Appunti idraulica

Indice

• Fascicolo 1
• 1. Le basi fisiche dell'idraulica
• 1.1. Sistemi e unità di misura pag. 4
• 1.2 I fluidi come sistemi continui pag. 6
• 1.3 Concetto di sforzo in un sistema continuo e di spinta su una superficie pag. 8
• 1.4 Distribuzione degli sforzi intorno ad un punto pag. 9
• 2. Statica dei fluidi
• 2.1 Pressione pag. 12
• 2.2 Densità, peso specifico pag. 13
• 2.3 Comprimibilità pag. 13
• 2.4 Equazione di stato pag. 16
• 2.5 Equazione indefinita della statica dei fluidi pag. 17
• 2.6 Equazione fondamentale pag. 19
• 2.6.1. Fluidi comprimibili pag. 19
• 2.6.2. Fluidi incomprimibili pag. 20
• 2.7 Fluidi non miscibili pag. 23
• 2.8 Gas sovrapposto ad un liquido pag. 23
• 2.9 Fluido in pressione e in depressione pag. 24
• 2.10 Misura della pressione pag. 25
• 2.10.1 Manometro metallico pag. 26
• 2.10.2 Piezometro pag. 26
• 2.10.3 Capillarità pag. 26
• 2.10.4 Tensione superficiale pag. 27
• 2.10.5 Contatto liquido-gas-solido pag. 28
• 2.10.6 Manometro semplice pag. 30
• 2.10.7 Manometro differenziale pag. 31
• 2.10.8 Manometro ad aria pag. 32
• 3. Le forze nella statica dei fluidi
• 3.1 Equazione globale pag. 33
• 3.2 Spinta su una superficie piana pag. 37
• 3.2.1 Elementi di statica delle superfici piane pag. 37
• 3.2.2 Determinazione della spinta su una superficie piana pag. 39
• 3.3 Spinta su una superficie curva pag. 43
• 3.3.1 Applicazioni dell'equazione globale pag. 43
• 3.3.2 Metodo delle componenti pag. 46
• 3.3.3. Equilibrio di una campana immersa pag. 49
• 3.3.4. Equilibrio di una campana emersa pag. 49
• Fascicolo 2
• 4. Principi di cinematica dei fluidi
• 4.1 Punto di vista euleriano e punto di vista lagrangiano pag. 53
• 4.2 Regola di derivazione euleriana pag. 54
• 4.3 Traiettorie e linee di corrente pag. 55
• 4.4 Moto permanente e moto vario pag. 57
• 4.5 Osservazioni sul moto permanente e sul moto vario pag. 58
• 4.6 Portata e velocità media pag. 59
• 4.7 Equazione di continuità in forma locale pag. 60
• 4.8 Equazione di continuità in forma globale pag. 63
• 5. L'energia nel moto dei fluidi
• 5.1 Teorema di Bernoulli pag. 64
• 5.2 Teorema di Bernoulli per le correnti lineari pag. 68
• 5.3 Applicazione del teorema di Bernoulli alle misure di velocità e di portata. pag. 71
• 5.3.1 Tubo di Pitot pag. 71
• 5.3.2 Tubo di Venturi pag. 72
• 5.4 L'efflusso dei liquidi pag. 73
• 5.4.1 Luci - Coefficiente di contrazione - Ugelli pag. 73
• 5.4.2 Efflusso da luce in parete sottile pag. 76
• 5.4.3 Bocca addizionale esterna. Pag. 80
• 5.4.4 Bocca addizionale interna pag. 81
• 6. Il moto in condotta dei liquidi perfetti
• 6.1. Condotta a diametro costante collegante due serbatoi pag. 83
• 6.2. Condotta a diametro variabile collegante due serbatoi pag. 84
• 6.3. Condotta a diametro variabile condotta in depressione pag. 86
• 6.4. Sbocco in atmosfera pag. 86
• 6.5. Sbocco con ugello pag. 88
• 6.6. Sifoni pag. 89
• 7. Equazione globale dell'idrodinamica
• 7.1 L'equazione globale in moto permanente pag. 93
• 7.2 L'equazione globale nel moto vario pag. 95
• 7.3 Efflusso da un ugello pag. 98
• 7.4 Perdite localizzate pag. 100
• 7.4.1 Brusco allargamento pag. 101
• 7.4.2 Perdita d'imbocco pag. 102
• 7.4.3 Perdita di sbocco pag. 103
• 7.5 Efflusso da condotta con ugello pag. 103
• Fascicolo 3
• 8. Moto dei fluidi reali. Principi
• 8.1 Regimi di moto pag. 108
• 8.2 Sforzo tangenziale e perdita di carico pag. 108
• 8.3 Formule pratiche di moto uniforme pag. 111
• 8.4 Formule per il moto laminare pag. 112
• 8.5 Formule per il moto turbolento pag. 114
• 8.6 Le formule di moto attraverso l'analisi adimensionale pag. 118
• 8.6.1 Moto laminare pag. 119
• 8.6.2 Moto turbolento pag. 121
• 8.6.3 Moto turbolento in tubi lisci pag. 123
• 8.6.4 Moto turbolento di transizione pag. 124
• 8.7 Perdite di carico localizzate come fenomeni turbolenti pag. 127
• 8.7.1 Perdita nei divergenti pag. 127
• 8.7.2 Perdita d'imbocco pag. 127
• 8.7.3 Perdita d'imbocco nel caso di tubazione ben immersa nel serbatoio pag. 129
• 8.8 Tubazione con perdite distribuite munita di ugello pag. 129
• 8.9 Sbocco con diffusore pag. 131
• 9. Pompe ed impianti di sollevamento pag. 133
• 10. Le lunghe condotte
• 10.1 Problema di progetto pag. 139
• 10.2 Problema di verifica pag. 142
• 11. Correnti a superficie libera
• 11.1 Generalità pag. 144
• 11.2 Espressione dell'energia specifica pag. 145
• 11.3 Espressione dell'energia critica in sezione rettangolare pag. 146
• 11.4 Comportamento fisico delle correnti lente o veloci pag. 147
• 11.5 Espressione dell'energia critica in sezione generica pag. 148
• 11.6 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera pag. 149
• 11.7 Il moto permanente in correnti a superficie libera pag. 151
• 11.8 Profili di moto permanente in alveo prismatico pag. 153
• 11.8.1 Profili di corrente in alveo a debole pendenza pag. 153
• 11.8.2 Profili di corrente in alveo a forte pendenza pag. 155
• 11.9 Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa pag. 157
• 11.10 Il risalto idraulico pag. 159
• 11.11 Casi particolari pag. 161

