Appunti di Idraulica

Principio di conservazione della massa

Pensiamo a un elemento di fluido (liquidi, gas) che si muove lungo una traiettoria, e si assiste a una variazione d'energia, velocità. Se questo elemento di fluido, nel compiere sempre dallo stesso numero di molecole, che cosa è che non varia?

Quello che non varia è la massa.

... come possiamo esprimere il fatto che una grandezza non varia in questo senso: grandezza a t è come a t+Δt è la variazione che è avvenuta?

Quando facciamo riferimento ad una derivata parziale di una qualunque grandezza b:

Cioè non facciamo altro che prendere all'interno del rapporto incrementale di questa grandezza, ossia, stiamo individuando in un punto fisso dello spazio il tasso con il quale questa grandezza in questo punto varia. Esempio: stiamo guardando come cambia una grandezza in quel punto nello spazio.

Come cambia la temperatura di una pallina di cannone in movimento?

Una pallina di cannone in movimento senza rallentamento mi viene descritta nel punto A, di un momento, una certa temperatura T1 e nel punto I la temperatura T2. Quindi se consideriamo una particella della dimensione della variazione della temperatura a cavallo della variazione della temperatura, parlando della variazione della massa di questa particella in movimento.

Allora qui non abbiamo a che fare con una derivata parziale, ma con una derivata materiale (derivata sostanziale) dove alla derivata materiale sostanziale prendiamo poi riferimento anche la legge del moto (passaggio nello spazio della particella e consideriamo anche in quel passaggio della variazione della grandezza). Allora scriveremo:

A questo punto posso esprimere il Principio di Conservazione delle Masse come:

di questa formulazione di cui la vari ph della veloc di incremente un cosevamo epe di ...

Però la massa posso ottenerla così:

r = densità

A sua volta, la derivata è espressa come una funzione della variabile indipendente espressa in termini di un sistema di riferimento (cartesiano) e nel tempo.

Quindi, il primo modo con il quale ragionare la derivata sostanziale della massa, è che la derivata

\[ \frac{d}{dt} \int_{V} \rho dV = 0 \]

Dalrrento l’esistenza quest’evarione (nella quale conv’iazione delle derivoete anchessi, intedi sostanziali

in un’evarione che possa apittentarsi,

Proviamo a scriverla in forma estesa:

_∂p/_∂t + ∂ρu/_∂x + ∂ρV/_∂y + ∂ρW/_∂z = 0

Se la densità è costante nello spazio ed è permanente:

Chiarimento:

Noi parliamo di moto uniforme, di moto permanente e di moto vario. Il moto vario è quel moto caratterizzato dall’ fatto che tutte le grandezze dipendono di variabili dello spazio e del tempo, di moto permanente è un moto caratterizzato del fatto di avere le velocità che, avviene sulle traiettorie, non, in ogni punto di esse non sono costanti nel tempo!

• Traiettoria - successione di punti occupati delle particelle in movimento
• Linea di corrente è quella linea caratterizzata in un determinato istante d’avere le velocità tangenti ad essa tangenti. Nel caso di moto permanente si ha la coincidenza tra le linee di corrente e le traiettorie.

A questo punto possiamo dire, che se sia giusta, è, uni uniforme ed è permanente (prevedendo anche l’ipotesi che il moto non possa essere uniforme), va, se se sà e può lo possiamo approssimare formato di una volta permanenza per incide anch’esso, possiamo cancellare l’osservazione, quindi, all’equazione di continuità per un fluido incomprimibile:

∂u/_∂x + ∂V/_∂y + ∂W/_∂z = 0

div (V) = 0

Moto Isocoro

Il campo di moto associato ad una configurazione di questo tipo, è un campo di moto la cui divergenza della velocità è uguale a zero.

Abbiamo una semplificazione dell’equazione di continuità.

Campo di moto solenoidale

Isocoro - Volumi costanti

[1:30:03]

Vediamo ora una conseguenza dermività dall'equazione di continuità:

proviamo a pensare come possiamo trasformare una qualunque derivata in un integrale di una grandezza (c scalare), per la densità ρ:

d/dt ∫_V c ρ dV

[2.10]

Queste 6 componenti scalari possiamo pensarle come dei scalari che partecipano alla formazione di un tensore di secondo ordine T:

T_xx = componente lungo l'asse delle x due egiretto sulla faccia normale all'asse delle x

T_yx = componente lungo l'asse delle x del vettore egiretto sulla faccia normale all'asse delle y

T_yx

T_zx

T_yy

T_zz ....

T segno

Conclusione:

Ci accorgiamo che tutta questa annotazione è riferimentabile con la ben nota equazione di Cauchy:

T(n) = T · n

Il rotore della velocità è dato da:

rot _r v = ∇_r ∧ u → vettore velocità

∇_rv = L_x L_y L_z ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z = [L_x (∂w/∂y - ∂v/∂z), L_y (∂u/∂z - ∂w/∂x), L_z (∂v/∂x - ∂u/∂y)]

Inoltre, se rot _r lo dobbiamo ancora moltiplicare vettorialmente per d^x, ossia dobbiamo eseguire il determinante:

L_x L_y L_z (∂v/∂z - ∂w/∂y) (∂w/∂z - ∂u/∂z) (∂u/∂y - ∂v/∂x) dx dy dz

ci accorgiamo che la prima componente del prodotto scalare sarà:

L_x dx(∂w/∂z - ∂u/∂y) - dy(∂u/∂z - ∂v/∂x) L_y dy(∂u/∂x) - dz(∂v/∂y - ∂u/∂x) L_z dz(∂v/∂y) - dx(∂w/∂z -∂v/∂x)

Vediamo dimostrare che il noto rappresentato dal prodotto scalare d^x ∧ n, è una velocità di pura rotazione rigida:

Possiamo quindi fare una riflessione sintetica su come siano in grado di esprimere la relazione tra una velocità angolare e una tangenziale:

• Supponiamo di avere un moto su quell'asse orizzontale animato da velocità angolare w_K; la velocità tangenziale sarà indicata con V_t. Diciamo che:
• V^t = W^K ∧ r^C
• I moti animati da un rot _r sono utili (assenza di vorticità) sono anche utili elementi di fluido in movimento; deformandosi, animati anche di traslazione rigida, ruotano anche intorno al proprio asse

creazione di un vortice

se la conformiamo con: d^x ∧ n = 1/2 rot _r ∧ d^x

ci accorgiamo che questa è una velocità tangenziale ed un modo di pura rotazione rigida.