrotazionale con vortice libero. Tale corrente si può realizzare in vari modi, ad esempio facendo rotare l'ostacolo (nel nostro caso il cilindro), questo metodo è chiamato effetto Magnus.

Si è visto che la funzione di corrente è data da:

= v₀ r sen π⎛⎝₀²r²⎞⎠+⎜₀c⊘⊘2 Il moto è irrotazionale

Moto dei fluidi reali

I fluidi reali sono fluidi viscosi newtoniani. La cui equazione costitutiva è

dove

• = Tensore degli sforzi
• = Matrice identità
• = Tensore velocità di deformazione (simmetrico)

Dall’equazione costitutiva si ricavano le equazioni del moto:

(divergenza uguale a zero)

Calcoliamo le componenti della prima equazione

mentre più complicato è trovare

Consideriamo un sistema cartesiano ortogonale: i vettori

Tensore velocità di deformazione

la componente lungo x del tensore velocità di deformazione.

²

nei è dato da:

[∇·D]_x = ( ^∂2v_x ) + ( ^∂2v_x ) ( ¹ ) ( ^∂2v_z )

∂²∂²x ∂²y ∂x ∂y

+ ∂²v_x + ∂²v_z + ^∂v_x

———- ∂² - ————- ∂²x ∂²z

+ ∂²v_x ,

dove 1, ^∂2x + 1, ∂²z - (∇·V)²

∂x ∂²y ∂²y

= ∇(∇x) = 0 (∇·V) (∇·V) = 0 è (V·∇·b·σ·¯)

⇒Tale quantità è nulla quindi

→ ∇·D = ∇v_x [analogo argomento per i componenti

→∇²z ∂²x]

i campi’gion x e z

Se andiamo a sostituire quanto trovato nell’equazione

del moto si trova che:

ρ_Dtuᵢ = ∇^ρ + ∂q +ρʃ +μ∇²ûᵢ

{principio di conservazione del

→ ∇·u = 0

che i campi’gione x e z

Le precedenti sono chiamate equazioni di Navier Stokes e

le variabili di stato sono B e F

O.S.S.

a) Se la viscosità fosse nulla, ovva μ=0 allora si ridu-

duce alle equazioni di Eulero

b) Mentre se il fluido non e in mov.

risolve all’equazioni dell’indostabile

Per risolvere le equazioni di Navier Stokes, si richiede

che all'istante iniziale t = 0, si conoscano v e p in tutto

il dominio

le condizioni al contorno da assegnare sulla frontiera del

dominio devono essere di due tipi:

① Cinematiche

Riguardano le porzioni della frontiera a

contatto con una parete solida

Zone di contatto con la

parete solida

v_rp∙n = 0

v_rp∙t = 0

v_rp Velocità normale alla parete

v_rp Velocità tangenziale alla parete

n = Versore normale alla parete

t = Versore tangenziale alla parete

② Dinamiche

Porzioni di frontiera che è a contatto con

un altro fluido:

Zone in contatto con un altro fluido

Gli sforzi normali e quelli tangenziali o e Ƭ rispettivamente, devono conservarsi lungo la frontiera.

S. note che

1. σ_x = -p + 2μ dvx/dx
2. σ_y = -p + 2μ dvy/dy
3. σ_z = -p + 2μ (dvz/dz)

Il problema della risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes si complica quando non si riduce la forma della frontiera. Inoltre la non linearità delle stesse equazioni fa sì che vi siano più soluzioni. Vediamo ora le modalità in cui si svolge il moto di un fluido con cui analizziamo il moto turbulento.

Esperienza di Reynolds

Contenitore cilindrico, si pratica un'apertura circo-lare e qui si applica un tubo della lunghezza di un giro di metri. La giunzione fra il tubo ed il contenitoreè fatto in modo da avere la minore contratazione delle vena possibile, e da poter trascurare ogni tipo di per-turazione possibile. Il tutto è realizzato in vetro.

