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Appunti idraulica

Appunti di idraulica basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Calomino, dell’università degli Studi della Calabria - Unical, della facoltà di Ingegneria, Corso di laurea in ingegneria civile. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Idraulica docente Prof. F. Calomino

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ESTRATTO DOCUMENTO

p

  

A

z z h

A C

3

p 

C h

 4

2  

3

3

v      

  ;

1

,

32 2

2 1

C h h v gh gh

C 4

2 4  

g

da cui  

3

  

 

2 1 1

,

32 2

v gh gh

C 4

 

Si è quindi ottenuto:  

 

0

, 61 0

,

8 2

Q v gh

C

mentre si ricorda che nell’efflusso da bocca a spigolo vivo risultava:

 0

,

6 2

Q gh

 

  che è il massimo valore possibile della

Si osservi che per > 13,75 m, risulta 2 10

,

33 .,

h v g h

C

velocità nell’efflusso con bocca addizionale esterna.

Come per la bocca a spigolo vivo, anche in questo caso si può valutare una perdita di carico.

Nella sezione terminale, la velocità risulta infatti :

Q

  0

,

8 2

v gh

B

e il carico sarà: 2

v  0

,

64

B h

2 g 2

v

La perdita di carico è dunque pari a 0,36 h, ovvero a 0,56 .

B

2 g

5.4.4 Bocca addizionale interna. Nel caso di una bocca addizionale interna realizzata con tubo

Figura 5.27 verticale (fig. 5.27), si scrive il Teorema di Bernoulli tra i punti A

e C (sezione contratta) : 2

p v

p

   

C C

A

z z

 

A C 2 g

trascurando ed essendo = 0, risulta

p

C  2

v g h

C

La velocità è costante nella sezione. 81

La portata è 

 ,

2

Q C C g h

C V

con il coefficiente di contrazione C = 0,5.

C

Nel caso di bocca addizionale interna con tubo orizzontale (fig. 5.28), si otterrà ancora :

 2

v g h

C

In questo caso, come per lo sbocco in atmosfera, si deve ritenere che la

velocità vari da punto a punto della sezione d'efflusso.

Figura 5.28 82

6.

Il moto in condotta dei liquidi perfetti

Abbiamo inteso per liquido perfetto un liquido in cui non ci sono azioni tangenziali tra le particelle;

il carico è costante lungo le traiettorie.

Possiamo ora trarre conclusioni per il moto dei fluidi perfetti in una condotta.

6.1. Condotta a diametro costante collegante due serbatoi

I due serbatoi A e B siano tali da presentare livello della superficie libera costante nel tempo;

l’imbocco della tubazione sia ben raccordato (fig.6.1).

Figura 6.1

Per il teorema di Bernoulli, per i punti 1 e 2 sarà: 2

2

p v p v

     

2 2

1 1

H z z

 

2

1 2 2

g g

Nel serbatoio A il liquido si considera in quiete; quindi 

  

0

;

v z p H

1 1 1

Nella sezione di sbocco i filetti sono rettilinei e paralleli quindi la distribuzione delle pressioni è

idrostatica. D’altra parte la pressione che agisce sul bordo della corrente all’uscita è in equilibrio

con quella agente sul liquido in quiete nel serbatoio, pertanto la distribuzione idrostatica della

pressione nella corrente è uguale a quella del serbatoio e la quota piezometrica della sezione di

sbocco coincide con il livello nel pelo libero.

Quindi posto 

 p p 

  

 

 1 2

z z H h

  

1 2 

risulta  

 

2

v g H h

2

e per la portata si ha 83

 

Q v 2

  cost

Se nella sezione finale è , risulta costante nella sezione; infatti è possibile ottenere

z p v 2 ed il coefficiente di

lo stesso risultato per qualsiasi punto della sezione stessa; sarà quindi = v

v 2 m

Coriolis risulta pari a 1. 

3

v d

   1

3

v

 m

Ora, facendo riferimento alla procedura seguita, ci si rende conto che il carico totale H è stato otte-

nuto considerando e / pertanto la linea dei carichi totali si traccia da monte ed è l’orizzontale

z p

1 1

passante per la superficie libera del serbatoio di monte. Nella sezione di sbocco la quota

piezometrica è rappresentata dalla superficie libera del liquido presente nel serbatoio. La distanza da

esso dalla linea dei carichi totali è l’altezza cinetica.

Poiché la condotta è a diametro costante, ed è costante lungo di essa la portata, anche l’altezza ci-

netica è costante; pertanto la linea piezometrica si può tracciare da valle, ed essa è l’orizzontale pas-

+ /

sante per la quota p

z 2 2

6.2. Condotta a diametro variabile collegante due serbatoi

Anche in questo caso i livelli dei serbatoi A e B siano fissi nel tempo e l’imbocco sia ben raccor-

dato. Figura 6.2

Applicando il teorema di Bernoulli tra i punti 1 e 2 risulta ancora:

 

 

2

v g H h

2

e la portata  

Q v 2

(la linea dei carichi totali si traccia da monte; la piezometrica da valle).

Poiché la portata è costante lungo la tubazione risulta

4 4

Q Q

 

;

v v

1 2

 

2 2

D d

1 2

e quindi il rapporto tra le altezze cinetiche risulta uguale a 84

4

2 2 

 4

2

v v D D

g 

  

 1

2 2 1 

 4

2 

 g v v d

d 2

1 1 2

cioè le altezze cinetiche stanno tra loro come l’inverso del rapporto dei relativi diametri alla quarta

potenza.

Se per esempio è  =0,785 12

2

= 1,00 m m v = 1 m/s v /2g= 0,05 m

D 

1 1

 =0,196 22

2

= 0,50 m m v = 4 m/s v /2g= 0,81 m

D 

2 2

allora 4 2

(D /D ) = (v /v ) = 16

1 2 2 1

Si voglia calcolare l’andamento della piezometrica nel convergente. A tal fine si ricorda che, nel

moto permanente  

 

p v v

 

  

z

 

 

s

 

s g 

   

e, nel caso in esame, v>0; poiché nel convergente la derivata di è negativa,

0

v s z p

quindi la piezometrica diminuisce nel senso del moto; anche la derivata seconda è negativa, infatti

risulta  

 

   

2 2

1

p v v v

 

   

 

z v

 

  

 

2 2

s s s

   

g

s

con 2

 

v 

 0

 

s

2

 

2

Relativamente a se si pone

v s 4

Q Q

 

v 

 2

D

essendo, sempre nel convergente, D variabile con s linearmente

  

D as b

con a e b costanti opportune risulta

  

2 2   

4 4 8

1 1 3

Q Q aQ

v a

  

    

2 0

a

  

 

2 2 2 3 4

   

s

s s D D D

Quindi in definitiva  

 2 p

 

  0

z

 

 2  

s

e la concavità è verso il basso. 85

6.3. Condotta a diametro variabile condotta in depressione

Si considerino i due serbatoi rappresentati in fig 6.3, e collegati da una condotta a diametro varia-

bile.

L’imbocco è

ben raccor-

dato e il di-

vergente ha

diametro

gradualmen-

te variabile

da d a d .

1 2

Come al so-

lito, la linea

Figura 6.3 dei carichi

totali si

traccia dal serbatoio A; la piezometrica da valle con la convenzione che il punto rappresentativo

della quota piezometrica in una sezione è riportato sulla verticale passante per il baricentro della

sezione stessa.

La velocità nel tratto a diametro d è

2  

 

2

v g H h

2

La portata è  

Q v 2 2

 

=v si può ricavare v .

A partire dall’equazione di continuità Q=v

2 2 1 1 1

2 2

Dal piano dei carichi totali, si portano in basso i segmenti e

2 2

v g v g

1 2

In particolare 4

 

2 2

v d v

 

2 1 1

 

2 2

 

g d g

2

2 2

v v

 

1 2

(se )

1

,

5 , 5

,

06

d d

2 1 2 2

g g

Il tratto in cui la piezometrica è al di sotto dell’asse della condotta è in depressione; in nessun punto

p  

10

,

33 m

però dovrà risultare 

6.4. Sbocco in atmosfera

Consideriamo il serbatoio in fig 6.4,

con tubazione che sbocca in atmosfera a

quota ; anche in questo caso

z s  

 

2

v g H z s

Si traccia la linea dei carichi totali da

monte e la piezometrica da valle. La Figura 6.4 86

p  

soluzione è corretta se in tutti i punti .

10

,

33 m

 Se invece da un

certo punto a

monte dello

sbocco è

  

10

,

33 m

p

bisogna procedere

diversamente. Sia

z la quota del

1

punto in cui la

piezometrica dista

10,33 m dall’asse;

Figura 6.5 z -10,33 è la quota

1

piezometrica in quel punto (fig. 6.5).

La piezometrica si mantiene parallela alla condotta. All’imbocco sarà

 

 

2 10

,

33

v g h

i

La portata è quindi  

Q v

1 1

allo sbocco la velocità è 

v v

s i

e il carico totale è    10

,

33

H z h

s s p   .

10

,

33 m

Dallo sbocco si può tracciare la linea dei carichi totali fino alla sezione in cui 

Dall’imbocco, essendo il fluido perfetto, vale la linea dei carichi iniziali fino a detta sezione. Nel

tratto in depressione le altezze cinetiche vanno progressivamente aumentando e quindi, poiché la

portata è costante, ne deriva che l’area della corrente va progressivamente diminuendo cioè che la

corrente si stacca dalla generatrice superiore del tubo. In questo caso il moto si dice canaletta.

H 

Nella sezione in quota z si ha una perdita di carico = pari a

H H

1 s

 

        

10

,

33 10

,

33

H z h z h z z

i s i s ven-

In realtà, nel passaggio dal moto a canaletta al moto a sezione piena, nella sezione di quota z 1

gono a mancare le condizioni per l’applicazione del teorema di Bernoulli alla corrente: infatti i

filetti liquidi non sono affatto rettilinei e paralleli, ma subiscono una brusca deviazione.

In questo caso non ha più senso ritenere che l’energia si conservi; anche se il liquido è perfetto,

nella sezione 1 esiste una perdita di carico.

Nel caso mostrato, esiste una massima portata scaricabile:

 

 

2 10

,

33

Q g h

max

In altri termini, dato il carico sull’imbocco, non si può aumentare a piacere la portata abbassando

semplicemente la quota dello sbocco. 87

6.5. Sbocco con ugello

Si consideri il serbatoio in fig.6.6. Da esso si avvia una condotta di diametro D con sbocco in at-

mosfera; al termine della

condotta è posto un ugello. Sia

 la sezione dell’ugello, C il

C

coefficiente di contrazione e z

C

la quota della sezione contratta.

Applicando il teorema di

Bernoulli dal serbatoio A alla

sezione contratta si ottiene:

 

 

2

v g z z

C A C

Q v C

C C

La velocità in condotta è:

Q

v 

B

Figura 6.6 Ad esempio se d = 0.5D

 

 2

 0

,

5 D

  0

, 25

 2

D

e con C = 0,8, risulta

C  

0

, 25 0

, 2

v C v v

B C C C

2 2

2 v v

v  

2

0

, 2 0

,

04

C C

B

2 2 2

g g g

Si noti che con una riduzione di diametro nel rapporto di 0,5 si ha una riduzione di altezza cinetica

nel rapporto 0,04 e una riduzione di velocità nel rapporto 0,2.

Nel caso senza ugello la massima portata è  

  

2 10

,

33

Q g h

nel caso con ugello la portata è

     

       

2 0

, 25 2 0

, 2 2

Q C g z z C g z z g z z

u C A C C A C A C

possiamo avere Q > Q se è

u    

  

0

, 2 2 2 10

,

33

g z z g h

A C

  

0

, 2 10

,

33

z z h

A C

  

5 10

,

33

z z h

A C

D

sempre nel caso di d = 0,5

In generale è Q >Q se

u    

    

2 2 10

,

33

C g z z g h

C A C 88

e con   m

 1

   

  

2 2 10

,

33

g z z g h

A C mC C

ovvero 1  

   10

,

33

z z h

2 2

A C m C C

6.6. Sifoni

Si chiama “sifone” una tubazione che collega due serbatoi passando al di sopra del piano dei carichi

iniziali di quello posto a quota maggiore. Se osserviamo la condotta rappresentata in fig. 6.7 si ha:

 

 

p

 

   

2 2

B

 

v g z z gH

 

B A B

 

 

 

Q v B 2

La piezometrica, come sempre, è parallela alla linea dei carichi totali, e dista da essa v /2g.

Tracciata la piezometrica, si nota che ci sono punti della condotta a quota superiore alla linea dei ca-

richi totali. Per fare arrivare l’acqua in tali punti, è necessario creare una depressione nella condotta,

che in questo caso si chiama .

sifone

Molto facilmente se dall’alto riempiamo il tubo d’acqua e dopo averlo riempito chiudiamo le due

estremità, abbiamo creato all’interno del tubo pressioni inferiori alla pressione atmosferica.

Oppure, se abbiamo un tubo flessibile, esso può essere immerso completamente nel serbatoio A per

riempirsi, quindi se ne può estrarre un’estremità, che terremo ben tappata e poi immergeremo nel

serbatoio B.

Quando apriamo l’estremità B, si produce il moto. Perché?

È facile notare che

l’acqua contenuta

all’interno del tubo

tappato si trova a pres-

sione inferiore a quella

atmosferica: essa infatti

non è a contatto con

l’atmosfera, e la pres-

sione assoluta è in

h

tutti i punti inferiore

alla pressione atmosfe-

rica.

Quando apriamo

l’estremità in B del

tubo, nella massa

d’acqua continua con-

tenuta nel recipiente A, Figura 6.7 89

nel tubo e nel recipiente B non possono esistere due livelli a quota differente; il liquido tenderà a

passare dal recipiente A, dove ha maggiore energia, al recipiente B, come del resto suggerisce il

teorema di Bernoulli.

Operando diversamente è possibile creare una depressione all’interno del sifone attraverso

un’apposita pompa che aspira l’aria, creandovi il vuoto e facendovi risalire l’acqua.

