Idraulica applicata

Idraulica

a: Quantità scalare che può variare nello spazio e nel tempo

La pressione è uno scalare: a(x,y,z,t)

b(x,y,z,t): Vettori = b_xi + b_yj + b_zk

Il tensore è definito da 3ⁿ componenti (a noi interessa il secondo ordine)

Φ = _{|Φxx Φxy Φxz| |Φyx Φyy Φyz| |Φzx Φzy Φzz|}

Serve a definire lo sforzo su superfici orientate in un certo modo

b₁·b₂ = prodotto scalare = b_1x·b_2x + b_1y·b_2y + b_1z·b_2z

b₁^b₂ = prodotto vettoriale

Operatore Nabla = [^∂∂x i + ^∂∂y j + ^∂∂z k]

[a] ^∇a = ^∂a∂x i + ^∂a∂y j + ^∂a∂z k → Gradiente = Mi da un vettore

∇・a = ^∂a∂x + ^∂b∂y + ^∂a∂z → Divergenza = Mi da uno scalare

[b] ∇²・b = b_x∂x + b_y∂y + b_z∂z → Gradiente di un vettore

∇Φ = _{|bx∂x bx∂y bx∂z| |by∂x by∂y by∂z| |bz∂x bz∂y bz∂z|}

∇Φ = ^∂Φx∂x i + ^∂Φy∂y j + ^∂Φz∂z k

Trattiamo un fluido come un sistema continuo, esso avra' diverse proprietà che lo descrivono.

• Densità (ρ) [^kg/_m³]

  → Dipende dalla temperatura

  → Dipende pochissimo dalla pressione

  → Per l'acqua ρ=1000 [^kg/_m³] (a circa 20° C)

  → L'acqua è più densa a 4° C che a 0° C

  → Se la temperatura aumenta la densità diminuisce

• Peso specifico (γ) [N/m³] = ρ·g → Per l'acqua γ=9806 [N/m³]

• Comprimibilità (ε) [Pa^-1] = [N/m²] → Per l'acqua ε = 2,0·10^-10 [Pa^-1]

dW = -W dρ/ρ = coeff. di comprimibilità → ε↠ piccolo per i gas e grande per i liquidi

d(pu) [= pdv + vdp = 0] = 0 → -p dρ/ρ = W dρ/ρ = 0

p = p_o, ε = 1 → ^dp/_p= ¹/ε

π = 1 bar: p = p_o + 100 bar → p = ρo•ε

1 bar = 10⁵ Pa

Viscosità

τ = sforzo tangenziale = F/A F ∝ V₀/l

Porto l a infinitesimo l→dy

V₀ = dV ⇒ F/A ∝ dv/dy ⇒ τ = μ dv/dy

Fluido newtoniano

Viscosità cinematica (ν) ⇒ ν = μ/ρ [m²/s]

Per l'acqua μ ≃ 10^-3 [Pa/s] ν ≃ 10^-6 [m²/s] A T = 20°C

τ = μ dv/dy

Deformazione angolare all'interno del fluido

N = V₀ dt = dy ε_γ ≈ dy dθ

=> dV·dt = dy dγ² => dγ/dt = v_x

Legge di Newton

1/3/23

• Bingham: hanno uno sforzo soglia prima di deformarsi (dentifricio)
• A: pseudo-plastici
• B: dilatanti
• A' e B' hanno modelli diversi per essere descritti

La viscosità è funzione della temperatura, più è alta la temperatura più diminuirà la viscosità e diminuiranno le forze tra le particelle di acqua (attriti)

dπ = ϕ_n dA

Immagino di togliere la parte segnata e la parte restante rimane in equilibrio ci devono essere sforzi tra la parte tolta e quella rimasta