All'interno del contenitore principale ce n'è un altro più piccolo, contenente lo stesso liquido, però colorato, in mo-do che possiamo notare, diversa facilità di movimento che i due liquidi si mischiano i fili liberi dei due liquidi vincolano, facciamo fluire il liquido da entrambi i contenuti. Se la velocità nella relazione è bassa si vede che la li-nea del liquido non è nelle linee, ossia il fluido non si muove di moto rettilineo uniforme. Velocità mobile...

Ki aumentando la portata aumenta e quindi la velocità il filetto del fluido non presente dalla non è più rettilinear uniforme ed il filetto del fluido perde l’identità di prima.

Nel primo caso quando le velocità sono molto basse (=) è l'esempio di un moto nel seco- do caso, quando aumenta la velocità (e quindi la qui idà) è l'esempio di un moto turbolento.

Nell’esperimento di Reynolds, si deve tener conto della densità e viscosità del fluido della au velocità del diametro D del tubo di circuit Numerodi Reynolds

e un numero... che

Il numero di Reynolds è un parametro indicitut nel le condizioni di moto all'interno del tubo Inficita che Re < Re critico → Moto Caminare

Re > Re critico → Moto Turbolento

230 (Monticli-Rubalth) dove Re critico = 2000 : 2500 è stato determinato gei rimentalmente da Reynolds

Le turbolenze del moto di un fluido è dovuta all’inol o cità del moto caminare:

il passaggio di moto caminare a moto turbolente quan do Re = Re critico: 2000 = 2500) e vede perchè il moto conti nua ad essere caminare ma dopo non paro più l'etteorie rettilinee ma circuito

Viscosità cinematicav = μViscosità dinamicoμ

Mi obbliamo un esempio nella galleria del vento, dove le

miscele sono realizzate con delle griglie, che creano dei

vortici le cui dimensioni dipendono dalle dimensioni

delle sbarre e dei fori; la grandezza dei vortici va a

diminire.

i vortici indicano un trasferimento di

quantità di moto trasversalmente alla

vesso la corrente, questo vuol dire aumento

delle disposizioni di energia cinetica. (l'energia cinetica si

trasforma in calore).

Il fatto che si riferisca al Recritico per stabilire se il

modo di un fluido è laminare o turbolento è pone dei

limiti in quanto non è Re un passaggio. Questo ha un

tipo di moto di un altro soggetto se l'anno particolare con

torsioni in cui indicano il minimo le ondulazioni; si

possa ottenere dei moti laminari anche per numeri di

Reynolds molto alti, ovviamente vale anche il ragionamento

inverso. Anzi è giusto dire che,

se Re_critico è facile il moto laminare e Re h mai

è stabile il moto turbolento, Cossia in entrambi casi i

moti tendono a tornare laminare e turbolento, indi un

rente.

Si noti inoltre che le dimensioni di un tubo con un

ovviamente si fanno esperimenti sono le seguenti:

1. Re=(^ρDU/_μ
2. ^DU/_ν

U= Velocità media

D= Diametro del tubo

ν = Coefficiente di viscostà (?)

ν = 10^-6 m² /s

D = 10^-4 m

U ≈ 1 m/s

quindi (R_e = 10¹10^-6 10^-5 =)

Il moto nel caso studiato, che è generalmente quello

standard, ossia quello più frequente, è turbolento

Integrazione delle equazioni di Navier-Stokes

1.) Consideriamo il moto di un fluido fra due superfici.

è una fissa (quella inferiore) ed una mobile (quella su-

periore che si muove con velocità costante lungo l'asse

delle x = v₀.

Motopiano di Couette

Modelli Reatte pag. 279

f: V( ∂z )

Campo di fase congruo

(fisso)

S

X

X

→

x

(mobile)

Per la superficie fissa ➝ ha lieu:

{v_x = 0,

v_z = 0.

Per la superficie mobile ➝ ha lieu:

{v_x = v₀,

v_z = 0.

