Idraulica - Appunti

Premessa & Disclaimer

Con tale raccolta di appunti gli Autori mirano a divulgare il sapere scientifico di una disciplina come l’Idraulica, che è una delle materie di base per la formazione professionale nel campo dell’ingegneria civile.

Gli Autori non pretendono in alcun modo di aver creato un’opera atta a essere usata come unico testo per gli studi da intraprendere nella propria carriera universitaria. Si prefiggono, invece, l’obiettivo di aiutare gli studenti ai quali non è chiaro un concetto (talvolta causa svogliatezza propria o moltitudine di libri e appunti usati), attraverso una raccolta compatta e ordinata di quanto appreso e consolidato durante il corso di “Idraulica”, tenuto dal Prof. “U.M. Golia” nella facoltà di Ingegneria della Seconda Università degli Studi di Napoli.

La seguente opera si presta ad essere avvezza ad errori, ortografici o meno, proprio per la natura stessa degli appunti divulgati.

Per qualsiasi errore, precisazione o in generale per chiarimenti, si prega di contattarci attraverso messaggio privato dal sito, nome utente “RedStachanov”.

Relativamente alle diciture “pag. x” sui seguenti appunti si faccia riferimento al libro di testo:

• Idraulica, D. Citrini, G. Noseda, ed. Ambrosiana, Milano.

Rocco Raimo

Pasquale Di Girolamo

Concetto di Sforzo Interno

Consideriamo un generico volume di controllo V di fluido in condizioni di quiete, sotto l'azione di forze di massa e superficie. Immaginiamo di eliminare parte di questo fluido attraverso una superficie A.

Affinchè la porzione di fluido restante sia ancora in equilibrio, è necessario applicare un complesso di forze che sostituiscano il fluido rimosso.

Questo implica che il fluido "esporto" esercitava un campo di forze che, sommato con quello del fluido restante, dava risultante nulla.

Per mantenere una situazione di equilibrio si applica una forza dF alla sezione elementare dA.

Definiamo quindi lo sforzo unitario come:

φ = lim_{dA → 0} dF/dA

Lo sforzo unitario per ogni direzione tangenziale dove viene scomposto in tangenziale e normale ad dA.

Le componenti saranno:

• Componente tangenziale ad dA (φ_t)
• Componente normale ad dA (φ_n)

Teorema del Tetraedro di Cauchy (Pag. 5)

La forza tangente in un punto su un elemento di genericità sufficientemente è una funzione lineare e omogenea degli sforzi agenti nel punto stesso, tra le quali sussiste tra di loro ortogonalità.

Consideriamo un tetraedro elementare con un vertice in un punto P di un sistema continuo.

Definiamo gli angoli α_x, α_y e α_z come gli angoli che il normale e la faccia ABC formano con gli assi.

EQUAZIONE INDEFINITA DELL'IDROSTATICA

tale equazione si indetifics poichè varia in ogni punto.

FLUIDO INCOMPRIMIBILE

Le forze di massa ammettono un potenziale, ovvero esiste un campo scalare da cui può essere ricavato il campo di forze di massa tramite il gradiente.

F = grad U

L'equazione diviene: ρ grad U = grad P

Le superfici isobariche sono anche superfici equipotenziali e viceversa

FLUIDO PESANTE

Siamo nel caso di fluido pesante quando il fluido è soggetto solo a tale forza e pero come forze di massa:

La forza di gravità è dotata di potenziale =>

F = -g grad z

SOSTITUENDO NELL'EQ. -ρ g grad z = grad P g grad z + grad

g grad z + grad P = 0 => grad (z + p/ρ ) = 0

(se ρ è cost.)

z + p/ρ = quota piezometrica

Legge di STIEVIN:

"In un fluido pesante la quota piezometrica si mantiene costante,"ovver z + p/ρ = cost "

EQUAZIONE GLOBALE DELL'IDROSTATICA

Consideriamo la condizione di moto non uniforme, quindi

\(v = cost \Rightarrow \dot{e} = 0\)

gli sforzi tangenziali non sono nulli.

\(\Phi_{n} = \mathbf{P}_{n} \cdot \hat{v} = \mathbf{P}_{n} \cdot \mathbf{v}\)

Consideriamo un volume finito \(W\) contenente una massa di fluido

\[ \varrho \mathbf{v}\ dV = \left(\frac{\partial \dot{e}x}{\partial x} + \frac{\partial \dot{e}y}{\partial y} + \frac{\partial \dot{e}z}{\partial z}\right)dV = \frac{\Delta \Phi}{W}\ dV \]

Eseguendo l’integrale dal secondo membro otteniamo:

\(\overline{C} = \text{Risultante delle forze alle quali è sottoposto il fluido contenuto nel volume W}\)

Analizziamo ora il secondo termine chiamato l’equazione di Gauss.