Sarà bene notare che “aspira” è un modo di dire: in realtà la pompa espelle aria dall’interno del

tubo; l’aria rimasta diminuisce di densità, a parità di volume; si genera perciò una pressione infe-

riore a quella atmosferica, poiché per la legge dei gas è / = cost e per effetto della pressione

p

atmosferica agente sulla superficie libera del serbatoio A il liquido sale nel sifone. E’ evidente che

l’altezza massima sul pelo libero a cui il liquido può giungere per effetto della diminuzione di

pressione nel sifone è quella che si ottiene per una pressione nulla all’interno del sifone cioè 10.33

m. D’altra parte la portata scaricata dal sifone, una volta innescato il moto, dipende dal dislivello fra

i peli liberi nei due serbatoi. Ma, in ogni caso, vi è un limite alla portata scaricata, perché in nessun

punto la piezometrica potrà trovarsi a 10,33 m dalla quota geometrica della particella.

Nel caso rappresentato

in fig. 6.8 la

piezometrica passerà

dal punto M’ a

distanza di -10,33 m

dal punto M più alto

del sifone; da qui a

monte sarà rettilinea

ed orizzontale (liquido

perfetto); questa

posizione determina la

velocità, perché il

2

segmento v /2g è la

Figura 6.8 distanza dalla linea dei

carichi totali,

orizzontale per il li-

vello di A; dal livello

di B si traccia la linea piezometrica verso monte seguendo l’orizzontale finché la distanza dalla

generatrice superiore del tubo non tocca i -10,33 m (fig.6.8).

Da qui fino al punto M’ essa rimane parallela alla generatrice superiore del tubo.

Nel tratto in depressione il moto è anche in questo caso a canaletta. La velocità fino al punto M

risulta:  

  

2 10

,

33

v g z z

A M

La perdita di carico risulta:

 

2

v

 

           

10

,

33 10

,

33

H z z z z z z z z

 

A B A B A M M B

2

 

g

Inoltre, essendo 2

v

    ,

z H z

A B 2 g

sarà 90

2

v

    ;

H z z

A B 2 g

pertanto 2

v

     10

,

33 ;

z z z z

A B M B

2 g

2

v

   10

,

33

z z

A M

2 g

Si deve notare però che nel tratto in depressione la corrente è accelerata, e che nella zona di ritorno

a corrente in pressione si abbandona evidentemente l’ipotesi di corrente lineare (filetti rettilinei e

paralleli, quota piezometrica unica) per la quale è valido il teorema di Bernoulli per le correnti.

Si consideri infine che, nei casi esaminati, è spesso utile tracciare la linea dei carichi totali assoluta

e la piezometrica assoluta: esse non sono altro che le linee più alte di 10,33 m rispetto alla

corrispondente linea dei carichi totali e linea piezometrica relative, e fanno quindi riferimento alle

pressioni assolute (fig.6.9). Nel caso a, il

punto più alto M

del sifone rimane

al di sopra della

linea dei carichi

totali assoluta:

non vi può essere

nessuna particella

liquida nel punto

M, quindi non si

verifica il moto.

Nel caso b il

punto M si trova

al di sotto della

linea dei carichi

Figura 6.9a totali assoluta e si

può verificare il

moto.

Si traccia la piezometrica assoluta partendo da 10,33 m dal livello B, proseguendo in orizzontale

fino alla superficie superiore del tubo, poi seguendo questa fino al punto M e da qui a monte oriz-

zontalmente. 91

La distanza dalla linea

dei carichi totali

assoluta determina la

velocità, poiché ri-

mane vero 2

p v

   cost

a

z  2 g

anche se riferito alle

pressioni assolute.

Figura 6.9b 92

7.

Equazione globale dell’idrodinamica

7.1 L’equazione globale in moto permanente 

Consideriamo una massa fluida in moto, che in un certo istante t occupi il volume ds (fig. 7.1).

1 1 1

Sia v la velocità

1

all’istante t ;

1

immaginiamo ora che,

all’istante t = t +dt, la

2 1

massa considerata vada

ad occupare il volume

 ds e possegga la

2 2

velocità v .

2

Ricordando che nella

Meccanica la quantità

di moto di un corpo è

un vettore dato dal

prodotto della massa

del corpo per la sua



velocità, poichè 1

Figura 7.1 ds è la massa fluida

1

interessata, potremo

dire che la quantità di

moto iniziale è

 ds v

1 1 1 .

La quantità di moto finale è, allo stesso modo

 ds v

2 2 2. . .

Le forze che agiscono sono le forze di massa, G, e quelle di superficie La risultante è G +

L’impulso della forza risultante nell’intervallo dt è

(G+) dt .

Per il teorema dell’impulso, l’impulso di una forza che durante un intervallo dt agisce su un corpo è

uguale alla variazione della quantita di moto del corpo stesso ; pertanto :

 

(G+) dt = ds v - ds v ;

2 2 1 1

2 1

dividendo per dt :  

G+ = v v - v v

2 2 1 1

2 1;

ricordando la definizione di portata si ottiene : Qv Qv

G+ = -

2 1;

poniamo : 93

Qv = M

1 1

Qv = M .

2 2

Pertanto risulta G+ + M - M = 0

1 2

detta equazione globale dell’idrodinamica.

Si noti che M e M , che in idraulica chiamiamo “quantità di moto”, hanno le dimensioni di una

1 2

forza ; esse sono in effetti una quantità di moto nell’unità di tempo :

ds

 v

M = .

dt

 è la risultante delle forze di superficie, quindi tiene conto sia di quelle che agiscono sulla

 

superficie solida , sia di quelle che agiscono sulle superfici liquide e da cui il fluido

1 2

rispettivamente entra ed esce.

Come esempio, consideriamo ora un tratto di tubazione curva in un piano orizzontale (fig. 7.2), in

cui defluisca, in moto permanente, un liquido incomprimibile, e proponiamoci di determinare la

spinta che il liquido esercita sulla parete della curva stessa. Applichiamo l’equazione globale al

volume contenuto nella curva. Risulta : 

G+ + M - M = 0 ;

1 2

la spinta che la superficie di contorno

esercita sul fluido all’interno della curva si

può scomporre come segue :

   

= + +

1 2 L

dove è la spinta applicata dalla superficie

1

   

, quella applicata dalla superficie ,

1 2 L

2

quella applicata dalla superficie laterale.

Figura 7.2 L’equazione globale si scrive quindi come :

  

G + + + + M - M = 0 .

1 2 L 1 2

La spinta S che si vuole determinare è uguale e contraria a quella esercitata dalla parete della curva ,

quindi   

S = - = G + + + M - M

L 1 2 1 2.

Consideriamo le forze che agiscono sul piano orizzontale; l’equazione precedente diventa :

 

S = + + M - M

o 1 2 1 2. 94

I moduli dei vettori che compaiono nella precedente equazione risultano :

   

Qv = M ; Qv = M ; = p ;

1 1 2 2 1 1

 

= p

2 2

Effettuando la composizione dei

vettori come in fig. 7.3, si vede che

la componente orizzontale della

spinta esercitata dal fluido sulla

superficie del tubo, S è diretta verso

o,

l’esterno della curva.

Per tale motivo, nelle condotte in

pressione, si dispongono dei blocchi

d’ancoraggio all’esterno delle curve. Figura 7.3

7.2 L’equazione globale nel moto vario 

Per una dimostrazione più completa, consideriamo un volume isolato nella spazio, racchiuso da

una superficie , attraverso la quale passa una massa

fluida. Tale volume viene detto “volume di controllo” (fig.

7.4).

Ricordiamo l’equazione indefinita d’equilibrio

 

 

 

y

   

x z

( F - A) i j k

 

  

x y z

 

Si tratta di un’equazione differenziale che esprime un

legame tra proprietà locali della massa fluida in un certo

Figura 7.4 istante t : forza di massa per unità di massa, accelerazione

e sforzi; queste grandezze sono funzioni delle coordinate del punto della massa fluida che si

considera, oltre che del tempo , cioè : F = F (x,y,z,t)

A = A (x,y,z,t)

 

= (x,y,z,t).

Integrando l’equazione indefinita sul volume si ottiene : 95

 

 

   

y

  

  

x z .

d

( F - A) d i j k

 

  

x y z

 

 

Ricordiamo che è :    

v v v v

  

u v w

A =    

x y z t

E notiamo che risulta  

u

( u

v) v

 u

v

  

x x x

quindi  

  

u u

v v 

u v

  

x x x

e allo stesso modo :  

 

v v

v v 

v v

 y y

y  

 

w w

v v

  .

w v

 

 z z

z

Perciò si trova, considerando il fluido incomprimibile, :

       

  

 

u v w u v w

v v v v

   

       

 

  

 

 =

d

d

F d - d -

v  

   

 

 x y z t

x y z  

 

   

 

 

  

y 

 

x z d

i j k

 

  

= x y z

 

Ricordiamo l’equazione di continuità in forma locale

  

u v w

   ;

0

  

x y z

ricordiamo inoltre che, per il lemma di Green, se f , f , f , sono le componenti di una funzione f,

x y z

risulta 

 

f

   

f f

 

 

y  

     

x z ;

d f nx f ny f nz d

cos cos cos

  x y z

 

x y z

 

 

applicando quest’ultima formula

   

u v w

v v v  

  

  

      

  ;

d u cos nx v cos ny w cos nz d v d

v v v v

 n

  

x y z 

  

inoltre 96

 

 

 

  

 

 y         

 

x z cos cos cos

d nx ny nz d

 x y z

  

x y z 

 

e per il teorema di Cauchy       

cos nx cos ny cos nz

n x y z

infine    

d

F G

 Quindi l’equazione indefinita, integrata

sul volume diventa :  v

  

          0

d v d d

G v

n n 

t

  

ovvero      .

0

G M I 

  , ,

Se dividiamo la superficie in 0 1

 

(fig. 7.5), dove è la superficie in

2 1

cui il fluido entra, quella da cui il

2

fluido esce, quella da cui non entra e

0

non esce fluido, potremo porre

Figura 7.5 

  

v d

v M

n 1

1

   

v d

v M

n 2

 2

Questo secondo vettore risulta negativo perché la normale è per convenzione entrante nella

risulta quindi negativa. Pertanto

superficie; la v

n      

G M M I 0

1 2 

Si noti che è sempre rivolto “contro” la superficie , dall’esterno verso l’interno.

M 2

2

Infine  

v

 

 

     

I d d

v

 

t t

 

è la risultante delle inerzie locali, e rappresenta la variazione nell’unità di tempo della quantità di

I 

moto della massa fluida contenuta in .

Per le correnti lineari, essendo la direzione di coincidente con quella di ,

v

v n

2

v ;

 

      

2 2 d

v d v

M n n m 

2

v

  m

si pone 97

2

v

 

 d

2

v

 m

(coefficiente di ragguaglio della quantità di moto); per cui risulta

   Q v

M n

m  

Si può dimostrare che esiste una relazione tra il coefficiente di Coriolis e il coefficiente ,

 

 

  

1 3 1

7.3 Efflusso da un ugello

Come ulteriore esempio, consideriamo un ugello con C =1 (fig. 7.6) e determiniamo la componente

C

orizzontale della spinta che la corrente esercita sullo stesso.

Applicando il teorema di Bernoulli tra

le sezioni 1 e 2 risulta 2

2

p v p v

    

2 2

1 1

z z

 

2

1 2 2

g g

 

= = 1.

avendo posto 1 2

Considerando z = z ed essendo

1 2

 Figura 7.6

p = 0, si trova

2 2 2

p v v

 

1 1 2

 2 2

g g

  

 

2 2

p v v

1 2 1

2

Per l’equazione globale      ;

0

G M M

1 2

scomponendo la in   

 = + +

o 1 2,

  

dove è la spinta applicata dalla superficie laterale dell’ugello, e sono le spinte esercitate

L 1 2

rispettivamente dalle superfici 1 e 2, si trova :

         ;

0

G M M

1 2 1 2

L

Proiettanto sull’orizzontale         0 ;

M M

1 2 1 2

Lo

 è per definizione la spinta della parete sul fluido; noi stiamo cercando la componente

Lo , data da

orizzontale della spinta del fluido sulla parete, S

o

         .

S M M

1 2 1 2

o Lo 98

Ora, risulta   p A

1 1 1

  0

2 

 2

M A v

1 1 1

 2

M A v

2 2 2

quindi  

     

2 2

S p A A v A v

Lo

0 1 1 1 1 2 2

 

  

2 2

S p A A v A v

0 1 1 1 1 2 2

ma 

v A v A

1 1 2 2

quindi 2 2

v A

1 2 ;

2 2

v A

2 1

poniamo 2

A  2

2 m ;

2

A

1 A otteniamo

moltiplicando e dividendo il secondo termine per 1 

 2

v A 

   2

1 2

S p A A A v ;

0 1 1 1 1 2

A A 

 1 1

 

   

2 2

S p A A v m v

0 1 1 1 1 2

    

    

2 2 2 2

A v v A v m v

1 2 1 1 1 2

2

    

    

2 2 2 2 2 2

A v m v A m v m v

1 2 2 1 2 2

2     

    

2 2 2

A v m A m v m

1 1

1 2 1 2

2  

 

1

   

 

2 2 2

 

A v m m m

1

1 2 2

  99

 

2

m

1

 

    

 2 2

A v m m

 

1 2 2 2

 

 

2

m

1

 

  

 

2

A v m

 

1 2 2 2

 

 

 

2

m m

1 2

 

 

2

A v  

1 2 2

 

  2

 m

1

 2

A v

1 2 2

Essendo manifestamente  

2

 m

1

 

2

A v 0

1 2 2

risulta positiva, cioè diretta come e .

S v v

0 1 2

7.4 Perdite localizzate

Quando nelle tubazioni si verificano dei cambiamenti di sezione o di direzione la corrente non può

essere considerata

come gradualmente

variata e si verificano

delle perdite di ca-

rico localizzate.