Le basi fisiche dell'idraulica

Sistemi e unità di misura

La misura di una grandezza fisica è l'operazione con la quale questa viene confrontata con una grandezza della stessa specie assunta come unità di misura: per misurare una lunghezza si adopera una unità di lunghezza, per misurare un peso si adopera un'unità di peso etc. Le grandezze con cui si ha a che fare nella meccanica sono molte, e, benché esistano unità specifiche per ciascuna di esse, per poter eseguire i necessari confronti risulta necessario esprimerle tutte con riferimento a poche grandezze prescelte, tenendo presenti le leggi fisiche che tra queste intercorrono.

Si pensi per esempio alla velocità di una barca: l'unità di misura propria della velocità dei natanti è il nodo; questa unità va benissimo quando si vogliano confrontare tra di loro le velocità di due barche. Ma, per conoscere qual è lo spazio coperto in un determinato tempo da una barca che viaggia a una data velocità in nodi, è necessario sapere che un nodo equivale a un miglio nautico all'ora = 1,852 km/ora.

Ciò mostra anche che noi siamo perfettamente abituati ad esprimere la velocità tramite due altre grandezze, di cui l'una è misura di una lunghezza, e l'altra misura di un tempo: sicché senza problemi parliamo di metri al secondo o di km all'ora. Nel fare ciò, implicitamente facciamo uso della legge fisica che definisce la velocità come rapporto tra spazio e tempo, e consideriamo la velocità una grandezza non fondamentale ma derivata.

Una volta scelte alcune grandezze come fondamentali, e fissate le loro dimensioni [D₁], [D₂], etc., le dimensioni delle grandezze derivate, che cioè risultano funzioni delle fondamentali attraverso leggi meccaniche, sono delle combinazioni delle dimensioni delle grandezze fondamentali.

Ad esempio, la velocità è una funzione del tempo e dello spazio: v = s/t; se scegliamo lo spazio e il tempo come grandezze fondamentali, e poniamo [L] e [T] le rispettive dimensioni, le dimensioni di v risultano: [v] = [L][T]^-1.

In generale, se G è una funzione delle grandezze fondamentali D₁, D₂, D₃, ... le dimensioni di G, [G], verranno espresse come D₁^n₁ D₂^n₂ D₃^n₃, dove n₁, n₂, n₃, ... sono dei numeri puri. Possiamo quindi fissare il principio di omogeneità dimensionale per controllare se una legge fisica, in cui compaiono grandezze di cui conosciamo le dimensioni, è scritta correttamente: l'esponente di ogni grandezza al primo membro della legge deve risultare uguale al prodotto degli esponenti delle stesse grandezze scritte al secondo membro.

