Idraulica 1+2 12CFU (Prof. Gallerano)

PARTE DI IDROULICA 1 (1^o SEMESTRE)

NOZIONI FONDAMENTALI

• FLUIDO = MATERIALE DISCONTINUO FORMATO DA MOLECOLE

DENSITÀ LOCALE ISTANTANEA p(x,t)

MASSA TOTALE M = ∫ p(x,t) dv

VELOCITÀ LOCALE [V](x,t) = UNA PARTICELLA AMMETTE UNA VELOCITÀ SECONDO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO, NEL MEZZO CONTINUO SI MUOVE IL FLUIDO

QUANTITÀ DI MOTO [p̅] = ∫ p(x,t) dv · V(x,t)

PORTATA VOLUMETRICA [Q=∫V](A) = ∫V m̅·dA

OPPURE ^Q PORTATA MASSICA [ṁ]= ∫ p̅ V̅ m̅ dA

NOTA: IL VETTORE VELOCITÀ NELLA FORMA NON DIPENDE PIÙ DALLA POSIZIONE E DAL PUNTO PRECISO. SI IPOTIZZA CHE SIA SEMPRE LO STESSO OVUNQUE.

STRUMENTO MATEMATICO: PRESSO UNA FUNZIONE [T, (x(t), y(t), z(t))]

"DERIVATA TOTALE."

IMPORSI COME "POSIZIONE" RISPETTO AD UN SISTEMA DI RIF. X, Y, Z, ALLORA :

∂/∂t = ∂/∂t + ∂/∂x · ∂/∂t + ∂/∂y · ∂/∂t + ∂/∂z · ∂/∂t

DOVE ∂X(t)/∂t = Vx(t), ∂Y(t)/∂t = Vy(t), ∂Z(t)/∂t = Vz(t)

LA DERIVATA SOSTANZIALE = CONCETTO DI DERIVATA TOTALE APPLICATO AD UNA GRANDEZZA FISICA, ALLO SCOPO DI SCOPRIRE COME VARIA QUESTA GRANDEZZA DURANTE IL FUTURO

IN QUESTO CASO: SI APPLICA AD UN CORPO DI SCOPRIO.

È COME VARIA UNA GRANDEZZA FISICA AIUTO NEL SIO PRECISO ASPETTO DI TEMPO, V

DEGLI ASSI CARTESIANI IMPOSTI.

= IN UN FLUIDO, CI SONO 2 MODI PER APPLICARE IL CONCETTO DI DERIVATA SOSTANZIALE:

VISIONE LAGRANGIANA = SI USA UN VOLUME DI CONTROLLO CHE SI MUOVE COM'LA PARTICELLA, OVVERO FISSO RISPETTO AL CAMPIONE, REGISTRANDO OGNI AUMENT/ DIMINUZZA DI VALORI.

VISIONE EULERIANA = SI USA UN VOLUME DI CONTROLLO CHE RIMANE FISSO

RISPETTO AD UN SISTEMA DI RIFERIMENTO X, Y, Z MENTRE ALL'INTERNO AL PASSAGGIO DI PARTICELLA

IL VOLUME FISSO QUINDI REGISTRA OGNI VARIAZIONE.

ESEMPIO GRAFICO

NE ENTRANO 3, NE ESCONO 2.

NE ENTRANO 1, NE ESCONO 3.

LAGRANGE. EULERO.

QUINDI,MATEMATICAMENTEE:

SIA [V] UNA FUNZIONE DI CLASSE C^∞ IN TUTTI I PUNTI DEL DOMINIO IN X, Y, Z

∂/∂t + dx/dt · ∂/∂x + dy/dt · ∂/∂y + dz/dt · ∂/∂z √ = ∂/∂t + V · ∇ +

DERIVATA SOSTANZIALE

RISPETTO AD UN PUNTAT, DELLA PARTICELLA IN VISIONE LAGRANGIANA

O_ED [ϕ] = ∂/∂t + V · ∇(ϕ)

∇(ϕ)=GRAD(ϕ)

SIGNIFICATO DEL TEOREMA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS

(PER LE DIMOSTRAZIONI, PASSAGGI OLTRE)

1. PERMETTE DI DIMOSTRARE CHE POSSA SCRIVERE

Dp(x,t)dv =dt

POSSO SCRIVERLA

PER LA DIVERGENZA = [..] + [..]