Nella fig. 7.7 sono

b) Brusco restringimento schematizzate le re-

gioni sede dei moti

vorticosi nel caso di

un brusco allarga-

mento, di un brusco

restringimento, di

una curva e di una

saracinesca.

c) curva d) saracinesca Bisogna considerare

che in presenza di

Figura 7.7 uno spigolo o di una

curvatura accentuata si ha il distacco della corrente dalla parete con la formazione di zone che sono

sede di una intensa agitazione vorticosa. Questa agitazione vorticosa, che si esplica sia con azioni

normali che con azioni tangenziali, è mantenuta a spesa dell’energia meccanica della corrente. Il

liquido non si può quindi neanche considerare perfetto, e tuttavia l’applicazione dell’equazione

globale rende possibile la valutazione delle perdite di carico che si verificano, tenendo conto del

fatto che le azioni normali, nei casi considerati, sono prevalenti rispetto a quelle tangenziali. La

valutazione delle azioni tangenziali è complessa, ma si può tener conto anche di queste nel caso

delle perdite localizzate, come si mostrerà, tornando sull’argomento, nel capitolo 8. 100

7.4.1 Brusco allargamento

Questa perdita, detta anche perdita di Borda dal nome dello studioso che per primo si occupò di

essa, è da un punto di vista concettuale particolarmente importante dal momento che essa è presente

in tutte le altre perdite di carico localizzate. Consideriamo (fig. 7.8) il caso di una tubazione ad

asse orizzontale che passi bruscamente dal

H Carichi totali 2 al diametro D . La corrente che esce

diametro D

v /2g 1 2

2

Piezometrica dalla tubazione con diametro inferiore subisce una

progressiva espansione con le caratteristiche

p /

p / 2

1 precedentemente evidenziate che la porta, dopo un

D D breve tratto, a rioccupare l’intera sezione della

1 2 . Per calcolare la perdita

tubazione con diametro D

2

di carico localizzata applichiamo il teorema di

1 2 Bernoulli fra l’ultima sezione del tratto a diametro

Figura 7.8 (sezione 1) e la prima sezione del tratto a

D

1

(sezione 2) in cui la corrente si può ritenere gradualmente variata. Risulta

diametro D

2 2 2

p V p V

        

1 2

1 2

z H z

1 1 2 2

 

g g

2 2

Considerando come asse di riferimento l’orizzontale passante per il baricentro di una generica

sezione e considerando pari a 1 il coefficiente di Coriolis si ottiene

 

1 1

    

2 2

H p p V V

( )

1 2 1 2

 g

2

Per giungere ad una espressione più pratica per le applicazioni è opportuno individuare il legame fra

la variazione di pressione e le velocità. A tal fine è possibile impiegare l’equazione globale

dell’equilibrio idrodinamico in condizioni di moto permanente applicata al volume fluido compreso

fra le sezioni fra le quali è stato applicato il teorema di Bernoulli.

Essa fornisce    

G Π M M 0

1 2

 nelle varie aliquote

e scomponendo          

G Π M M 0

cc

1 2 0 1 2

dove con si è indicata l’azione che la superficie 1, appartenente alla tubazione con diametro D ,

1

1  

esercita sul volume fluido, con quella esercitata dalla corona circolare, con quella esercitata

cc 2

 

dalla sezione 2 ed, infine, con quella esercitata dalla superficie di contorno. Questa , poichè

0 0

si è visto che non si può considerare il liquido perfetto, avrà anche una componente tangenziale.

Proiettando l’ultima equazione sull’orizzontale, possiamo trascurare la componente orizzontale di

 , ottenendo:

0        

M M 0

cc

1 1 2 2

con i vettori orientati come in fig. 7.9. ed -M sono

Le quantità di moto M

1 2

applicate nei baricentri delle

  e

relative sezioni; le spinte ,

1 cc

 sono applicate, a rigore, nei

2

centri di spinta, ma, nei casi pratici,

a causa delle piccole distanze fra

Figura 7.9 101

essi e i corrispondenti baricentri non si commette sensibile errore considerandole applicate in questi

ultimi.

I moduli valgono :       

=p A , =p A , =p (A -A ), = QV e = QV .

1 1 1 2 2 2 cc 1 1 2 1 1 2 2

 si è ipotizzato che la distribuzione delle pressioni sulla corona

Nel calcolare il modulo di cc

circolare sia idrostatica e con valori uguali a quelli che competono alla sezione 11. Relativamente

alle quantità di moto sono stati posti pari a 1 i corrispondenti coefficienti di ragguaglio.

Effettuando le sostituzioni si ottiene l’equazione scalare :

      

p A p ( A A ) QV p A QV

1 1 1 2 1 1 2 2 2

da cui considerando Q=A V , dopo aver semplificato risulta

2 2  

   

p p V V V

2 1 2 1 2

Questa espressione fornisce il legame cercato fra la variazione di pressione e le velocità; inoltre essa

è maggiore di p dal momento che V >V . Pertanto, in

permette di evidenziare che la pressione p

2 1 1 2

corrispondenza di un brusco allargamento si ha un abbassamento della linea dei carichi totali e un

aumento della quota piezometrica, come mostrato in fig. 7.8. Dal momento che la corrente non è

gradualmente variata il tracciamento di linea dei carichi totali e piezometrica non ha un preciso

significato fisico, ma ha essenzialmente il valore di raccordo delle corrispondenti linee relative ai

tratti con moto uniforme.

Sostituendo nell’espressione ottenuta dal al teorema di Bernoulli il valore delle differenze di

pressioni ottenuto dall’applicazione dell’equazione globale risulta in definitiva

 

2

V V

  1 2

H g

2

che permette di dire che la perdita di carico per brusco allargamento è pari all’altezza cinetica della

velocità perduta, che è la conclusione a cui pervenne Borda.

Jean Charles Borda, 1733- 1799 , ingegnere militare francese, autore di molti lavori di carattere

fisico e geografico, e tra gli altri un importante studio “Sull’efflusso dei fluidi da vasche attraverso

orifizi”.

7.4.2 Perdita d’imbocco

Si é visto che, nel caso di efflusso con bocca addizionale esterna, si viene a creare una perdita di ca-

2

v

rico pari a ; lo stesso fenomeno avviene all’imbocco di una tubazione che parte da un serba-

0 ,

5 2 g Figura 7.10 102

toio, quando l’imbocco stesso non é ben raccordato.

Nella condotta collegante due serbatoi, la linea dei carichi totali si dovrà condurre da monte, a di-

2

/2g rispetto all’orizzontale passante per la superficie libera del serbatoio A.

stanza 0,5 v

Si potrà ancora scrivere, per estensione, il teorema di Bernoulli tra i punti 1 e 2, ma si dovrà tener

2

v .

conto della perdita di imbocco, pari a 0 ,

5 2 g

Con riferimento alla fig. 7.10, risulta 2 2

p v p v

      

1 1 2 2

z h z ;

 

1 2

g g

2 2

= 0, risulta

posto al solito v

1     2

p p v

   

   

1 2 2 ,

1

,

5

z z

   

 

1 2 2 g

   

da cui 2

v h

 

2 h

0

,

67

g

2 1

,

5

2

v 2 gh

  

2

h 1

,

5 e v 0

,

82 2 gh

2

2 g 1

,

5

7.4.3 Perdita di sbocco

Come caso particolare della partita per brusco allargamento si può considerare la perdita di sbocco.

Si tenga presente che, sempre con riferimento alla fig. 7.10, se si applica il teorema di Bernoulli a

una traiettoria che va dal punto 1 al punto 2, si può mettere in evidenza l’altezza cinetica della

sezione 2, conoscendo nella stessa la quota piezometrica. Tuttavia, se si applica il teorema di

Bernoulli dal punto 2 ad un punto all’interno del serbatoio di valle, dove la velocità è nulla, ci si

trova a dover considerare una perdita di carico pari proprio all’altezza cinetica. Questa perdita di

carico è detta perdita di sbocco, e si può vedere come un caso della perdita di brusco allargamento.

Infatti in questo caso si può considerare il serbatoio come la tubazione a diametro più grande e si

può ritenere trascurabile la velocità ad essa relativa. Di conseguenza la perdita di energia è pari

all’energia cinetica all’uscita cioè 2

V

   2

H 2 g

dove V è la velocità di sbocco ed tiene conto della sua non uniforme distribuzione.

2

7.5 Efflusso da condotta con ugello

Lo stesso risultato si ha nel caso di sbocco in atmosfera, sempre che siano rispettate le condizioni

per le quali la piezometrica non scenda al di sotto di 10,33 m dalla condotta (fig. 7.11):

v 0

,

82 2 gh

2 103

Aggiungendo un ugello

all’estremità della con-

dotta, come in fig. 7.12,

Figura ,

con m = e con C C

noto, si avrà : 2

2 v

v  

C

B

0

,

5 h

2 g 2 g

ma

Figura 7.11 

  

v C v ; v C v

B C C B C C

2

 2

v

 

0

,

5  

C

 

C v h

C C

g g

2 2

 

Figura 7.12  

 2 2 2

C v

 

C C h

0

,

5 1

  2 g

2

 1

 

v 2 gh

c 

2 2

0

,

5 C m 1

C 104

Poichè è  

2 2

0

,

5 1 1

,

5

C m

C

all’uscita si avrà sempre un guadagno di velocità rispetto alla condotta senza ugello.

= 0,8 risulta:

Per esempio, per m= 0,25 e C

C  

v 2 gh 0

,

99

c

mentre per m= 0,10 e = 0,61 risulta:

C C   .

v 2 gh 0

,

999

c e Q le

Si può osservare infine che con l’ugello vi è sempre una riduzione di portata . Dette Q

u

portate rispettivamente con e senza l’ugello, risulta infatti : 1

 

    

2

Q v C v C gh

u B C C C 

2 2

0

,

5 1

C m

C

mentre è 2 gh

 

Q 1

,

5

< Q poichè è

Risulta Q

u 1 2 gh

   

2

C gh

C 

2 2

0

,

5 1 1

,

5

C m

C

Risulta infatti 

2 2

C m

0

,

5 1

C

  

C C 1

,

5

essendo 

2 2

C m

0

,

5 1

2 C

  

2 2

C C 1

,

5

poichè è 2 

2

C m 1

C

2  

2 2 2

C m C m

1

,

5 0

,

5 1

C C 105

8.

Moto dei fluidi reali. Principi

8.1 Regimi di moto

Nei fluidi reali, il moto comporta lo sviluppo di azioni mutue tra le particelle, a differenza di quanto

supposto nei fluidi perfetti. Tali azioni derivano dal fatto che, nel moto di un fluido reale,

intervengono due caratteristiche: la viscosità e l’agitazione turbolenta. La prima dà luogo ad azioni

tangenziali tra le particelle; la seconda dà luogo ad urti e a scambio di quantità di moto: entrambe

provocano perdita di energia meccanica.

Il moto si può svolgere in presenza delle sole azioni viscose: in tal caso si parla di moto in regime

laminare, o moto viscoso o anche moto regolare.

Quando è presente l’agitazione turbolenta si parla di moto turbolento; nel moto turbolento possono

coesistere le azioni viscose e l’agitazione turbolenta, ovvero, quest’ultima può prevalere sulle azioni

viscose. In ogni caso saremo in presenza di perdita di

carico. Reynolds mostrò che (fig. 8.1),

introducendo un filetto colorato in una

Figura 8.1 tubazione in cui l’acqua è in moto, fino a una

certa velocità V il filetto si mantiene

1 >V esso si

rettilineo, mentre per velocità V

2 1

disperde nella massa fluida in moto. Nel

primo caso il moto è laminare; nel secondo è

turbolento.

Osborne Reynolds (1842-1912), insegnò a

Manchester, e fu autore di studi sperimentali sulla resistenza al moto sulla turbolenza. Egli per

 

primo mostrò la dipendenza della nascita dei vortici turbolenti dal numero adimensionale v d

che fu poi detto numero di Reynolds.

8.2 Sforzo tangenziale e perdita di carico

Consideriamo un tratto di una corrente

lineare in moto uniforme all’interno di una

condotta cilindrica (fig. 8.2), e

proponiamoci di determinare l’azione che la

corrente esercita sulla superficie del tubo. A

tale scopo applichiamo l’equazione globale

al volume in figura , considerando il moto

permanente :      ;

G M M 0

1 2

potremo porre Figura 8.2 108

 

 

G s

 

M M 0

1 2

 

    

n n

p p

1 1 2 2 0

 è l’azione esercitata sul fluido dalla superficie cilindrica.

dove 0

L’azione esercitata dal liquido sulla superficie, R , è detta azione di trascinamento; ovviamente

risulta  

R= 

proiettando sull’asse l’equazione globale si ottiene

 

   

   

sen

s p p R

1 2

ed essendo 

z z

  1 2

sen 

s

si ottiene anche  

p p

 

   

 

   

1 2

z z R

 

 

1 2  

h

Posto + = h , e detta la differenza tra le quote piezometriche nelle sezioni 1 e 2 è

z p/  

 

p p R

 

  

 

   1 2

h z z

 

 

1 2

   

 

 

Si può osservare che il rapporto al secondo membro ha le dimensioni di una lunghezza, essendo

   

R F 

   L

   3 2

F L L

h

La formula evidenzia che esiste una differenza tra le quote piezometriche se esiste una forza

tangenziale o azione di trascinamento.

h/s

Posto J =

risulta  

   

p p

   

   

     

1 2 .

 

R z z s J

   

 

1 2

   

 

J è la pendenza della piezometrica, cioè la tangente dell’angolo compreso tra l’orizzontale e la linea

piezometrica.

Teniamo presente che, trattandosi di un fluido reale e non di un fluido perfetto, tra le sezioni 1 e 2

vi sarà una certa perdita di carico totale, H, che si potrà esprimere come

2 2

p v p v

 

      

1 1 2 2

( ) ( )

H z z

 

1 2

2 2

g g

= )

e poichè il moto è uniforme (

v v

1 2 109

   

p p

   

      

1 2

H z z h

   

 

1 2

   

Quindi  

 

R H

e anche 

R s

 

H   

s s

Al numeratore si trova il lavoro svolto dalla forza per lo spostamento ; al denominatore si trova

R

H

, quindi, rappresenta l’energia perduta per unità di peso.

il peso dell’elemento fluido considerato. s

Come si può notare, essa è proporzionale alla lunghezza considerata, , e all’azione di

trascinamento . L’energia perduta per unità di peso e per unità di lunghezza, o perdita unitaria,è, in

R

valore assoluto, 

h

J 

s  s

Possiamo facilmente esprimere lo sforzo tangenziale unitario alla parete, , dividendo per ,

C

0

 s,

dove è il contorno del prisma di sezione e lunghezza trovando

C   

s J

 

0 

C s

  

posto / = (raggio idraulico), è = . Si potrà facilmente verificare che le dimensioni del

C R R J

0

i i 

raggio idraulico sono quelle di una lunghezza , mentre quelle di sono quelle di uno sforzo,

0

-1 -2

risultando pari a [L M T ].

Si noti che spesso si pone, in termini differenziali dh

 

J ds

dove il differenziale di h è, secondo l’analisi matematica, dh = h -h

2 1.

