I vettori: definizione, operazioni e proprietà.

Vettori

Si dice grandezza scalare una grandezza fisica la cui misura è espressa solo un numero. Si dice, invece, grandezza vettoriale la grandezza fisica la cui misura necessita di 3 numeri (o informazioni).

Un vettore è una grandezza rappresentabile con un segmento orientato, caratterizzato, perciò, da:

• Direzione, cioè la retta su cui giace;
• Verso, indicato da una freccia;
• Modulo, che indica la lunghezza del segmento.

Il punto Q è detto Punto di Applicazione. Due vettori con uguali D, V, M sono detti Equipollenti.

Metodi di Caratterizzazione

V = V_xi + V_yj + V_zk

oppure

V (V_x, V_y, V_z)

|V| = √(V_x² + V_y² + V_z²)

• V_x = V cos α
• V_y = V cos β
• V_z = V cos γ

Coseni Direttori

Luigi Schiavone

I vettori: definizione, operazioni e proprietà.

Vettori

Si dice grandezza scalare una grandezza fisica la cui misura è espressa solo da un numero. Si dice, invece, grandezza vettoriale la grandezza fisica la cui misura necessita di 3 numeri (o informazioni).

Un vettore è una grandezza rappresentabile con un segmento orientato, caratterizzato, perciò, da:

• DIREZIONE, cioè la retta su cui giace;
• VERSO, indicato da una freccia;
• MODULO, che indica la lunghezza del segmento.

Il punto _Q è detto punto di applicazione. Due vettori con uguale _D, _V, _M sono detti equipollenti.

Metodi di caratterizzazione

_V = _Vx ⁱ + _Vy ^j + _Vz ^k

oppure _V (_Vx, _Vy, _Vz)

|_V| = √(_Vx² + _Vy² + _Vz²)

_Vx = _V cos α

_Vy = _V cos β

_Vz = _V cos γ

Coseni direttori

Luigi Schiavone

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VERSORI

Un vettore di modulo pari a 1 è detto versore.

≡ (1,0,0)   ≡ (0,1,0)   ≡ (0,0,1)

Operazioni sui vettori

• Prodotto k_V con k ∈ R

kV = k con modulo Vk verso rispetto a quello di V concorde per k > 0 e direzione uguale a quella di V.

• Somma (o risultante) o differenza

Dati più vettori V_i (i = 1, ..., N) si definisce:

R = V₁, ... ,V_N   →    

• R_X = ∑ V_i,x
• R_Y = ∑ V_i,y
• R_Z = ∑ V_i,z

Dal punto di vista grafico si procede utilizzando il metodo del parallelogramma, o quello punta coda.

La differenza si ottiene con la somma del vettore del verso opposto.

• Prodotto scalare V₁ · V₂

Il risultato di tale operazione è uno scalare definito così:

V₁ · V₂   =   V₁ V₂ cos Θ

dove Θ è l'angolo compreso tra V₁, V₂

V₁ · V₂ = V_1xV_2x + V_1yV_2y + V_1zV_2z

Luigi Schiavone

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dimostrazione

Considerando _V1•_V2cosθ come il prodotto di _V2 su _V1, si può dedurre graficamente che:

(^{V₁ + V₂}) • V₃ = V₃ |( V₁, V₂ )| cosθ

= V₃ (V₁ cosθ, V₂ cosθ,)

= V₃ V₁ cosθ + V₃ V₂ cosθ =

= V₃V₁ + V₃V₂ - V₁V₃ + V₂V₃

Essendo

^V₁V₂ = (ˆi V_1x + V_1y + V_1z ) (ˆi^V_1x V_2y + k V_2z ) =

V •V₁ = V_xV_x + V_1yV_2y + V_1zV_2z

PRODOTTO VETTORIALE

Tale operazione ha come risultato un vettore che ha per modulo la quantità V₁V₂senθ (A di\uoco), direzione ortogonale al piano che individuano ^V₁V₂ e verso determinato dalla positività/negatività di senθ.

Quindi:

|^V₁xV₂| = |V₁V₂ senθ|

con θ = angolo fra ^V₁V₂

verso USCENTE per sen θ > 0 (0-π) ENTRANTE per sen θ < 0 (π-2π)

Ne consegue che

V₁xV₂ = -V₂xV₁

Vale la PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA RISPETTO ALLA SOMMA, per cui:

{i x} = j , j x k = 1, i x = j

Luigi Schiavone

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