Idraulica 1+2 12CFU (Prof. Gallerano)

Parte di Idraulica 1 (1^o Semestre)

• Nozioni Fondamentali

Fluido = Materia "Discontinua" formata da molecole

• Densità Locale Istantanea \[ \rho(x,t) \]
• Massa Totale \[ M = \int \rho(x,t) dv \]
• Velocità Locale \[ \overrightarrow{V}(x,t) \] una particella emette una velocità secondo un sistema di riferimento nel mezzo continuo dove è il fluido.
• Quantità di Moto \[ \overrightarrow{P}(t) = \int \rho(x,t) dv \cdot \overrightarrow{V}(x,t) \]
• Portata Volumetrica \[ q = \overrightarrow{V} = \int_A \overrightarrow{v} \cdot m \cdot dA \]

Oppure

\[\dot{m} = \int_A \rho \cdot \overrightarrow{V} \cdot m \cdot dA\]

Nota: Il vettore velocità nello spazio non dipende più dalla posizione e dal tempo perchè si ipotizza che sia sempre lo stesso ovunque.

Strumento matematico: Preso una funzione \[ f(T, x(t), y(t), z(t)) \] dipendente dagli assi "Derivata Totale" imposti come "posizione" rispetto a un sist. di RIF. x, y, z, allora:

\[\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t} \]

La Derivata Sostanziale: Concetto di derivata totale applicata ad una grandezza fisica allo scopo di scoprire come varia rispetto al tempo e allo stesso tempo nello spazio fissato.

• Visione Lagrangiana

Si usa un volume di controllo che si muove con la particella, ovvero fisso rispetto a questa, restituendo ogni differenza/diminuzione di valori.

• Visione Euleriana

Si usa un volume di controllo che rimane fisso rispetto ad un sistema di riferimento xyz mentre all'interno possono le particelle, questo volume fisso dovrà registrare ogni variazione.

Esempio Grafico:

Lagrange Eulero

Quindi, matematicamente:  Sia f una funzione di classe C⁴ in tutta l'apertura del dominio in x, y, z

\[\frac{D f}{D t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial t} = \nabla f \cdot \overrightarrow{V}(t) + \frac{\partial f}{\partial t} \]

Derivata Sostanziale rispetto al Tempo della Funzione f in Visione Lagrangiana

\[\frac{Df}{Dt} = \frac{\partial f}{\partial t}\]

Parte di Idraulica 1 (1^º semestre)

Nozioni fondamentali

• Fluido = Materia “d’insieme” formata da molecole
• Densità locale isoterma: ρ(x,t)
• Massa totale: M = ∫ ρ(x,t) dv
• Velocità locale: [⃗(x,t)] è una proprietà avente una velocità secondo un sistemadi riferimento, nel mezzo continuo ovvero il fluido.
• Quantità di moto: [⃗] = ∫ (x,t) dv · ⃗(x,t)
• Portatore volumetrica: [ ⃗] = ∫ ⃗ ̂ dA oppure portata massica: [̇_m] = ∫ ρ · ⃗ ̂ dA

Nota: Il vettore velocità nella forma non dipende più dalla posizione e del tempo perché si ipotizza che sia sempre lo stesso ovunque.

Strumento matematico: Preso una funzione (t,x(),(),()) dipendente dagli assi “derivò parziale” imposto come posizioni rispetto ad un S.I. di rif. x, y, z, allora:

d/dt = ∂/∂t + ∂/∂x ⋅ dx/dt + ∂/∂y ⋅ dy/dt + ∂/∂z ⋅ dz/dt dove dx/dt = _x(t), dy/dt = _y(t), dz/dt = _z(t)

La derivata sostanziale: Concetto di derivata totale applicato ad una grandezza fisica allo scopo di scoprire come varia con lo scorrere del tempo t, in un certo caso fisico, allo stato fisico rispetto al tempo t, degli assi cartesiani imposti.

=> In un fluido, ci sono 2 modi per applicare il concetto di osserva sostanziale:

1. Visione Lagrangiana = Si usa un volume di controllo che si muove con la particella, ovvero, fisso rispetto a questa, restano non aumento/diminuzione di valori.
2. Visione Euleriana = Si usa un volume di controllo che rimane fisso rispetto ad un sistema di riferimento x, y, z mentre all’interno possono rimanere le particelle, questo volume fisso ovvero può gestire ogni variazione.

Esempio grafico:

Lagrang.

Euler.

Quindi, matematica:

Sia una funzione a classe C in tutti i punti del dominio in x, y, z

[d()/dt] = ∂/∂t + ∂/∂x ⋅ dx/dt + ∂/∂y ⋅ dy/dt + ∂/∂z ⋅ dz/dt + ∧() ⋅ ∇(