Infatti, avendo definito    

p p

   

    

1 2 ,

h z z

   

 

1 2

   

positivo, essendo positivo.

in tal modo si ottiene un valore di J ds

Il segno negativo indica che la quota piezometrica diminuisce nel senso del moto. Ciò può essere

facilmente verificato osservando il moto uniforme all’interno di una tubazione munita di

piezometri. La linea che congiunge i livelli nei piezometri (piezometrica) è una retta; inoltre la sua

pendenza risulta decrescere col raggio idraulico:

J 

 0

J  R i

Possiamo inoltre considerare che risulterà funzione della velocità, in base alla sua definizione;

0

sarà quindi,  

J f v 110

 

Non conosciamo ancora razionalmente, a questo punto, la funzione = ( ); è però evidente che

v

0 0

 cresce con la velocità del fluido.

0 e , risulta (fig.

Nel caso di una condotta a diametro costante che collega due serbatoi di quota z z

A B

8.3), 2 2 2 2

v v v v

         

z z H JL

A B C C

2 2 2 2

g g g g

dove con 2

v

 C 2 g

si è indicata la somma

delle perdite concentrate

(per esempio di imbocco e

di brusco allargamento)

eventualmente presenti.

Figura 8.3

Se si tiene conto che è 

 0

J  R i 

si vede che, per una tubazione di data lunghezza e sezione, è funzione di e quindi di . Basterà

J v

0

 

dunque, conoscere = ( ), per conoscere anche = ( ) e poter porre:

v J J v

0 0 2

  v

  

z z J v L k

A B 2 g

.

e risolvere il problema del moto rispetto alla sola incognita v

8.3 Formule pratiche di moto uniforme.

Ci occuperemo più in là, dopo aver posto le dovute basi teoriche, della struttura delle formule di

moto uniforme.Tutte le formule pratiche della forma

 

J J v

hanno origine sperimentale e per il momento ci limiteremo a considerare solo tale aspetto, che del

resto è sufficiente a risolvere il problema del moto come sopra definito.

Facciamo riferimento, anzitutto, a una formula del tutto generale, detta formula di Darcy-Weisbach,

che pone 2

v

J f 2 gD

e nella quale il coefficiente , detto indice di resistenza, è adimensionale. Tale formulazione è utile

f

perchè sarà 2 2

v v

    

z z JL

A B C

2 2

g g 111

2 2 2

f v v v

    

z z L

A B C

2 2 2

D g g g

2

 f v

    

1

z z L 

A B C 2

 D g

È il caso di precisare subito che il campo di variazione di usualmente è compreso tra 0,01 e 0,1.

f

Henry Philibert G. Darcy (1803-1858), nato a Dijon, ingegnere dei Ponts et Chaussèes (il Genio

Civile francese); condusse esperienze sul moto di tubazioni e sul moto in filtrazione. “Les fontaines

publiques de la ville de Dijon” è un suo trattato del 1856, nel quale dava il risultato dei suoi studi

sul moto di filtrazione.

Julius Weisbach (1806-1871), professore di fisica matematica alla scuola mineraria di Friburgo,

autore di esperienze sul moto dei fluidi; egli per primo espresse la legge di resistenza al moto nella

forma oggi nota come formula di Darcy-Weisbach.

8.4 Formule per il moto laminare

Come si è detto, si possono distinguere due regimi di moto, quello laminare e quello turbolento. Nel

primo, esistono solo le azioni tangenziali determinate da un’importante proprietà dei fluidi, la

viscosità.

La viscosità è definita, attraverso un semplice schema, dalla formula di Newton .

Consideriamo due strati di fluido di area A, a distanza infinitesima dn, e in moto l’uno con velocità

v e l’altro con velocità v+dv. La forza F che si esercita tra i due strati è data da

dv

 ,

F A dn

 

dove è un coefficiente detto appunto “viscosità”. Poichè è = F/A, risulta

dv

 

 dn d

e

  ;

dv

dn

da qui si possono ricavare le

dimensioni di , che risultano

   

 

    

 

1 2 1 1

M L T T M L T

Figura 8.4 nel Sistema Internazionale,

oppure

 

 

 

 2 nel Sistema Tecnico.

F L T 112

  -4 2

Per l’acqua a 10 °C, 10 kg s/m .

Per il moto laminare, fin dal 1800, attraverso separate indagini, un ricercatore tedesco, Hagen e un

medico francese, Poiseuille, trovarono, per la sezione circolare, una formula che fa dipendere la

perdita di carico unitaria J dalla viscosità, dalla velocità, dal diametro D della tubazione e dal peso

specifico del fluido, formula detta appunto di Hagen e Poiseuille:

32 v

J  2

D

Gottehif Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884), ingegnere tedesco, nato a Koningsberg, eseguì

prove sperimentali su tubi di rame di diametro da 2,5 a 6 mm, con acqua a diversa temperatura per

variare la viscosità. Egli per primo rilevò l’esistenza di due diversi tipi di moto.

Louis Pouiseuille (1799-1869) era un medico francese, interessato al moto del sangue nelle vene.

Condusse esperienze con tubi di diametro molto piccolo( 3/10 mm a 0,14 mm ), pervenendo a una

formula empirica del moto regolare. 

Dal confronto con la formula di Darcy Weisbach, risulta

2 32

f v v

  2

2 g D D

 64

f  v D

0.1  Figura 8.5

vD

Re

f 

0.01

100 1000 10000

Re

vD 

Converrà qui notare che il fattore / è anch’esso adimensionale. Solitamente si pone

 v D

 ;

Re 

tale gruppo adimensionale viene denominato “numero di Reynolds ”; pertanto f=64/Re

Passando ai logaritmi, si ottiene log f = log 64 – log Re

È possibile riportare in un grafico la variazione di log con log ; si otterrà una retta a pendenza

f Re 

= 800 2000. Si avrà quindi,

pari a –1; si deve notare che il moto laminare è stabile per Re

0,03 (fig. 8.5).

f = 0,08 113

 

Possiamo in definitiva dire che è crescente con e decrescente con , V e D.

f  

2

, questa è crescente con e e decrescente con e .

Se invece ci riferiamo a J v D

La formula di Hagen e Poiseuille è valida solo per tubazioni a sezione circolare; nel moto laminare

infatti la forma della sezione ha importanza nel determinare le resistenze al moto.

8.5 Formule per il moto turbolento

Al contrario di quanto accade per il moto laminare, le formule di moto uniforme per regime

turbolento sono valide sia per le condotte che per i canali, dipendendo poco dalla forma della

sezione. Si usa pertanto esprimere tali formule in funzione di una grandezza geometrica della

generica sezione. Tale grandezza è il cosiddetto raggio idraulico , pari al rapporto tra area e

R

i

contorno bagnato (fig. 8.6): A

R i C

Si è d’altra parte visto che lo sforzo tangenziale

unitario è proporzionale al raggio idraulico

 

 R J

0 i

Nella sezione circolare, risulta

2

D D

 

  

, ,

A C D R i

4 4

Figura 8.6

con ciò la formula di Darcy Weisbach diventa: 2

f v

J 8 g R i

Nelle applicazioni pratiche alle tubazioni e ai canali, dalla fine dell’800 è in uso la formula

 (Chèzy)

v R J

i

Antoine Chèzy (1718-1798), ingegnere, docente dell’Ecole des Ponts et Chaussèes, autore di studi

sulla resistenza al moto, in particolare in connessione con l’utilizzazione dell’acqua dell’Yvette per

un acquedotto di Parigi.Le formule da lui suggerite furono pubblicate da un suo allievo dopo la sua

.

morte ed ebbero successo solo all’inizio del 1800

 sono

Le dimensioni di     

 

   

  

1 1 2 1 2 1

L T L L T

cioè il quadrato di ha le dimensioni di un’accelerazione:

   

 

 

2 2

L T

 è un coefficiente di velocità: maggiore è , maggiore è a parità di altre condizioni.

v,

 è a sua volta dipendente da e da un coefficiente che indica la natura

Nella formula di Chèzy, R

i

della parete, e che fu espresso da Bazin come 87 R

  i

R i

e da Kutter come 114

100 R

  i

R m

i

Henri Emile Bazin (1829-1917), nato a Nancy, fu assistente di Darcy durante gli esperimenti

condotti da quest’ultimo sulla resistenza al moto. Autore di un trattato sui canali e di esperienze

sugli stramazzi, che diedero luogo alla nota formula per lo stramazzo rettangolare senza

contrazioni sui lati.

Wilheem Rudolf Kutter (1818-1888), ingegnere svizzero, insieme a Emile Oscar Ganguillet (1818 -

1894) condusse esperienze sul moto a superficie libera, che diedero luogo ai valori dei coefficienti

oggi noti come di Kutter.

 ) 

Possiamo mostrare che è crescente con (a pari e e decrescente con e (a pari )

R m m R

i i

100

  m

1 R i

e sono, dunque, coefficienti di scabrezza.

m

Consideriamo la formula di Chèzy scritta come 2

v

J  2 R i

2

Possiamo notare che, essendo è crescente con , a parità di scabrezza, di conseguenza è

R J

i

(a pari ), e decrescente con (a pari

crescente con 2 R R v).

v i i

Per confronto con la formula di Darcy-Weisbach,

2 2

f v v

  2

8 g R R

i i

8 g

f  2

Dunque, l’indice di resistenza in regime turbolento è decrescente con (a parità di altre condizioni)

R

.

e crescente con la scabrezza, indicata da o Esso però, al contrario di quanto accade nel moto

m

laminare, è indipendente da v.

Un’altra formula nota fin dall’800, e applicata al moto turbolento sia in canali che in condotte, è

quella detta di GaucklerStrickler  2 3 1 2

v K R J

i

o quella, più nota nel mondo anglosassone, di Manning :

1

 2 3 1 2

v R J

i

n 1/3

dove il coefficiente K che compare nella prima è un coefficiente di velocità, con dimensioni [L

-1 ], mentre il coefficiente n che compare nella seconda, essendo = 1/ , è un coefficiente di

T n K

-1/3 T].

scabrezza, con dimensioni [L

Philippe Gaspard Gauckler (1826-1905) era ingegnere dei Ponts et Chaussèes.

Robert Manning, irlandese (1816-1897), pervenne ad una formula in tutto simile a quella di

Gauckler. 115

Queste due formule, per la loro struttura algebrica, sono dette formule monomie; in esse infatti, o

K

sono indipendenti da ; risulta

n R

i 2

v

J 2 4 3

K R i

con considerazioni analoge a quelle fatte per la formula di Chèzy. Del resto, per confronto con

quest’ultima, risulta   2 3

R J K R J

i i

 

1 2 2 3

R K R

i i 1

 

 

  

2 3 1 2 1 6 1 6

K R K R R

i i i

n

che dà crescente con ; e per confronto con la formula di Darcy-Weisbach risulta:

R

i 2

8 8

g n g

 

f 2 1 3 1 3

K R R

i i

con considerazioni del tutto analoghe a quelle fatte, e cioè che l’indice di resistenza decresce con la

dimensione caratteristica della corrente e cresce con la scabrezza, mentre è indipendente da Si

v.

1/3 -1 1/3 -1

T ] e i suoi valori sono espressi in m s ; mentre le dimensioni

noti che ha le dimensioni di [L

K -1/3 ].

di n sono [T L

Per le condotte metalliche degli acquedotti, una classica formula in uso fin dal 1800, per 175

mm<D<400 mm, è quella di Darcy 2

Q

J 5

D

dove è 0

,

000042

  

0

,

00164 D

  

5 -6 2 -1 2 -2

= [L ] [L T ] = [L T ], cioè 1/ = [L T ] ( ha le dimensioni dell’inverso di

Si osservi che

una accelerazione).

Per confrontare e poniamo

f  

2

 

2 2 2 4

f v v D

 5

2 g D D

  2

f 

2 16

g D D

1  

 2

f g

8

Anche qui f è indipendente da v e decrescente con il diametro.

sullo stesso grafico adottato per il moto laminare (log ,

Se si volesse rappresentare la variazione di f f

log ), dovremmo ricordare che risulta, a seconda della formula che si vuole impiegare, si trova

Re 116

8 g

 (Chèzy)

f  2

2 8

n g

 (Manning)

f 1 3

R i

0.1 D <D <D

f Figura 8.7

1 2 3

D

1 D

2 D

3

0.01 Re

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

 

2 g

 (Darcy)

f 8

Una più recente formula è quella di Prandtl 1

f  

 1

 

2 log 3

,

715 

 D

Dove D è il diametro della tubazione e una variabile che ne caratterizza la scabrezza.

Pertanto, non dipende dal numero di Reynolds, ma è sempre decrescente col diametro e crescente

f

con la scabrezza. Sul diagramma avremo per esempio, a parità di scabrezza, una rappresentazione

come quella in fig. 8.7, nella quale f appare costante al variare di Re, pur variando con D.

 2 .

Si noterà inoltre che, in tutte le formule del moto turbolento finora esposte, si trova J v

Pur restando nel campo del moto turbolento, sono note alcune altre formule, per esempio quella di

Von Kàrman 

1 2

,

51 

  2 log 

 Re 

f f

o quella di Colebrook e White 

 

1 1 2

,

51 

   ,

2 log 

 3

,

715 Re

D 

f f

nelle quali J è proporzionale a v elevato a un esponente diverso da 2. L’analisi dimensionale, nel

successivo paragrafo, aiuta a riconoscere le ragioni di questa diversità. 117

8.6 Le formule di moto attraverso l’analisi adimensionale. 

Si è finora visto che, nel moto laminare, risulta J proporzionale a v (J mentre nel moto

v),

turbolento, secondo le formule classiche, è ; inoltre, per alcune tubazioni in uso attualmente, è

2

J v

 .

1,75

J v

Cercheremo di capire quali ragioni siano alla base di ciò attraverso l’analisi dimensionale delle

grandezze in gioco. Possiamo,allo scopo, utilizzare il metodo di Buckingham, detto anche teorema

.

Edgar Buckingham, fisico-matematico americano, morto nel 1940, autore di ricerche in teoria dei

modelli e analisi dimensionale, in particolare di un teorema fondamentale per la teoria della

similitudine meccanica .