τ = dΠ/dA

Lo sforzo è associato alla direzione

Spinta idrostatica su una superficie piana

Y → Questo asse è la retta di sponda

Abbiamo una pressione idrostatica ed essendo il fluido pesante ed incomprimibile vale la legge di Stevino = p = γφ

dS = ϕ ⋅ n̂ ⋅ dA = pn̂dA

Non ci sono sforzi di taglio perché il fluido è fermo

S = ∫_A pn̂dA

La coordinata x è la distanza dalla retta di sponda

Se ho una superficie curva cambia n̂ ⇒ S = ∫_A ρ ⋅ dn̂ = ∫_A ρp̂dA

S = ∫_A x p̂ dA = γ ∫_A x sin α dA = γx_G A = γp̂ A = p ⋅ A

S = p ⋅ A n̂ = Risultante degli sforzi agenti

Voglio una risultante che sostituisca un sistema di sforzi

Per determinare il punto di applicazione impongo un equilibrio alla rotazione (uguaglio il momento) rispetto alla retta di sponda

S ⋅ ϛ_σ = ∫_A ρx dA = ∫_A ρ⋅ x⋅ x̄ ⋅ dA = γ ⋅ sin α ⋅ ∫_A x² dA

ϛ_σ = γ ⋅ x_G ⋅ cos α ⋅ A [I_G = γ ⋅ x_G ⋅ A] ⇒ ϛ_σ = ∫_A x² dA

= I_xx momento d'inerzia

= M momento statico (dipende dalla retta di sponda)

Teorema del trasporto per il momento d'inerzia:

I_xx = x²_G A + I_o,xx

Momento d'inerzia baricentrico

Per un rettangolo l_σ = 1/12 b h³

ϛ_σ = x²_G A + I_o,xx/_M = x_G + ^I_o,xx/_M

Indipendente dalla retta di sponda

Eccentricità

Come calcolare la risalita capillare, date le proprietà del fluido

La risalita è di altezza h.

La pA è < pB.

Cosa tiene su il fluido?

ϕ: angolo di contatto

Nel caso dell'acqua, aria e vetro - ϕ ≈ 0°

Se ϕ > 90° -> superficie idrofobica

(Esempio: piume uccelli) -> Se è idrofobica il fluido si troverà sotto BC

T è l'azione della tensione superficiale

G = -π r² ρg x

G + T = 0

Γ = 2π r γ cosϕ ⋅ x

Γ + G = 2π γ cosϕ ⋅ x

h = 2γ cosϕ / ρ g r

Risalita capillare -> h = 2γ / ρ g r cosϕ

dπ = ϕ dA

dπ = ρ n dA

π = ∫ dπ = ρ ∫ dA

n: nì da direzione e verso

|π| = ρ C ⋅ A (modulo)

B centro della superficie geometrica

Direzione e verso

Punto di applicazione

Baricentro della distribuzione delle pressioni

π_AB = ρ C ⋅ A

π_AB| = γ k C ⋅ A

Affondamento δ rispetto al pc

ξ = I / M = X + I_₀ / M

ξ = I / M = X__G + I_₀ / M

Superficie Piano

π = p_cA

Superfici Curve Imporre un'equazione → 1 incognita

E

A

D

C

π₁ + π₂ + π₃ + π₄

π₁ = p_c1E • A_AE = γh_c1 A_AE = 0

π₂ = p_c2ED•A_ED = γh_c2ED•A_ED

π₃ = p_c3DC•A_DC = γh_c3DC•A_DC

π₄ = p_c4BC•A_BC = δ h_c4BC•A_BC

G_r + π₁ + π₂ + π₃ + π₄ + π₀ = 0

π₀ = - ( G_r + π₁ + π₂ + π₃ + π₄)

S = VCR ➡ S_AD = - π₀ = + G_r + π₁ + π₂ + π₃ + π₄

Se considero un volume di controllo reale (contiene il liquido) → Spinta = - π₀

Se considero un volume di controllo fittizio (non contiene il liquido) → Spinta = + π₀

S_p

D₀ x

A → B