IN SUCCESSIVI, SI VEDRÀ IL

PERCHÉ DI QUESTO

2. QUEST'ULTIMA EQUAZIONE RISULTA IMPORTANTE PER FORMARE LA COSTRUZIONE DEI CATETI VARI (OPPOSI)
3. IN CUI IL FLUIDO PRESENTA LA CONSERVAZIONE DELLA MASSA È NON NECESSARIA
4. ORMALANDI LE SEGUENTI NOTAZIONI:

   • V = VETTORE VELOCITÀA = AREA DELLA SUPERFICIE

5. POSSO SCRIVERE:

• p = dv

  p = pdv

4. BISOGNA FARE UNA DISTINZIONE IMPORTANTE!!

SENZA INTRODURRE NULLA, POSSO GIÀ DIRE CHE:

1. MOTO STAZIONARIO:

   1. MOTO IN CUI IL FLUIDO PRESENTA LA CONSERVAZIONE DELLA MASSA È NON NECESSARIA
   2. VETTORI VELOCITÀ CHE CARATTERIZZANO IL MOTO SONO COSTANTI NEL TEMPO
   3. IL MOTO SI SVILUPPA IN UNA SOLA DIREZIONE, I VETTORI VELOCITÀ SONOSEMPRE COSTANTI LUNGO OGNI DIREZIONE

2. MOTO UNIFORME:

   1. MOTO IN CUI IL FLUIDO PRESENTA LA CONSERVAZIONE DELLA MASSA È NON NECESSARIA
   2. VETTORI VELOCITÀ CHE CARATTERIZZANO IL MOTO SONO COSTANTI MA SOLO IN ALCUNE DELLO SPAZIO
   3. IL FLUIDO POTRÀ ESSERE SOPRAPPOSTO 'A QUANTO' DOVRÀ PER ESEMPIO

3. MOTO PERENNE:

   1. MOTO IN CUI IL FLUIDO PRESENTA LA CONSERVAZIONE DELLA MASSA E IL COMPORTAMENTO
   2. VETTORI VELOCITÀ CHE CARATTERIZZANO IL MOTO SONO COSTANTI E LEGGERE LE VARIE
   3. IL MOTO SI SVILUPPA LUNGO ALTRE LE DIREZIONI MA

Alternativamente è possibile descrivere il vettore "sforzo-peso" come prodotto scalare tra il vettore normale e il tensore degli sforzi T, dando origine ad un vettore che ha 3 componenti sulle 3 superfici del tetraedro di Cauchy.

Sia T = allora

Posso quindi riformulare la 2° equazione cardinale della dinamica scritta sopra come visto nel primo esempio, usando la 2° notazione a destra.

Osservo che l'uso del teorema della divergenza!!

Osservazioni importanti

• Tra la formula in forma "misura" e quella in forma "indefinita" si usa un secondo il punto di partenza matematico generico per poter scrivere le successive modifiche in caso di ulteriori ipotesi!!
• Finora abbiamo estratto solo le basi matematiche che mi possono caratterizzare un moto di un fluido, grazie alla caratterizzazione della sua massa/peso e forze che agiscono.

