Idraulica (Esercitazione)

Idrostatica

Le forze che agiscono su un fluido in quiete sono di due tipi:

• Forze di massa (sono interne);
• Forze di superficie (sono esterne).

Immaginiamo di considerare un serbatoio con un fluido in quiete all'interno:

γ = 9806 N/m³ (peso specifico acqua)

Prendiamo un punto all'interno del fluido e immaginiamo di ingrandire il volume che lo contiene:

P (volume)

Immaginiamo di dividere il volume con una superficie A:

P A (area superficie)

e questa superficie separa il volume in questo modo:

A

Il sistema risulta essere in equilibrio per il 3^o principio della dinamica (principio di azione e reazione).

Idrostatica

Le forze che agiscono su un fluido in quiete sono di due tipi:

• Forze di massa (sono interne);
• Forze di superficie (sono esterne).

Immaginiamo di considerare un serbatoio con un fluido in quiete all'interno:

γ = 9806 N/m³ (peso specifico acqua)

Prendiamo un punto all'interno del fluido e immaginiamo di ingrandire il volume che lo contiene:

V (volume)

Immaginiamo di dividere il volume con una superficie A:

A (area superficie)

e questa superficie separa il volume in questo modo:

Il sistema risulta essere in equilibrio per il "3° Principio della Dinamica" (principio di azione e reazione).

continua

Consideriamo la superficie che contiene il punto P(A). Consideriamo un'area infinitesima che caratterizza l'intorno del punto (dA), sulla quale agiscono delle forze (d\(\vec{N}\)):

Queste forze sono proporzionali a dA:

\(d\vec{N} \sim dA\)

Facciamo:

\(\lim_{dA \to 0} \frac{d\vec{N}}{dA} = \overrightarrow{\Phi}\) \([\frac{N}{m^2}]\) SFORZO UNITARIO (NORMALE)

Man mano che l'area diventa piccola, tutte queste forze si inglobano e si ha un vettore:

Quindi, \(\overrightarrow{\Phi}\) dipende dalla posizione del punto nello spazio e dall'orientazione della superficie:

• il pedice n indica che si riferisce alla superficie onnima;
• \(\vec{n}\) è orientato positivamente verso l'interno del volume di controllo.

La "SPINTA ELEMENTARE" agente sulla superficie elementare infinitesima (dA) è:

\(d\vec{F} = \overrightarrow{\Phi_{n}} \, dA\)

Per calcolare la spinta complessiva sull'area, basta fare l'integrale e cioè:

\(\ vec{F} = \int_{A} \overrightarrow{\Phi_{n}} \, dA\) SPINTA

continua

Φ_m ha una componente normale ed una componente tangenziale:

Φ_m

Φ_nm

• Φ_mt: componente tangenziale(è di trazione).
• Φ_nm: componente normale(è di compressione).

Nota:

Gli sforzi che agiscono su un fluido sono sforzi di tipo normale, quindi non reagiscono a sforzi di trazione.I fluidi reali (fluidi viscolsi) sono soggetti a sforzi tangenziali.

Tetraedo Elementare (di Cauchy)

Φ_y

Φ_xΦ_z

m è la normale al piano BCD(è positiva entrante)

L’inclinazione di Φ_m è dovuta ai coseni direttori:

{ n_x n_y n_z }

Dal 9^o Principio della Dinamica:

F = m * g

continua

Se la massa è unitaria (m = 1), si ha:

F = g

Ricordiamo che:

d_m = ρ dxdydz

dove ρ è la densità e dxdydz è il volume.

La forza per l’unità di massa sarà:

F ρ dxdydz = ρ g ρ dxdydz = γ dw

Le spinte elementari che agiranno sono quattro (Φ_x, Φ_y, Φ_z, Φ_m); inoltre compenseranno Φ_m.

Costruiamo una matrice con gli sforzi:

{Φ_x

Φ_y

Φ_z

Φ_m}

Trascuriamo gli infinitesimi del 3^o ordine e questo sistema sarà uguale a:

{-Φ_x A cos n_mx

-Φ_y A cos n_my

-Φ_z A cos n_mz

Φ_m A}

continua

Per la statica la somma di queste forze deve essere pari a zero (questo

perché sia in equilibrio), per cui:

Il "Teorema di Cauchy" afferma che lo sforzo agente su un punto di una

generica giacitura di normale n⃗ è funzione lineare dei 3 sforzi che