Per esempio, nella legge del moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla, s = 1/2 a t², scelte come fondamentali la lunghezza e il tempo, risulta: [s] = [L] e [a] = [L][T]^-2.

A seconda della scelta delle grandezze fondamentali, si possono stabilire diversi sistemi di misura; unica condizione è che le grandezze scelte come fondamentali siano tra di loro meccanicamente indipendenti; ciò significa che non deve esistere un legame fisico tra dette grandezze tale che le dimensioni dell'una risultino pari al prodotto delle dimensioni delle altre elevate ad esponenti numerici.

Per esempio, non si possono scegliere come dimensioni fondamentali lo spazio, la velocità e il tempo, perché risulta: s = v t, [s] = [L] e [v] = [L][T]^-1. Ugualmente non si possono scegliere forza, massa, spazio e tempo perché essendo F = m a risulta: [F] = [M][L][T]^-2.

Il Sistema Internazionale (SI) ha come grandezze fondamentali la lunghezza, la massa ed il tempo: L, M, T. Il Sistema Tecnico (ST) ha come grandezze fondamentali la lunghezza, la forza ed il tempo: L, F, T. È facile verificare che dette grandezze rispondono al requisito di essere dimensionalmente indipendenti.

Il Sistema Internazionale ed il Sistema Tecnico hanno le stesse unità di misura per lunghezze e tempi. L'unità di misura della lunghezza è il metro (m); esso fu originariamente definito come una frazione della lunghezza del meridiano terrestre: esattamente il meridiano misura 40 x 10⁶ m. Tale definizione fu assunta nel 1791 da una commissione costituita in Francia su incarico dell'assemblea costituente, e di cui facevano parte Borda, Condorcet, Lagrange, Laplace, Monge.

Nel 1960, l'XI Conferenza internazionale dei pesi e misure adottò una diversa definizione del metro, basata sulla lunghezza d'onda della radiazione emessa in certe condizioni dall'isotopo 86 del Kripton.

L'unità di misura del tempo è il secondo (s), che è una frazione del giorno solare: esattamente un giorno è lungo 86400 s; più recentemente si è adottata per il secondo una definizione fisica, basata sul periodo di oscillazione dell'isotopo 133 del Cesio.

Per quanto riguarda il SI, la massa è una grandezza fondamentale, e la sua unità di misura è il chilogrammo (kg), che è praticamente uguale alla massa di un dm³ d'acqua distillata alla temperatura di 4°C.

Tutte le altre grandezze sono derivate. Tra queste, la forza è una grandezza derivata, e la sua unità di misura è il newton (N), che è la forza necessaria a far acquistare alla massa di 1 kg l'accelerazione di 1 m/s².

Per quanto riguarda il ST, è la forza la terza grandezza fondamentale, e la sua unità è il chilogrammo peso (kg), che è il peso di un dm³ di acqua distillata alla temperatura di 4°C.

Tutte le altre grandezze sono derivate; tra esse, la massa la cui unità di misura è il kg s²/m.

La figura 1.1 riassume la definizione di chilogrammo sia nel ST che nel SI.

Se teniamo conto della legge meccanica che definisce il peso di un corpo P = m g dove g è l'accelerazione di gravità, potremo vedere come facilmente si possono ricavare le misure della massa nel ST, e dei pesi nel SI. Un dm³ di acqua distillata a 4°C, che nel ST pesa 1000 kg, avrà la massa di 1000/9,806 x 10² kg s²/m. Lo stesso dm³, nel SI, e il suo peso sarà di 9806 N.

Non sarà male, per fissare visivamente le idee, fare riferimento alla seguente tabella:

Una bottiglia d'acqua che pesa 1 kg, avrà la massa di 0,102 kg. Un bicchiere d'acqua, che pesa 100 g, avrà la massa di 0,01 kg s²/m².

Nel SI, la stessa bottiglia d'acqua avrà la massa di 1 kg e il peso di 9,8 N. Lo stesso bicchiere d'acqua avrà la massa di 0,1 kg e il peso di circa 1 N (figura 1.2).

Tutte le unità di misura delle altre grandezze meccaniche possono essere ricavate in base alle grandezze fondamentali; in genere si stabiliranno, per comodità, delle unità di misura derivate: per esempio l'unità di misura delle forze nel SI è il newton, l'unità di misura del lavoro è il joule, etc.

Assunti i concetti fondamentali di cui sopra, le unità di misura delle grandezze fisiche saranno definite di volta in volta nel seguito.