Sia F   

, , ..., 0

F a a a

1 2 m 

,a , a .... contenenti (n 3) grandezze fondamentali (si ricorda che

una funzione di variabili a n

m 1 2 3

nella meccanica le grandezze fondamentali sono lunghezza, massa, tempo nel lunghezza, forza e

SI;

tempo nel ST). , , ..., per esprimere le altre, è possibile trasformare la funzione in

Scelte delle variabili a a F

n a

1 2 m

una funzione di parametri adimensionali:

m-n  

    

, , ..., 0

n

1 2 m

Per poter fare ciò, le variabili utilizzate devono contenere tutte le grandezze fondamentali che

n

compaiono in e devono inoltre risultare meccanicamente indipendenti (non deve essere cioè

F,

possibile ottenere un parametro adimensionale semplicemente moltiplicando tra di loro tali variabili

elevate a qualsiasi potenza).

In altri termini, non deve essere    

a a a

1 2 3

 adimensionale; ovvero, se le dimensioni di , , sono

con a a a

1 2 3

   x y z

a L M T

1 1 1

1

   x y z

2 2 2

a L M T

2

   x y z

3 3 3

a L M T

3

non deve essere:         

       0 0 0

x x x y y y z z z

1 2 3 1 2 3 1 2 3

L M T L M T

e quindi non deve esistere una soluzione non nulla del sistema

  

  

 0

x x x

1 2 3

  

   0

 y y y

1 2 3

  

   0

 z z z

1 2 3

per cui deve essere x x x

1 2 3  0

y y y

1 2 3

z z z

1 2 3 118

 

È il caso di precisare che sia la funzione che la funzione sono incognite a priori; il teorema

F

facilita lo studio del fenomeno per via sperimentale, poiche riduce il numero di variabili

indipendenti da considerare.

8.6.1 Moto laminare

Mostriamo ora i risultati cui si perviene nel caso di moto laminare. , facilmente misurabile, per

Nel moto laminare, l’esperienza mostra che la perdita di carico unitaria J

un dato liquido è funzione di , ,

v R

i  

 , ,

J J v R i

  

= , risulta, sempre per lo stesso liquido ( = cost),

Ricordando che si è trovato R J

0 i  

  

 , ,

v R

0 0 i

e per la sezione circolare  

  

 , ,

v D

0 0 

, e è la seguente:

La struttura dimensionale delle variabili v D e 0

   -1 -1

[M L T ]

v -1

[L T ]

D [L]

   

-1 -2

[M L T ]

0

 

Si possono scegliere , e come variabili che ci permettano di esprimere anche . Le tre

v D 

variabili saranno dette variabili fondamentali del problema.

Potremo facilmente verificare che esse sono dimensionalmente indipendenti, in quanto risulta

1 0 0

 

1 1 1 1

 

1 1 0

In pratica dovremmo trovare

  

 v D

 

0 , ,

 

           

  

 

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

v D v D v D

v D

in cui i rapporti scritti sono adimensionali.

 0 , sarà:

Pertanto, per il rapporto   

 v D

1 1 1

       

  

    

1 2 1 1 1

1 1 1

M L T M L T L T L

da cui, per il principio di omogeneità dimensionale, si ricavano tre equazioni:

per M: 1 1

  

    

1

per L: 1 1 1

 

   

per T: 2 1 1

  

= 1; = 1; = -1 e il parametro adimensionale è

e quindi risulta: 1 1 1 119

 D

0

 v

per gli altri rapporti si troverà, analogamente

   

= 1, = 0, = 0

2 2 2

   

= 0, = 1, = 0

3 3 3

   

= 0, = 0, =1

4 4 4

per cui infine  D  

 

0 1

, 1

, 1 cost

 v  v

  cost

0 D

Ricordiamo ora che è 2 g D J

f 2

v

e poiché D

 

 J

0 4

risulta  

2 8

g D

 

0 0

f  2

D v

 2

v

4

Ponendo 

  0

 2

v

= 8 , ma abbiamo ottenuto

sarà f  v

  cost

0 D

quindi  v

  cost

 2

D v

cost

   v D

vD 

Il parametro adimensionale / = è il numero di Reynolds.

Re 120

Basta ora riprendere in esame la  v

  cost

0 D

e scrivere  v

D

  cost

J

4 D

per rendersi conto che nel moto laminare risulta 

J v

Riprendiamo in esame la cost

  Re vD 

= / e il valore di

è evidente che basterà ottenere da un solo esperimento il valore di Re

 4

D J

  per calcolare la costante. L’esperimento si può condurre molto facilente con un piccolo

 2

v

tubo di diametro D, misurando la portata e ricavando quindi la velocità e il numero di Reynolds;

 

misurando la cadente J, si potrà quindi ricavare . Il prodotto R dà la costante cercata. Dalle

e 

esperienze condotte da vari ricercatori, tale costante risulta pari a 8. Si otterrà infine = 8/ e

Re

= 64/

quindi f Re.

8.6.2 Moto puramente turbolento

Nel campo di applicabilità delle formule di moto turbolento con proporzionale a , l’esperienza

2

J v

mostra che è  

   

 , , ,

R v

0 0 i

 si è indicata la scabrezza della parete, rappresentata da una dimensione lineare. Per una

dove con

sezione circolare è  

   

 , , ,

D v

0 0

 , e D come variabili fondamentali. La loro struttura dimensionale è la seguente :

Assumeremo v  -3

= M L

  -1

v = L T

 

D = L .

Risulta 1 0 0

 

3 1 1 1

0 1 0 

, otterremo

pertanto le tre grandezze sono meccanicamente indipendenti. Dal teorema 121

 

 

  

0 ,

 2  

v D

 

   ;

cioè anche  

D

0.1 /D=0,05

f Figura 8.8

/D=0,01

 /D=0,001

0.01 Re

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

dunque 

 

D

  

 2  

J v

4 

 D

e  

2  

4 v 

  

J  

D D

cioè  2

J v

/D.

Inoltre J risulta funzione del rapporto

Ricordando che è = 8, risulta

f 

 

  

f  

D

Per interpretare tale andamento, sulla base di elaborazioni teoriche e risultati sperimentali, Prandtl

diede all’indice di resistenza la forma 2

 

 

 

1

f  

 

1

 

  

2 log

 

3

,

715

 

 

D

   

dove (dimensionalmente L ) è la scabrezza. non dipende da , ed è crescente con / . Sul

f v D

 

grafico in fig. 8.8, troveremo delle rette orizzontali a pari / , con gli / più piccoli in basso. Si

D D 122

noti che il moto puramente turbolento è caratterizzato da valori del numero di Reynolds molto

5 6

elevati, dell’ordine di 10 o 10 .

Il calcolo di f permette di valutare subito la pendenza piezometrica

2

f v

J 2 g D

Ludwig Prandtl, 1875-1953, ingegnere tedesco, insegnò prima al politecnico di Hannover, poi fu

chiamato dal fisico Klein all’Università di Gottinga, dove fondò una grande scuola di Meccanica

dei fluidi.

8.6.3 Moto turbolento in tubi lisci

Per in alcuni tubazioni in uso attualmente, in materiale plastico, si può impiegare, tra le altre, una

classica formula, proposta da Blasius per tubazioni in ottone, e che dà

 0 , 25

0

,

316

f Re

Si noterà che, anche qui, decresce con (anche se non molto); inoltre decresce con .

f D f v

Si tratta quindi, di una formula di struttura diversa da quelle viste nel paragrafo precedente, nelle

quali non c’è dipendenza da .

v

Se vogliamo far riferimento a J, otteniamo 0 , 25

 

2 g D J  

 0

,

316  

2  

v v D

0.1 /D=0,05

f /D=0,01

 /D=0,001

0.01 Re

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

Figura 8.9

cioè 0 , 25

 

0

,

316  

 1

, 75

J v

 

2  

g D D

1,75

nella quale dipende da , e non da come nelle formule precedenti.

2

J v v 123

Se supponiamo che esista una condizione di moto turbolento per la quale sia

 

   

 , , ,

v D

0 0

 

scelte , e per rappresentare le altre variabili, otterremo dal teorema

v D  

 

  

0  

 2  

v D

v

cioè  

 

 Re

ed anche  

f Re

Un’altra classica formula per il regime di tubi lisci è quella di Prandtl-Von Kármán

 

1 2

,

51

 

 

2

,

03 log  

Re

 

f f

che, come si vede, è una forma implicita.

Si noti, infine, che è possibile riportare sullo stesso grafico le leggi ottenute per il moto laminare

(fig. 8.9). 64

f  v D

e per il moto turbolento in tubi lisci 

0 , 25

 

v D

 

 0

,

316

f  

 

Sul diagramma logaritmico la legge dei tubi lisci, come si può dedurre dalla formula di Blasius, è

rappresentata da una retta.

Paul Richard Heinrich Blasius, fisico, nato a Berlino nel 1883, insegnò al Politecnico di Amburgo.

Theodor Von Kármán, ingegnere, nato a Budapest nel 1881, morto nel 1963, professore

all’Università di Gottinga, successivamente fondatore dell’Istituto Aeronautico dell’Università di

Aquisgrana, emigrato negli Stati Uniti, diresse dal 1930 il Laboratorio Aeronautico del Politecnico

di Pasadena.

8.6.4 Moto turbolento di transizione 

Per alcune tubazioni metalliche rivestite internamente con uno strato di bitume e per D 400mm,

da due idraulici italiani, Scimemi e Veronese, proposero la formula :

1

, 82

Q

 0

,

001456

J 4 , 71

D

Risulta 1

, 82

 

2

D

 

v

 

4

 

 0

,

001456

J 4 , 71

D 124

1

, 82

1

, 82 

v

 

0

,

001456

J 1

, 07 4 

D .

cioè, nella formula vista sopra, la risulta proporzionale a 1,82

J v

D’altra parte, l’indice di resistenza 2 g D J

f 2

v

risulta 

 

1

, 82 1

, 82

2 g D v

 

 0

, 001456

f  

2 1

, 07 1

, 82

4

 

v D

cioè 1

, 82

 

 0

,

001456

 

2

f g 0 , 07 0 ,

18

4 

 D v

la quale mostra che è dipendente da da ; per tubazioni diverse da quelle alle quali si applica

f v, D

la formula, dovrà entrare in gioco anche la scabrezza. Si può pensare, perciò, a un regime

intermedio tra quello puramente turbolento e quello turbolento in tubi lisci. Se infatti si suppone

 

    

 , , , ,

v D

0 0

con la solita procedura si ottiene  

 

0  

,

Re

 2  

D

v

Una formula molto usata per il

regime di moto turbolento di

transizione, caratterizzato

dall’influenza sia del numero di

Reynolds che dalla scabrezza, è

quella ottenuta dagli americani

Colebrook e White, nella quale

vengono semplicemente sommati

gli argomenti del logaritmo che

compare nella formula di Prandtl

Figura 8.10 e in quella di Prandtl -Von

Kármán  

1 2

,

51

 

  

2

,

03 log .

 

3

,

715

Re D

 

f f

Sul grafico logf, log Re, tale legge è rappresentata da una serie di curve che si staccano dalla curva

dei tubi lisci (fig. 8.10).

Una completa rappresentazione delle diverse leggi di moto, che mostra la variazione dell’indice di

resistenza con il numero di Reynolds, è il cosiddetto “abaco di Moody”, che risulta spesso utile

nelle applicazioni, e che si riporta di seguito (fig. 8.11). 125

0.1

f M o to T u rb o len to

M o to la m in a re d i tra n sizio n e M oto ass olutam ente

Turb olento

T u b o liscio

0.01

1.E + 02 1.E + 03 1.E + 04 1.E + 05 1.E + 06 1.E + 07 1.E + 08

Re

Figura 8.11. Abaco di Moody 126

8.7 Perdite di carico localizzate come fenomeni turbolenti

Poichè le perdita di carico localizzate sono associate ad agitazione turbolenta, esse sono espresse

come 2

V

  

H 2 g 

dove V è la velocità che si stabilisce in una sezione caratteristica e è un coefficiente che dipende

dalla geometria.

8.7.1 Perdita nei divergenti

Se il passaggio dalla tubazione a diametro D a quella a diametro D non avviene in maniera brusca

1 2

ma graduale, per esempio mediante un divergente o, nel caso di sbocco in un serbatoio, mediante

un diffusore, la perdita di carico che si realizza in essi è dovuta sia alla separazione della corrente

che alle perdite di carico continue. L’importanza delle due aliquote dipende dalla geometria del

sistema infatti la perdita di carico oltre ad essere funzione del rapporto fra i due diametri come nel

caso del brusco allargamento è funzione soprattutto dell’angolo di apertura, ma anche del profilo

secondo cui essi sono realizzati e dalla distribuzione delle velocità in ingresso e in uscita. Per

piccoli angoli di apertura, inferiori a quelli del cono di diffusione non si ha la separazione della

corrente e la perdita di carico è dovuta solo all’attrito tangenziale. Essa allora si può calcolare

considerando costante l’indice di resistenza, considerando valida la relazione di Darcy-Weisbach

per ogni elemento infinitesimo del divergente ed integrando fra le sezioni iniziali e finali.

Le perdite di carico dovute alla separazione sono state calcolate per via sperimentale da Gibson. Per

angoli di apertura elevati 30° - 40° le perdite dovute

all’attrito si sommano a quelle dovute alla separazione

della corrente in modo tale da dar luogo ad una perdita

di carico complessiva superiore a quella di Borda.

L’angolo a cui corrisponde la minima perdita di carico

complessiva è, per un diffusore tronco-conico, pari

circa a 6°.

Da un punto di vista costruttivo per ridurre la perdita

di carico è conveniente rastremare i diffusori nella

parte iniziale come indicato qualitativamente nella

figura 8.12a o realizzare un primo tratto tronco conico Figura 8.12

con angolo di apertura minore e successivamente un

brusco allargamento come in fig. 8.12b. In entrambi i casi infatti la separazione della corrente

avviene più a valle quando la vena liquida ha già subito un primo rallentamento.