Infatti:

• Cons. massa + comprimibilità
  • C
  • p

Se faccio , allora

Questo sviluppo

Descrivere alternativa della cinematica attraverso i potenziali di Stokes

Da calcoli matematici si sa che:

• Se campo irrotazionale + semplicemente connesso → conseguenza è esprimibile attraverso il gradiente di un potenziale ψ.
• Quindi vedo sicuramente:

1. rot(grad(ψ)) = 0 → grad(ψ) = F = √v
2. Perché se conservativo, sicuramente irrotore → rot(F) = 0.
3. Se il campo è isocoro, ho dimostrato all'inizio che vale div(√v) = 0 → div(rot(ψ)) = 0
4. Allora se V è formato da parti isocora ed irrotazionale allora è possibile descrivere alternativamente il campo di moto V attraverso i potenziali di Stokes:

√v(x) = V_IC(x_o) + dx⋅n(x_o) + dx⋅L(x_o) + dx⋅S(x_o) = ∇(ψ) + ∇ x ψ

• Parte irrotazionale.
• Parte isocora.

• - Nella parte irrotazionale V può essere espresso come gradiente di un potenziale scalare ψ.
• - Nella parte isocora, V può essere espresso come rotore di un potenziale vettore ψ.

* Mini dim:

△(∇√v) ≠ div(rot(ψ))

I potenziali di Stokes servono per descrivere più agevolmente una tipologia di fluido che ha un particolare tipo di moto.

Questo descrittore può essere adottato sia in "2D" che in "3D".

Molto utile sarà per definire le funzioni di corrente e linee di corrente.

Anticipazione!

Un campo di velocità √v(x) sarà descritto dai potenziali di Stokes e potrà essere rappresentato e visualizzato in 2D/3D se:

1. Irrotazionale + Isocoro + Visualizzatore 3D del campo di velocità ∇ x ψ = 0
2. Irrotazionale + Isocoro + Visualizzatore 2D del campo di velocità ∇ ψ = 0

È questo che ci interessa.

Bilancia dei Fluidi Ideali

Adesso qualcosa che sembri non il discorso della massa, ma quello del bilancio dello.

Quel che cambia

• Non esistono sforzi tangenziali. Posso formulare un legame costitutivo tra pressione e tensore, così:

\(\mathbf{T} = -p\mathbf{I} = \begin{pmatrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \end{pmatrix} \)

Se la pressione è uniforme in tutte le direzioni.

• Conservazione della massa. Dal punto di vista della massa, non cambia niente.

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0\) se anche incomprimibili \(\text{div}(\mathbf{v}) = 0\)

Equazioni cardinali moto Un'altra cosa cambia!!

1. Ho \(\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\text{grad}(p) - \text{div}(T) = \text{grad}(p)\), voglio dimostrare che \(\text{div}(T) = \text{grad}(p)\).
2. In caso di fluidi ideali, \(\mathbf{T} = -p\mathbf{I} = \begin{pmatrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \end{pmatrix}\).

Allora posso dire \(\text{div}(T) = \text{grad}(p)\) nuova formulazione!!

Quindi equazioni cardinali del moto diviene:

\(\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\text{grad}(p)\)

Inoltre posso scrivere

\(\mathbf{a} = \int_{\gamma} -\frac{1}{\rho} \text{grad}(p) d\gamma \), formulata in termini di accelerazione.

Moto Barotropico

• Ho un moto barotropico se:
• La pressione è uniforme.
• Se la densità del fluido risulta in funzione della pressione \( P = f(\rho) \).
• \(\Rightarrow\) Questo implica che \(\frac{1}{\rho} \text{grad}(p) = \text{grad} \frac{dp}{p}\).

Quindi, se ho informazione sul tipo di moto \(\Rightarrow\) posso modificare la forma degli accelerazioni,

\(\mathbf{a} = (\mathbf{g}-\mathbf{q}) = - \frac{p}{\rho} (\text{grad} \frac{\rho}{p})\) se barotropico.

\(\mathbf{a} = (\mathbf{g}-\text{grad} \frac{p}{\rho})\) se barotropico, in particolare isocoro.

L'accelerazione è spesso risulta importante, come si vedrà nella prossima parte.