I fluidi come sistemi continui

La distinzione tra solidi, liquidi ed aeriformi è nota a tutti dalla fisica elementare:

• Si dice solido un corpo che ha volume e forma propri
• Si dice liquido un corpo che ha proprio volume, ma non ha propria forma
• Si dice aeriforme un corpo che non ha né volume né forma propri

I liquidi e gli aeriformi si dicono fluidi. Un fluido, a differenza di un solido, subisce forti deformazioni anche sotto l'azione di forze molto piccole: questa proprietà può essere addirittura assunta come definizione di fluido. La proprietà dei solidi e dei liquidi di avere un proprio volume si esprime in termini più corretti dicendo che per variarne il volume occorre esercitare sforzi notevoli; in particolare un liquido, se posto in un recipiente, in condizioni normali non ne occuperà tutto il volume disponibile, e sarà separato da una superficie libera dal fluido circostante (per esempio l'aria); inoltre il liquido assume la forma della parte di recipiente che va ad occupare.

Un aeriforme, al contrario, subisce facilmente variazioni di volume, e, se posto in un recipiente (chiuso), occupa tutto lo spazio a disposizione. Tale diversità di comportamento è dovuta alla distanza relativa tra le molecole che compongono solidi, liquidi, aeriformi. Tanto maggiore è questa distanza, tanto minori sono le forze di mutua attrazione e tanto meno il corpo si oppone alle deformazioni. Si può fare riferimento, in sintesi, alla tabella seguente.

Pur sapendo che ogni corpo è composto da molecole (e queste a loro volta da atomi, e così via), e che queste sono in continua agitazione nello spazio, la meccanica dei sistemi continui si fonda sulla possibilità di trattare i corpi come sistemi rigorosamente continui, cosa che rende possibile la formulazione analitica di molti problemi.

Le ipotesi di base della meccanica dei sistemi continui sono dovute a Leonhard Euler (1707-1783), svizzero, matematico e fisico, uno dei fondatori dell'idrodinamica, col cui nome si indicano le equazioni che reggono il moto dei fluidi (equazioni di Eulero).

Un fluido può essere considerato un sistema continuo se, anziché riferirsi alle molecole come particelle elementari, si prende in considerazione una particella del corpo in esame abbastanza grande perché il suo volume non abbia influenza; si tiene conto di un intervallo di tempo abbastanza lungo perché si possano considerare le caratteristiche medie temporali del fenomeno in esame; e si assegnano al punto dello spazio al centro di questa particella e all'istante centrale dell'intervallo considerato le caratteristiche fisiche medie della particella nell'intervallo assunto.

La possibilità di adottare una simile procedura potrà essere chiarita con un esempio. Si assuma un volume V₁ all'interno del fluido, e al tempo t₁, istante centrale di un intervallo dt₁, si valuti la massa M₁ in esso contenuta e si valuti il rapporto tra massa e volume: ρ₁ = M₁/V₁. Si assuma ora un volume V₂ più piccolo di V₁, e si valuti allo stesso modo ρ₂ = M₂/V₂. Si otterrà sempre lo stesso valore finché, per aver ridotto troppo il volume, non si troverà un valore diverso del rapporto. Ciò vuol dire che si è finito per escludere qualche molecola, e che l'ultima dimensione utile della particella è quella del passo precedente. La stessa cosa si potrà poi fare, riducendo l'intervallo di tempo dt, finché non si ottengano valori molto diversi dalla serie precedente.

Poiché il volume della particella elementare e l'intervallo dt sono molto piccoli rispetto alle dimensioni dei fenomeni in esame nella meccanica dei fluidi ed ai tempi in cui essi si svolgono, è corretto considerare i fluidi come sistemi rigorosamente continui.

Concetto di sforzo in un sistema continuo e di spinta su una superficie

Quando si prende in esame un sistema continuo, occorre considerare anzitutto le forze esterne che su di esso possono agire. Esse sono:

• Le forze di massa
• Le forze di superficie

Le forze di massa sono quelle forze che agiscono ugualmente su tutte le particelle, e risultano proporzionali alla massa delle particelle stesse. Le forze di gravità sono forze di massa, le forze d'inerzia sono anch'esse forze di massa.

Le forze di superficie sono quelle forze che si esercitano sulla superficie esterna del corpo. Le forze esercitate su di un fluido dalle pareti del recipiente che lo contiene sono forze di superficie.

Nella meccanica dei sistemi continui hanno importanza non solo le forze esterne, ma anche le sollecitazioni interne: per capire come queste sollecitazioni si generano, consideriamo un solido cui sia applicato, sulla superficie esterna, un sistema di forze a risultante nulla.