8.7.2 Perdita d’imbocco

L’imbocco di una condotta da un serbatoio può essere realizzato secondo due diverse modalità: con

uno spigolo vivo oppure ben raccordato. Mentre in quest’ultimo caso non si hanno apprezzabili

perdite di carico nel primo caso esse sono presenti e per le brevi condotte hanno valore tutt’altro che

trascurabili. Nel caso dell’imbocco a spigolo vivo l’efflusso fino alla sezione contratta non

differisce da quello libero; a valle di essa si ha la brusca espansione della vena liquida secondo le

modalità illustrate per l’appunto nel caso di brusco allargamento. 127

La perdita d’imbocco si può quindi considerare come la somma di due diverse aliquote: la prima,

H , è quella che si ha fino alla sezione contratta ed è dovuta principalmente alla viscosità, la

1 H , è quella che si ha per il brusco allargamento ed è dovuta all’agitazione turbolenta.

seconda, 2

Per quanto concerne la prima aliquota sappiamo che, nel caso di sbocco libero e di fluido perfetto

t2

, cui corrisponde un’energia pari a V /2g.

nella sezione contratta si ha la velocità torricelliana, V

t

Nel caso di fluido reale, a causa delle dissipazioni di energia fino alla sezione contratta, le quali

sono essenzialmente di tipo viscoso viste le piccole velocità all’interno del serbatoio, si avrà una

V dove C è il coefficiente di velocità (C =0.98-0.99) cui corrisponde

velocità effettiva pari a C

v t v v

v2 t2

V /2g.

un’energia cinetica pari a C

E’ evidente pertanto che l’energia che viene dissipata dalla corrente fino alla sezione contratta è pari

a 2 2 2

V C V

  

t v t

H 1 2 2

g g

Se poniamo C V =V dove V è la velocità nella sezione contratta risulta

v t c c    

2 2 2

1 1

V V V

   

     

2 1 0 . 04

c c c

H V

   

1 2 2

c

2 2 2

   

g C g C g

v v

V =C AV =AV esprimendo la perdita in funzione della velocità media

oppure tenendo conto che A

c c c c

a tubo pieno e nell’ipotesi che il coefficiente di contrazione sia paria 0.61 si ha

2 2

1 V V

  

0

.

04 0

.

1

H 1 2 2 2

C g g

c

La seconda aliquota, cioè quella per il brusco allargamento dalla sezione contratta a quella a tubo

pieno è pari a  

2

V V

  c

H 2 2 g

o di V, tenendo conto dell’equazione di continuità risulta pari a

che, espressa in funzione di V

c 2

 

2 2 2 2

1  

V V V V

  2

      

1 0

.

4 1 0

.

15

c c

H C

 

2 c

2 2 2

2  

g C g g g

c

La perdita d’imbocco, pari alla somma delle due aliquote, risulta quindi

2 2

V V

      

0 . 19 0 . 5

c

H H H

1 2 2 2

g g

La corrente nella regione interessata dalla perdita di carico localizzata non è lineare e, pertanto, la

linea dei carichi totali e la piezometrica non sono, anche in questo caso, a rigore tracciabili. Tuttavia

da un punto di vista qualitativo si può evidenziare che fino alla sezione contratta il moto è

accelerato e quindi la distanza fra la linea dei carichi totali e la piezometrica andrebbe

progressivamente crescendo nel senso del moto, raggiungendo il valore massimo nella sezione

contratta.

A valle di essa il moto è ritardato e le due linee si avvicinerebbero progressivamente fino ad

2

arrivare ad una distanza pari a V /2g quando la corrente occupa l’intera sezione (V è appunto la

velocità media in questa sezione). Quindi tracciando in maniera qualitativa la linea dei carichi totali

e la linea piezometrica si avrebbe per quest’ultima il caratteristico andamento “ad uncino”. Si può

facilmente calcolare l’affondamento, rispetto al pelo libero nel serbatoio, della piezometrica nella

sezione contratta. Esso è pari alla somma della perdita di carico fino alla sezione contratta

128

H c2 c2

2

=0.1V /2g=0.04V /2g e dell’altezza cinetica nella stessa sezione V /2g

1 c2 c2

2 2 2

=V /2g(1/C )=2.7V /2g e risulta quindi uguale a 2.8V /2g o 1.04V /2g esprimendolo,

rispettivamente, in funzione della velocità media a tubo pieno o della velocità media nella sezione

contratta.

Per effetto di questo abbassamento della piezometrica la condotta può risultare in depressione. Il

valore massimo che tale depressione può raggiungere non può essere maggiore, in valore assoluto

ed in termini di altezza piezometrica, di p / cioè 10.33 m nel caso dell’acqua. In questo caso la

atm

sezione contratta diventa una sezione di controllo, ed i valori massimi della velocità e della portata

si ottengono imponendo in essa pressione assoluta nulla.

8.7.3 Perdita d’imbocco nel caso di tubazione ben immersa nel serbatoio.

Quanto detto nel caso di imbocco a spigolo vivo continua a valere da un punto di vista concettuale

sia nel caso dell’imbocco di una tubazione ben immersa in un serbatoio. Le espressioni analitiche

delle perdite di carico che si ottengono sono esattamente quelle ottenute nel caso dell’imbocco a

spigolo vivo. Il più piccolo valore assunto dal coefficiente di contrazione dà luogo però a delle

perdite di carico localizzate di entità più rilevanti.

In particolare con C =0.5 si ottiene

c 2 2 2

1

V V V

   

0

.

04 0

.

04 0

.

16

c

H 1 2

2 2 2

g C g g

c 2

 

2 2 2 2

1

 

V V V V

 

2

      

1

1 0

.

25

c c

H C  

2 c 2

2 2 2  

g g g C g

c

L’abbassamento della piezometrica sotto il pelo libero nella sezione contratta risulta invece pari a

2 2

V V

  

0 . 29 1 . 16

c

H 2 2

g g

2 2 2 2 2 2 2

1

V V V V V V V

        

* 0

.

04 1

.

04 0

.

16 4

.

16

c c c c

h H 1 2

2 2 2 2 2 2 2

g g g g g C g g

c

8.8 Tubazione con perdite distribuite munita di ugello.

Consideriamo lo schema già visto nel par. 7.3, ma stavolta teniamo conto anche delle perdite di

carico distribuite.

Sia il diametro del tubo D pari ad 1 cm, la lunghezza L sia di 10 m, il carico disponibile h sia di 30

m. Risulta 2 2 2 2 2

v v v v v L

     

0

,

5 0

,

5

h JL

2 2 2 2 2

g g g g g D 129

2

 

L v

 

 

1

,

5

h 2

 

D g Figura 8.13

/D =

ammesso il tubo scabro con = 0,001, si ottiene 0,02; quindi

2 2

  v v

   

1

,

5 0

,

02 1000 21

,

5

h 2 2

g g

Figura 8.14 2 gh

  5

, 2 m s

v 21

,

5

e la portata è 0,41 l/s. , ; risulta:

Aggiungiamo l’ugello con = e sia noto C

m C 2

2 2 v

v v L

  

0

,

5 C

B B

h 2 2 2

g g D g

 

v C m v v

B C C C 130

2

  v

L

 

  

2 2

 

0

,

5 1 C h

2

 

D g

2

  v

 

  

2 2

0

,

5 20 1 C h

2 g

2

  v

  

2

20

,

5 1 C h

2 g

 

C2

2 2 2

ed essendo = C / = 0,04, 2

v

 1

,

8

h 2 g

2 gh

  0

,

74 2

v gh

C 1

,

8

contro 2 gh

  0

, 21 2

v gh

C 21

,

5 =0,2 v =3,6 m/s e la

cosìcchè con l’ugello la velocità si triplica. La velocità in condotta, però, e v B C

portata si riduce a 2,8 l/s.

8.9 Sbocco con diffusore

Consideriamo il caso di una condotta a diametro costante collegante due serbatoi (fig. 8.15)

Detta h la differenza di livello, risulta 2

v

 

  1

h J v

1 2 g

Se alla fine della condotta aggiungiamo un diffusore (fig. 8.16), che considereremo di breve

sviluppo sì da trascurare in esso le perdite distribuite, risulta :  

2

 2

  v v v

  

1 2 2

h J v L

1 2 2

g g

;

si può ora notare che è :

  2

 2 2

v v v v

 

1 2 2 1

2 2 2

g g g

La perdita di sbocco è

minore se si impiega il

diffusore: é possibile,

Figura 8.15 quindi, con lo stesso

carico h, avere maggiori

131

perdite continue ), e quindi maggiore : in definitiva, col diffusore si riesce ad aumentare la

LJ(v v

1 1

portata. Figura 8.16 132

9.

Pompe ed impianti di sollevamento

Lo schema più semplice di impianto di sollevamento è tipicamente quello in figura 9.1.

Figura 9.1

La condotta 1 a monte della pompa è detta condotta di aspirazione. Preso un piano di riferimento

si può scrivere il teorema di Bernoulli applicato alla corrente tra un punto nel serbatoio A e la

z=0, =1,

sezione M a monte della pompa. Posto si ha: 2 2

p p v v

     

1 1

0

,

5 ;

A M

z z J L

  1 1

A M 2 2

g g

il valore del carico nel punto M.

poniamo pari ad H

M 2

p v

   1

M

H z 

M M 2 g

La condotta 2 a valle della pompa è detta condotta premente. Tra la sezione V immediatamente a

valle della pompa e la sezione terminale della condotta premente, B, risulta:

2

2

p v v

     2

2

V

z J L z

 2 2

V B

2 2

g g

Si deve notare che, nel caso in figura, esiste un tratto di condotta premente in depressione. Anche

qui non può in nessun caso risultare una depressione maggiore di 10,33 m.

il carico nella sezione a valle della pompa.

Poniamo pari ad H

V 2

p v

   2

V

H z 

V V 2 g 133

La differenza -H è detta prevalenza totale. Essa è pari all’energia per unità di peso che la

H=H

V M

macchina fornisce alla corrente.

Se la portata che attraversa la pompa è in un intervallo di tempo il volume che ha attraversato

Q, dt

la pompa è 

W Q dt

e il peso di tale volume ovviamente è 

G Q dt

Il volume considerato ha avuto un incremento di energia pari a

  

E Q dt H

per ottenere detto aumento di energia, è necessario che la corrente abbia la potenza

E 

  

P Q H

t

Per poter trasferire la potenza P alla corrente, è necessario che la pompa abbia una potenza mag-

giore, per tenere conto del rendimento (elettrico, meccanico, idraulico) complessivo, che sarà mi-

nore di uno.

Posto il rendimento, si consideri che di solito esso varia tra 0,65 e 0,85, a seconda del tipo e delle

dimensioni della pompa, ma è anche, per una data pompa variabile con la portata. La potenza della

pompa risulta quindi  

Q H

P 

 3

Nel sistema internazionale, = 9800 N/m e la potenza si misura in Watt; risulta allora

  

Q H

 9800

P W

e, più comunemente   

Q H

 9

,

8

P kW

La differenza    

p p

   

    

Figura 9.2 a V M

H z z

   

 

m V M

   

si chiama prevalenza manometrica.

H

Essa è uguale a solo se = , cioè se le

v v

m v

condotte di aspirazione e di mandata hanno

identico diametro.

La differenza =Y si chiama prevalenza

z z

A B

geodetica.

Risulta sempre 2

2

v v

      2

1

0

,

5

H J L Y J L

1 1 2 2

2 2

g g

Fissate le caratteristiche dell’impianto, e cioè , i diametri e le scabrezze delle condotte, risulta

Y 134

 

 

H f Q

H H

Si vede facilmente che per = 0 si ha = , e che d’altra parte è crescente con ; si può

Q Y Q

H

quindi rappresentare la curva , su un grafico (fig. 9.2 a).

Q Tale curva si chiama “curva caratteristica

dell’impianto”. Per quanto riguarda la pompa,

 

si osservi che, nei casi reali, è = ( ); se

Q



supponiamo costante, e supponiamo pure che

rimanga costante, risulta

P 

P  

  

H Q

9

,

8 Q

funzione che si può rappresentare sullo stesso

grafico e si chiama “curva caratteristica della

pompa”. Si tratta in teoria di un ramo di

iperbole, ma in realtà, poiché è variabile con

Figura 9.2 b H

, la curva , assume andamento

Q Q

completamente diverso, il più delle volte con la concavità verso il basso (fig 9.2 b).

L’intersezione rappresenta il punto di funzionamento effettivo. Nella pratica, dovendo progettare un

H

impianto, si sceglierà una coppia di valori , , cui corrisponde una portata leggermente supe-

Q Q

t

, ed un carico leggermente superiore a quello strettamente misurato

riore a quella richiesta Q H

r t,

sulla curva caratteristica dell’impianto.

Ci si riporta al valore di portata voluto introducendo una perdita di carico localizzata sulla condotta

premente, il che si può facilmente ottenere con una valvola parzialmente aperta. Si ha quindi

2

2

v v 

       

2

1

0

,

5

H J L Y J L H

1 1 2 2

t 2 2 g

g H

Anche è

funzione di v 2;

la curva ca-

ratteristica del-

l’impianto in

sostanza risulta

un po’ più ele-

vata della pri-

ma, continuan-

do a partire dal

H = .

punto Y

Osserviamo la

nuova piezome-

trica, nel caso

che sia =

v v

1 2

(fig.9.3); in tal

caso risulta an-

H H

che = .

Figura 9.3 m H >

Poiché t

H

, ma /2g è minore del caso senza valvola, come pure , e 0,5 /2g, la quota

12 12

v J L J L v

1 1 2 2

a monte della valvola risulta superiore a quella precedente.

piezometrica h

m

Per verificarlo, basta scrivere che è, senza valvola 135

2

v

       

1

1

,

5

h h H z J L H

1 1

V M m A 2 g

mentre è, con la valvola  2

v

  

       

1

1

,

5

h h H z J L H

1 1

V M m A t

2 g

H H

> , mentre è < .

e tenere presente che è v’ v

t

Vi sono altri possibili schemi di impianti di sollevamento, che qui di seguito si indicano:

 pompaggio con con-

dotta di aspirazione

in depressione; in

questo caso (fig. 9.4)

la pompa è al di so-

pra del livello del

serbatoio A; il

dislivello tra l’asse

della pompa ed il

serbatoio non può

superare i 10,33 m.

 Pompaggio con pom-

pa sommersa.

In questo caso la pompa

Figura 9.4 è alloggiata direttamente

all’interno del serbatoio A (fig. 9.5).

Pompaggio con arrivo sotto battente. La condotta premente termina ben al di sotto della quota

 del pelo libero sul serbatoio B. In questo caso (fig. 9.6) si deve assumere, al termine della

condotta premente, z 2

+ / =

p z

2 B

I quattro casi mostrati

possono essere fra loro

combinati, ottenendo in

definitiva i seguenti casi:

1-Pompa sotto battente,

arrivo libero

2-Pompa sotto battente,

arrivo sotto battente

3-Pompa in aspirazione,

arrivo libero

4-Pompa in aspirazione,

arrivo sotto battente

5-Pompa sommersa,

Figura 9.5 arrivo libero

6-Pompa sommersa,

arrivo sotto battente 136

Figura 9.6 137

10.