Nel seguente Teorema si dice che: “La somma di tutte le variazioni della grandezza \(\Phi\) all’interno del volume \(W\) è pari all’opposto della somma dei flussi della grandezza attraverso la superficie di contorno del volume \(W\)”

\[\int_{W} \left( \frac{\partial \dot{e}x}{\partial x} + \frac{\partial \dot{e}y}{\partial y} + \frac{\partial \dot{e}z}{\partial z} \right) dW = -\int_{S} \left( \dot{e}_{x} \cos nx + \dot{e}_{y} \cos ny + \dot{e}_{z} \cos nz\right) dS\]

Per il Teorema del Tetraedro di Cauchy:

\[ - \int_{S} \left( \dot{e}_{x} \cos nx + \dot{e}_{y} \cos ny + \dot{e}_{z} \cos nz \right) dS = - \int_{S} \Phi_{n} dS = - \int_{S} \left( P_{i} + \Phi_{i} \right) dS \]

\[\overline{\Phi} = \frac{1}{S} \Phi_{n} dS = \text{Risultante delle forze che il mondo esterno applica sulla massa contenuta nel volume} \text{W attraverso la superficie di}\]

\[\text{contorno del volume}\]

Pongo

I = (P₁(Y + z_i) - (P₂(Y + z₂)) / (S₂ - S₁)

σ.P. Muller σ.P. Vele Lenghizza δ = Cadente piezometrica

l

V_B = δ/ μ l / 2

SFORZO TANGENZIALE LUNGO IL VOLUTE DI CONTAGIO

Il diagramma delle τ :

τ

l'andamento delle σ_e e lineare rispetto al raggio

Ricordando che, per la legge di Newton DV / Dr

μdv/dt

dl

la velocita varia quindi con legen quadratica rispetto il raggio

Sostituiamo nelle eq. di continuità, tenendo conto che la massa accumulata è:

-(∂/∂t)∫∫∫(W)ρdxdydzdt

-( ∫∫∫(W) ∂ρVₓ/∂x dxdydzdt + ∫∫∫(W) ∂ρVᵧ/∂y dxdydzdt + ∫∫∫(W) ∂ρV(z)/∂z dxdydzdt ) = ∂/∂t ∫∫∫(W)ρ dxdydzdt

- (∂/∂t ) ∫∫∫(W)ρ dxdydzdt - ∫∫∫(W) (∂ρVₓ/∂x + ∂ρVᵧ/∂y + ∂ρV(z)/∂z ) dxdydzdt = 0

- ∫∫∫(W) (∂ρ/∂t + ∂ρVₓ/∂x + ∂ρVᵧ/∂y + ∂ρV(z)/∂z ) dV = 0

EVOLUZIONE INDEFINITA DELLA CONTINUITÀ DELLA MASSA

Nel caso di fluido incomprimibile, avremo

ρ(x,y,z,t)= COST ⇒ (∂Vₓ/∂x + ∂Vᵧ/∂y + ∂V(z)/∂z )= 0

DIVERGENZA AL VETORE VELOCITA UGUALE A ZERO

Nel caso di moto permanente l'eq. diviene:

∂ρVₓ/∂x + ∂ρVᵧ/∂y + ∂ρV(z)/∂z = 0

Considerando un volume finito, con fluido incomprimibile e moto permanente avremo:

∮(W) (∂Vₓ/∂x + ∂Vᵧ/∂y + ∂V(z)/∂z ) dW = ∮(A) (V(Com)x V(Com)y V(Com)z )dA = 0

1/|A| ∫∫(A) V̅·n dA = 0 ⇒ QA = ∫∫(A) Vn dA = 0

∑(i=1)ᵐ Q(i) = 0

dA = superficie di controllo

Tubo di Pitot

Il tubo di Pitot è uno strumento utilizzato per misurare le velocità macroscopiche di un fluido.

È formato tipicamente da acciaio ed è un tubo lungo al quale il fluido incide.

Immersione di inserire il tubo di Pitot lungo il corso di un fiume.

L'acqua attraversa il tubo di Pitot fino a fermarsi ad una quota z_C.

Applichiamo L'Eq di Bernoulli ai punti B e A:

z_A + P_A / ρg + V_A² / 2g = z_B + P_B / ρg + V_B² / 2g

Applichiamo la legge di Stevino tra punti A e C:

z_A + P_A / ρg = z_C + P₀ / ρg

Dalle ultime due relazioni si evince che:

(z_B + P_B / ρg) + V_B² / 2g = z_C

Se inseriamo un piezometro nel punto B osserviamo e colleghiamo la quota piezometrica di B attraverso A:

z_B + P_B / ρg = z_C + P_B / ρg

Da cui si evince che:

z_B + V_B² / 2g = z_C → V_B = √(2g(z_C - z_D))