Si pone ∂l / ∂x ≠ 0 e si fanno alcune ipotesi:

➀ Il moto è permanente

➁ Il moto è uniforme e piano

nelle condizioni due ipotesi ➝ riduce che il campo a limo-

definito de

v_x = v_x(x,y,z,t)

v_z = v_z(x,y,z,t)

v₂ =^tv_x(x₁,x₂,t)

p = p (x, y₁, z₂,t)

Ha determinate caratteristiche :

Inanzi tutto, poiché il moto è permanente, la velocità e la pressione non dipendono del tempo; inoltre poiché il moto è piano ed avviene nel piano xz non di

v_x=v_x(x, z).

1. v_y = 0
2. v_z = 0
3. p = p(x, z)

Le condizioni al contorno sono date da:

• Superficie fissa:
  • v_x = 0
  • v_z = 0
• Superficie mobile:
  • v_x = v_t0
  • v_z = 0

Oss.

Non si considerano le condizioni iniziali poiché il moto è indipendente del tempo (permanente) quindi le derivate rispetto a t sono tutte nulle.

Cominciamo dall'equazione di continuità: ∇·Φ=0

∂v_x/∂x + ∂v_y/∂y + ∂v_z/∂z= 0

Poiché v_y = v_z = 0 ⇒ Le rispettive derivate rispetto a y e z sono nulle. Quindi l'equazione di continuità si dice che:

∂v_x/∂x = 0 ⇒ v_x non dipende da x, ma solo da z ⇒ v_x=v_tx(z)

Lungo la direzione x: si ha che:

\[ \frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = \left( \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \right) \]

\[ \frac{\partial v_x}{\partial z} = 0, \] poichè il moto non dipende dall’asse z

\[ \frac{\partial v_x}{\partial x} = 0 \] per l’equazione di continuità

\[ \frac{\partial v_y}{\partial y} = 0, \] poichè \( v_y = 0 \). (a maggior ragione anche \( \frac{\partial v_y}{\partial y} = 0 \))

\[ v_z = 0 \] \(\Rightarrow\) \(\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 \Rightarrow\) \(\left(\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0\right).\)

\( = \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \mu \nabla^2 v_x, \) quindi il termine non lineare è annullato.

Lungo la direzione dell’asse y, si ha che:

\(0 = 0 + 0 + 0\)

Lungo la direzione dell’asse z, si ha che:

\( 0 = - \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + \delta + 0 \Rightarrow \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = - \delta \)

per cui lungo la verticale si ha una distribuzione di pressione idrostatica

Dunque la pressione idrostatica scalare è trovata

\(\frac{\partial l}{\partial x} < 0\)

Torniamo alla precedente

\(0 = - \frac{\partial v_x}{\partial t} + \mu \frac{\partial^2 \nabla v_x}{\partial d^2} \)

poichè \(\frac{\partial l}{\partial x} = const \neq 0 \Rightarrow\)

μ ^d2v_x⁄_dz² ⇒

μ ^dv_x⁄_dz = ^∂p⁄_∂x z + A, con A costante di integrazione

Integrando ancora si arriva a:

v_x(z) = ¹⁄_2μ ^∂p⁄_∂x z² + A z + B con B costante di integrazione

Le costanti A e B si determinano sulle condizioni al contorno:

v_x(0) = 0 ⇒ B = 0

v_x(ℓ) = v₀ = ¹⁄_2μ ^∂p⁄_∂x ℓ² + A ℓ ⇒

⇒ A = ^μ⁄_ℓ [ v₀ - ¹⁄_2μ ^∂p⁄_∂x ℓ² ] ⇐

quindi sostituendo i valori trovati

v_x(z) = ¹⁄_2μ ^∂p⁄_∂x z² + ^μ⁄_ℓ μ [  v₀ - ¹⁄_2μ ^∂p⁄_∂x ℓ² ]

La precedente espressione è l'equazione di una parabola, quindi la velocità ha un profilo parabolico.

Oss:

1. ^∂p⁄_∂x = 0 ⇒ v₀(z) = ^v₀⁄_ℓ z, per cui ho una distribuzione lineare della velocità.

--------------- *Immagine di un diagramma* --------------------

2. Considerato:

v_x(z) = ¹⁄_2μ ^∂p⁄_∂x (z - ℓ), che è l'equazione di una parabola.