Le lunghe condotte

In molti casi dell’idraulica pratica, le perdite di carico localizzate sono complessivamente molto più

piccole delle perdite continue. Ciò avviene negli acquedotti, negli oleodotti, ed in genere quando il

rapporto tra la lunghezza ed il diametro è maggiore di un certo valore.

L/D

Per trovare tale limite, poniamo: 2

2 2

f v

v v

 

 

   

Y JL L

2 2 2

g g D g

2 f

v   

 

Y L 

2 

g D

 

si tenga presente che a comporre vanno il coefficiente della perdita di sbocco (pari ad 1), il co-

efficiente della perdita d’imbocco (pari a 0,5) ed i coefficienti relativi a cambiamenti di diametro

e curve brusche; in totale si potrà ammettere    3

 

Se si trascura rispetto a si commette un errore percentuale pari a:

f L/D  

e f L  

D

Di solito si accetta 5 %; tale è infatti l’ordine di grandezza dell’incertezza su e quindi su

e f fL/D;

 

  5 %

e f L  

D

cioè 1 f L

  

1 20

 

e D

e quindi f L  19

 

D f L  57

D 57

L 

D f 138

Se per esempio vale 0,05 dovrà essere

f L  1140

D

Tenuto conto dei valori pratici di compresi tra 0,01 e 0,06, si potrà concludere che sarà

f, L  

6000 1000

D

Se così è, anche l’altezza cinetica risulta trascurabile rispetto ad pertanto linea dei carichi totali e

Y;

linea piezometrica coincidono.

Le lunghe condotte si rappresentano graficamente con una linea (non si vede il diametro della

tubazione, contrariamente a quanto si fa nelle brevi condotte). La lunghezza effettiva si assume

L

pari alla sua proiezione orizzontale.

I problemi pratici relativi alle lunghe condotte possono essere considerati come:

a) problema di progetto

b) problema di verifica.

10.1 Problema di progetto.

Nel problema di progetto, sono note le quote dei serbatoi A e B, considerate invariabili, e la lun-

ghezza L

(fig.10.1).

Si deve determi-

nare il diametro,

noto che sia il re-

gime di moto e

data la scabrezza

, ,

relativa (m,

/D); se

supponiamo che

il moto sia pura-

mente turbolento

risulta quindi

Figura 10.1 = (D).

f f

È nota inoltre la portata che si vuole addurre da A a B.

q

La soluzione consiste nel tracciare la piezometrica come congiungente di A e B;

risulta Y

 ;

J L

supposto il moto puramente turbolento,  2 g D J

  

f D

 2

v

 4 Q

 

v 

 2

 D

e quindi 139

2

2 8 q

   

Y v

  f D

f D  2 5

2

L g D g D

equazione nella sola incognita D.  

Il valore di che risolve l’equazione non può a meno di casi fortunatissimi essere accettato,

D

poiché non corrisponde ad un diametro in produzione (diametro commerciale).

Si tratterà quindi di scegliere un diametro > ed un diametro < ed saranno le rispettive

D D D D; L L

1 2 1 2

lunghezze;

si porrà dunque  

 L L L

1 2

  

 J L J L Y

1 1 2 2 

In pratica noti e sarà facile calcolare ed ; e risultano dati da /( /4); quindi si va-

2

D D f f v v q D

1 2 1 2 1 2

lutano e ed

J J

1 2

infine si risolve il

sistema per ed

L

1

L

2.

È buona norma

disporre le tuba-

zioni in modo da

avere la piezo-

metrica più

bassa: ciò con-

sente di avere

minori pressioni

di esercizio e di

limitare le perdite Figura 10.2

(fig.10.2).

La soluzione che comporta maggiori pressioni è d’altra parte possibile (linea tratteggiata in figura).

La soluzione così trovata è comunque poco cautelativa: l’ingegnere deve tenere conto di una possi-

bile sottostima della scabrezza, o di una variazione di questa col tempo a causa del deterioramento

della parete della tubazione.

La soluzione classica consiste nel considerare, quando si determina il diametro teorico, un coeffi-

ciente di scabrezza pari al doppio, se si impiega la formula di Darcy, ovvero un indice di resistenza

pari al doppio se si adoperano altre formule. Di fatto, la pie-

zometrica trac-

ciata sarà quella

“a tubi usati”.

Quando la tuba-

zione è all’inizio

dell’esercizio, la

scabrezza è mi-

nore di quella di

progetto. Con lo

stesso carico Y

disponibile, la tu-

bazione adduce

q

una portata +

q

Figura 10.3 maggiore, se essa

140

è disponibile al serbatoio A. q non è disponibile, occorre tracciare la piezometrica, partendo da

Ma, se la portata differenziale  

2 2

valle, per la portata , esattamente valutando 2 e 2 ( fig. 10.3).

q J f v g D J f v g D

2 2 2 1 1 1

La piezometrica dunque taglia la condotta; in realtà, dal punto di intersezione e fino al serbatoio A il

moto si svolge a canaletta a pressione atmosferica. Si deve supporre infatti che, poiche le tubazioni

q

possono addurre la portata + , il serbatoio A si svuoti e quindi la condotta possa in parte ri-

q

succhiare aria.

Questo funzionamento non è ritenuto igienicamente sicuro. Si ricorre perciò ad una “valvola ridut-

H

trice” che introduce una perdita di carico . Risulterà

   

Y J L J L H

1 1 2 2

La valvola può essere man mano aperta col progredire dell’invecchiamento della condotta, fino a ri-

stabilire la situa-

zione di progetto.

La soluzione che

spesso viene

adottata consiste

nell’evitare di di-

videre in due il

tratto, conser-

vando il diametro

maggiore unico;

o nell’impiegare

una lunghezza Figura 10.4

del tratto a dia-

metro maggiore

conveniente-

mente più grande di quella calcolata. Ovviamente, occorre disporre una valvola regolatrice (fig.

10.4).

Quando si traccia la piezometrica teorica, e cioè la retta che unisce i due livelli dei serbatoi A e B,

non si tiene conto

dell’andamento

della tubazione.

Se l’asse della tu-

bazione è in qual-

che punto al di

sopra della pie-

zometrica di una

distanza maggiore

di 10,33 m, il

moto non può av-

venire. Occorre

dunque trovare

Figura 10.5 una soluzione

conveniente.

Nel caso di progetto, si prescrive che la piezometrica non sia mai a meno di 5 m al di sopra della

condotta:in altri termini, si vuole essere sicuri di evitare il funzionamento in depressione (fig.10.5).

Dal punto A si traccia perciò la piezometrica in modo da avere sempre almeno 5 m di altezza pie-

zometrica in ogni punto della condotta. 141

Dal punto della piezometrica a distanza minima dalla condotta, si traccia la congiungente col ser-

batoio B. Le due linee AM ed MB formano la piezometrica teorica; esse saranno sostituite da due

tratti corrispondenti ai diametri effettivi.

10.2) Problema di verifica

Nel problema di verifica sono assegnati lunghezza , diametro e scabrezza. Si tratta di determi-

L D nare la portata e

la piezometrica

(fig. 10.6).

Tracciata la pie-

zometrica AB

sarà: 2 g D J

v f

e quindi  2

D

Figura 10.6 

q v 4

Anche qui, se

esiste un punto

della condotta al

di sopra di 10,33

m della piezo-

metrica, il moto

non può avve-

nire.

Dal punto M più

alto della con- Figura 10.7

dotta si scenderà

di 10,33 m, indi-

viduando il punto N fisicamente più alto possibile sulla verticale per M (fig. 10.7).

Si traccia quindi la AN, che è la piezometrica vera. Da B si traccia la piezometrica verso monte, con

la stessa inclinazione di AN, arrestandosi quando la distanza al di sotto della condotta supera i 10,33

m, nel punto P. Da P ad N la piezometrica si traccia parallela alla

condotta. La portata sarà quella che corrisponde alla piezometrica

AN. Il punto M è quindi la sezione di controllo del moto. La por-

tata è quella che corrisponde alla piezometrica AN (o PB).

q

Esiste ancora un caso pratico di verifica, quello che si presenta

quando si tratta di accertare il funzionamento di un acquedotto. In

questo caso si può misurare la portata, per esempio alla sorgente

A. Chiamiamo il valore della portata misurata. Se è > , una

q q q

Figura 10.8 m m

parte della portata disponibile sarà sfiorata alla sorgente, e

l’acquedotto adduce la portata (fig. 10.8).

q

Se è q <q, in condotta potrà passare solo la portata disponibile q e non di più.

m m 142

Pertanto la piezometrica si traccerà da valle, per la portata ; essa toccherà la condotta in un punto

q

m

P e da qui prose-

guirà a monte

lungo la con-

dotta, con un

tratto di moto a

canaletta a pres-

sione atmosferica

(fig. 10.9).

Nel caso che vi

sia un punto alto,

esso andrà as- Figura 10.9

sunto come se-

zione di controllo

(fig. 10.10). Dal punto N si

traccia verso

monte la piezo-

metrica corri-

spondente a .

q

m

Da B si traccia

verso monte la

stessa piezome-

trica fino al punto

P.

Figura 10.10 143

11.

Correnti a superficie libera

11.1 Generalità

Una corrente a supeficie libera (o a pelo libero) presenta una superficie a contatto con l’atmosfera, e

sulla quale pertanto la pressione relativa è nulla.

Se facciamo riferimento a una sezione trasversale,

distingueremo facilmente in essa l’area la

A,

larghezza in superficie la profondità e il

L, h

contorno bagnato (fig. 11.1)

C

Se facciamo riferimento a una sezione

longitudinale, potremo distinguere la linea del

fondo e la linea della superficie libera: la

profondità è normale al fondo (fig. 11.2).

h

Sarà bene individuare alcuni modi di vedere le

correnti a superficie libera, che saranno ricorrenti

nella trattazione:

1) corrente a superficie libera lineare:

Figura 11.1 le traiettorie sono sensibilmente rettilinee e

parallele, come in fig. 11.3

2) Moto con piccola pendenza del fondo:

la profondità della corrente - normale alla linea di fondo - si può confondere con la verticale (fig.

11.4). =5°10°

Si può vedere per

 1

risulta cos (e d’altra parte

  ). =10°

sen tan Si noti che

Figura 11.2 =0.17,

corrisponde a i = tan che nella pratica è una pendenza molto forte..

Se sono vere le ipotesi 1 e 2, potremo considerare le

pressioni variabili come in idrostatica lungo la normale

alla linea di fondo: preso un riferimento coincidente

col fondo di una sezione, risulterà, come in fig. 11.5

p

 

z h

 Figura 11.3

Si tenga presente che altri casi, che pure si presentano nel moto a superficie libera, di

correnti con traiettorie

sensibilmente curve o con forti

pendenze del fondo, vanno

trattati in modo diverso.

Figura 11.4 144

Figura 11.5

11.2 Espressione dell'energia specifica

Consideriamo ora, in una data sezione, il carico totale dato da

E 2

p v

   

H z  2 g

È generalmente più comodo, in una data sezione, considerare il carico riferito al fondo della

E

stessa: sarà: 2

V

  

E h 2 g

, risulta:

Se consideriamo la portata Q 2

Q

  

E h 2

2 g A e altezza in una sezione.

Quest’equazione mostra come, a parità di portata, sono legati carico H h

;

È sufficiente uno studio qualitativo della funzione E = f(h)

   

per 0, A 0; quindi ;

h E

      

2 2

per , 2 ; quindi .

h Q g A E h

in fig.11.6, avrà quindi un asintoto verticale (asse delle ) e un asintoto a

Il grafico della funzione E E

45°, passante per l’origine (retta = ).

E h

Esso presenterà dunque un minimo , per un

E

c

che diremo .

valore di h h

c

Questo minimo corrisponde alla minima energia

rispetto al fondo con cui una portata può

Q

transitare in una data sezione; esso si chiama

“energia critica”, la corrispondente altezza

“altezza critica” e la corrispondente velocità

“velocità critica”.

Le correnti con si dicono correnti “lente”;

h>h

c ; le correnti con si

esse avranno infatti V<V h<h

c c

dicono “correnti veloci”; esse hanno infatti

.

V>V

c

Una data portata può transitare in una sezione

come corrente lenta o come corrente veloce:

dipenderà dalle condizioni di moto che Figura 11.6

governano la corrente stessa. 145

Possiamo d’altra parte, fissata una sezione,

ricavare l’altezza in funzione di e ; risulta:

h E Q

2

Q

  

h E 2

2 g A

Da quest’equazione si può vedere come, a parità

, sono legate e :

di carico E h Q

per h = 0, A = 0; 2 2

2 2

g A g A

 

2

e poiché è ,

Q E h

 

risulterà = 0 per = e per = 0.

Q H h h

Il grafico, in fig. 11.7, avrà pertanto un massimo

per compreso tra e : chiameremo

di Q h 0 E

Figura 11.7

questo valore “portata critica”: si tratta della massima portata che può transitare in una sezione con

una data energia. La corrispondente altezza è l’altezza ”critica” , la corrispondente velocità è la

h

c

“velocità critica” .

V

c

Anche qui le correnti con si dicono lente, e quelle con si dicono veloci.

h > h h<h

c c

Con una data energia, una generica portata può transitare in corrente lenta o in corrente veloce.

11.3 Espressione dell'energia critica in sezione rettangolare

Se ci riferiamo alla sezione rettangolare, di larghezza , posto

L

Q

P L

 1:

risulta, con 2 2

Q P

   

E h h

2 2 2

2 2

g L h g h

si trova per

La minima energia E

c 

E  0

h

risulta: 

 2

P 

 

 0

h 

 2

2 

h g h

2

P

 

1 2 0

3

2 g h

Posto il valore di per cui l’equazione è vera, e la corrispondente portata,

h h P

c c 2

P

 c

h 3

c g 146

D’altra parte 

2 3

P g h

c c 3

g h

P

  

c

c

V g h

c c

h h

c c

Infine 2 1 3

V

    

c

E h h h h

c c c c c

2 2 2

g

cioè a dire che, in una corrente a superficie libera in sezione rettangolare, l'energia critica è pari ai

3/2 dell'altezza critica.

11.4 Comportamento fisico delle correnti lente o veloci

Il concetto di corrente lenta e di corrente veloce è stato introdotto con considerazioni di carattere

energetico.

È possibile però comprendere il diverso comportamento dei due tipi di corrente solo se si prende in

esame come esse reagiscono a una perturbazione. Una perturbazione è una qualsiasi causa che vada

a variare lo stato della corrente. Si può pensare alla perturbazione come un'onda che percorre il

canale; diremo positiva l'onda che fa aumentare l'altezza della corrente, negativa quella che la fa

diminuire. Per fissare le idee, pensiamo a un canale munito a monte di paratoia: una manovra della

paratoia provoca una perturbazione che percepiamo come un’onda che si propaga nell’alveo verso

valle. Se si apre la paratoia si ha un’onda positiva, se la si chiude si ha un’onda negativa.

Con un canale munito invece di una paratoia a valle, possiamo provocare un’onda che si propaga

verso monte, negativa se apriamo la paratoia, positiva se la chiudiamo.

Ora, chiamiamo la velocità assoluta con cui l’onda si sposta nel canale; e poiché si tratta di una

a

perturbazione, diremo la sua “celerità” assoluta.

a Un osservatore esterno al canale vede l’onda

Figura 11.8 spostarsi con velocità (celerità) (fig. 11.8)

a

Se la velocità in un punto del canale è , un

V

osservatore interno al canale e che si muove con la

velocità della corrente, vedrà l’onda spostarsi con

V

celerità   ;

c a V

sarà detta (fig.11.9).

c celerità relativa

Si dimostra che, se l’altezza della perturbazione è Figura 11.9

infinitesima (come avviene per una perturbazione

elementare), e se h è l’altezza della corrente

indisturbata, in alveo rettangolare, si ha

  ( )

c g h formula di Lagrange

dove il segno + vale per le perturbazioni che

viaggiano verso valle.

Ma abbiamo visto che è la velocità critica;

g h

allora, se la corrente è veloce, sarà

V c 147

la perturbazione si propaga verso valle con celerità assoluta

  ;

a V g h

verso monte, la celerità sarebbe  

a V g h

ma poiché è , risulta ancora > 0, quindi la perturbazione non può propagarsi verso

V g h a

monte.

Se la corrente è lenta, risulta 

V c

la celerità assoluta verso valle è ancora    ;

0

a V g h

e verso monte    0

a V g h

Un facile modo per capire se una corrente è lenta o veloce è guardare come si propaga la

perturbazione provocata da un cilindro verticale immerso nella corrente: in acqua ferma, vediamo

dei cerchi concentrici che si allontanano man mano dal cilindro.

Se il cilindro è immerso in una corrente, i cerchi si sposteranno verso valle ed eventualmente verso

monte.

Nella corrente lenta, vedremo i cerchi propagarsi verso valle e verso monte, deformandosi perchè la

celerità è maggiore verso valle; nella corrente veloce i cerchi si propagano solo verso valle, e

vedremo la classica forma di due linee divergenti dal bastoncino, inviluppo delle successive

posizioni dell’onda circolare.

Il rapporto V

F g h

tra velocità della corrente e celerità delle perturbazioni elementari è detto “ ”; se

numero di Froude

risulta > 1 la corrente è veloce, se risulta < 1 la corrente è lenta; per = 1 la corrente è in stato

F F F

critico.

11.5 Espressione dell'energia critica in sezione generica

Ritornando alla definizione di energia critica,

per una sezione generica sarà

dE  0

dh

 

2

Q

d  

  0

h

 

2

2

 

dh g A

Figura 11.10 148

2

Q dA

 

1 2 0

3

2 dh

g A

Se esaminiamo una generica sezione (fig. 11.10) ci rendiamo conto che, all’altezza generica,

h

è proprio la larghezza della superficie libera per quell’altezza, essendo

dA/dh dA=L dh

Dunque, sarà dA

L dh

2

Q L

  1

3

g A

Per = 0 porremo

dH/dh H = Hc; h = hc; V = Vc; Q = Qc; A = Ac

Pertanto sarà g A

 c

Q A 

c c L

 = 1, come già visto, risulta

e in particolare, per la sezione rettangolare con

Q h L g h

c c c

P h g h

c c c

11. 6 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera

Il moto uniforme di una corrente a superficie libera si verifica in quei tratti d’alveo che non

risentono di perturbazioni. Il moto è caratterizzato dal fatto che la corrente presenta in tutte le

sezioni la stessa velocità, la stessa altezza e la stessa area.

Richiamiamo brevemente le caratteristiche del moto uniforme, con riferimento a quanto si è detto

nel capitolo delle resistenze al moto, con l’avvertenza che nel moto uniforme di una corrente a

superficie libera la pendenza piezometrica coincide con la pendenza del fondo, cioè

 ;

i J

infatti la superficie piezometrica coincide con la superficie libera e poiché l’altezza rimane costante

in tutte le sezioni, la linea piezometrica risulterà parallela al fondo (fig. 11.11), come del resto sarà

parallela al fondo la linea dei carichi totali. Figura 11.11 149

Per quanto riguarda le caratteristiche del moto uniforme, esse si calcolano con riferimento alle

formule già viste nel capitolo che tratta le resistenze al moto. Detto f l’indice di resistenza, sarà

2

v

J f 2 gD

secondo la formula di Darcy-Weisbach; l’indice di resistenza si potrà calcolare nella maggior parte

dei casi con la formula di Prandlt per tubi scabri 2

 

 

 

1

f  

 

1

 

  

2 log

 

3

,

715

 

 

D

sostituendo in essa l’espressione al posto di dove è il raggio idraulico.

4R D, R

i i

Si possono anche usare formule classiche, come quella di Chèzy

 

V R J

i

o quella di Gauckler-Strickler  2 3 1 2

V K R J

i

cercando nei manuali gli opportuni valori degli indici di velocità (spesso impropriamente detti

) .

coefficienti di scabrezza

Scelta una formula di moto uniforme, ed utilizzando la definizione di portata

Q VA

si è in grado di scrivere un’equazione nella quale compaiono come incognite la e l’altezza del

Q

.

moto uniforme, h

o

Per esempio, se si sceglie la formula di Gauckler-Strickler, per la sezione rettangolare, si ha

(fig. 11.12):  2 / 3

Q kR i A

i

ed essendo A = L h 0

Lh

  0

/

R A C

i

Figura 11.12  2

L h 0

si può scrivere 2 / 3

 

Lh

 

 0 ,

Q k i Lh

  0

 2

 

L h 0

, o di calcolare h data Q.

equazione che permette di calcolare Q data h

0 0 150

In modo analogo si procede per sezioni in cui il raggio idraulico sia rappresentabile da

un’espressione algebrica in funzione dell’altezza. Se ciò non accade, si può procedere graficamente

per incrementi di altezza , valutando di volta in volta l’area della sezione e il contorno bagnato e

dh

calcolando quindi il raggio idraulico, la velocità e la portata, fino a costruire per punti la funzione

.

Q(h )

0 , se risulta

Data la portata, e individuata l’altezza di moto uniforme h

0

h h

0 c

si dice che il moto uniforme è in corrente lenta; se invece risulta

h h

0 c

si dice che il moto uniforme è in corrente veloce.

In modo analogo, sempre per una data Q, si può valutare la pendenza che, nel moto uniforme,

: detta i tale pendenza, se risulta

corrisponde all’altezza critica h

c c 

i i c

si dice che l’alveo è a debole pendenza e il moto uniforme si svolge in corrente lenta, mentre se

risulta 

i i c

si dice che l’alveo è a forte pendenza e il moto uniforme si svolge in corrente veloce.

Va da sè che si troverà sempre  

quando è ,

h h i i

0 c c

e  

quando è .

h h i i

0 c c

11.7 Il moto permanente in correnti a superficie libera

Il moto permanente di una corrente a superficie libera è caratterizzato dal fatto che, non variando

con il tempo le sezioni idriche, la portata deve restare costante in tutte le sezioni, secondo

l’equazione di

continuità

 

Q A

  0

 

s t

Restando costante

Figura 11.13 la portata, lungo

può

l'ascissa s

tuttavia variare

l’area, e con essa la velocità e l’altezza; la superficie libera della corrente, in una sezione

longitudinale, presenterà quindi un profilo non parallelo al fondo, detto appunto profilo di moto

, come in fig. 11.13

permanente 151

Tra due sezioni 1 e 2 a distanza s (fig. 11.14), facendo riferimento al moto permanente, potremo

scrivere l’equazione dell’energia come : 2 2

v v

      

1 2

z h z h H

1 1 2 2

2 2

g g

Figura 11.14

dove H è la perdita di carico totale; se chiamiamo la pendenza della linea dei carichi totali,

J

potremo porre   

H J s

 

è la perdita di carico dovuta alle resistenze al moto nel tratto di lunghezza .

cioè J s s

L’equazione precedente si può scrivere     

z E z E J s

1 1 2 2

ed essendo (si veda la figura)   

z z i s

2 1

risulta  

   

E E i J s

2 1

e per una distanza infinitesima ds dE   .

i J

ds

Converrà ora notare che l’energia specifica E dipende da h, e che h varia lungo l’alveo con l’ascissa

s; in termini analitici E = f ( h(s)). Pertanto sarà 

dE E dh

 .

ds h ds

Le due equazioni ora scritte permettono di studiare la variazione dell’energia e dell’altezza di una

corrente a superficie libera in moto permanente. 152

11. 8 Profili di moto permanente in alveo prismatico

Le equazioni studiate per la variazione dell’energia specifica lungo l’alveo, quelle del moto

uniforme e quelle dell’energia con l’altezza in una sezione permettono di studiare i profili delle

correnti in moto permanente, o profili di moto permanente o profili di rigurgito.

In definitiva l’equazione che dà la variazione dell’altezza della corrente si può porre nella forma

dE

dh ds

 dE

ds dh

e infine 

dh i J

 dE

ds dh .

Tali forma in particolare è dovuta all’idraulico francese Jean Claude-Antoine Bresse (1826-1883)

11.8.1 Profili di corrente in alveo a debole pendenza

In un alveo a debole pendenza l’altezza di moto uniforme è superiore all’altezza critica (fig. 11.15).

Figura 11.15

Distingueremo perciò tre possibili zone nelle quali può trovarsi il profilo della corrente :

1. Profilo al di sopra dell’altezza di moto uniforme.

Profilo compreso tra l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme

2. Profilo compreso tra il fondo e l’altezza critica

3.

Nella prima zona, essendo l’altezza della corrente superiore all’altezza critica, risulta

E  0 ;

h

d’altra parte, essendo h>h , sarà

0 J<i,

dh 

quindi i-J >0 e 0 ,

ds

cioè le altezze crescono con l’ascissa s e si trova un profilo di corrente “lenta ritardata”, denominato

usualmente con la sigla D1 (fig. 11.16). 153

   

Per , h h , , e il moto uniforme viene raggiunto all’infinito a monte; per s

s J i

0

dE dh 

tende a un valore finito, mentre ; pertanto , cioè a dire il profilo tende

crescenti, 0

J i

dh ds

all’orizzontale. Figura 11.16

Nella seconda zona, essendo h >h , la corrente è ancora lenta, per cui risulta

0 c 

E  0

h

D’altra parte, essendo h<h dev’essere

0, i-J <0.

Pertanto sarà dh  0 .

ds

Il profilo, denominato D2, avrà altezze decrescenti con l’ascissa s, e quindi sarà un profilo di

“corrente lenta accelerata”; si può vedere che all’infinito a monte , mentre per h h

h h 0 c

dE  0

dh

dh  

Restando i-J un valore finito, , e quindi il profilo si dispone con tangente verticale (fig.

ds

11.17). Figura 11.17

Nella terza zona, essendo h<h , la corrente è veloce, per cui risulta

c 

E  0

h

D’altra parte, poiché l’altezza della corrente è inferiore a quella di moto uniforme, risulterà

J>i . 154

Pertanto sarà dh  0

ds Figura 11.18

e si avrà un profilo di corrente veloce ritardata detto D3 (fig. 11.18).

Per h crescenti e tendenti a h , il profilo avrà tangente verticale. Si può dimostrare che anche per h

c

tendenti a zero si trova un profilo con tangente verticale. In realtà la parte del profilo con altezze più

basse non può iniziare dal fondo alveo, ma da una altezza alquanto superiore a questo.

11.8.2 Profili di corrente in alveo a forte pendenza

In un alveo a forte pendenza l’altezza di moto uniforme è inferiore a quella critica (fig. 11.19).

Figura 11.19

Anche qui si distinguono tre zone :

1. Profilo al di sopra dell’altezza critica

Profilo compreso tra l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme

2. Profilo compreso tra il fondo e l’altezza di moto uniforme.

3. , la corrente è lenta, quindi

Nella prima zona, essendo h>h

c 

E  0

h

Inoltre è J<i , poiché le altezze sono superiori a quelle di moto uniforme; quindi si avrà

dh  0

ds

cioè un profilo crescente.

Al crescere di h, il denominatore tende ad 1, mentre il numeratore tende a i. Quindi 155

h  i

s

cioè il profilo tende a disporsi orizzontale (con inclinazione i rispetto al fondo, che è il nostro

riferimento). Si ha così il profilo di corrente lenta ritardata in alveo a forte pendenza, detto F1,

riportato nella fig. 11.20. Figura 11.20

Nella seconda zona si ha h<h e la corrente è veloce. Si trova

c 

E  0

h

ed, essendo J<i, si avrà un profilo decrescente, che si chiama F2 ed è rappresentato in fig. 11.21.

Figura 11.21

Per h che tende a h , il denominatore tende a un valore finito, mentre il numeratore tende a zero.

0

Pertanto il profilo tende a raggiungere la pendenza i, cioè l’altezza di moto uniforme, all’infinito a

valle. Per h=h il denominatore tende a zero, mentre il numeratore ha un valore finito. Pertanto

c 

h  

s

cioè il profilo si dispone con tangente verticale.

Nella terza zona, infine, è 

E  0

h

e i-J <0; quindi si avrà un profilo con h crescenti, e cioè un profilo di corrente veloce ritardata,

detto F3. Per h che tende ad h , ovviamente si avrà

0 , 

h  i

s

mentre per h=0 il profilo avrà tangente verticale. 156


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DETTAGLI
Esame: Idraulica
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher vasapollof di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Idraulica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Calomino Francesco.

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