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MOTO RETTILINEO IN CUI L’ACCELERAZIONE È DATA COME FUNZIONE DELLA
POSIZIONE
A volte di un moto è nota l’accelerazione in funzione della posizione e non in funzione del
tempo: conosco quanto vale l’accelerazione nelle varie posizioni sulla traiettoria e non come
l’accelerazione vari in funzione del tempo (naturalmente, l’accelerazione varierà comunque in
funzione del tempo solo che non se ne conosce la legge).
Dato che la posizione è funzione del tempo (anche se di questa relazione non se ne conosce la
legge) si ha che: () = (())
(()) (()) () (()) ()
(()) = = ∙ = ∙
()
()
Se io voglio conoscere la velocità in funzione della posizione, allora posso pensare alla parte
evidenziata come velocità in funzione di che diventa la funzione incognita da ricavare
risolvendo la seguente equazione differenziale:
(()) ∙ (())
(()) = ()
per non fare confusione e l’equazione diventa:
Leviamo la ()
() = ∙ ()
Questa equazione differenziale si può risolvere per variabili separabili:
() ∙ = () ∙ ()
()
∫ () ∙ = ∫ () ∙ ()
( )
0 0
Otterremo: 2
2 )
(
()
0
−
∫ () ∙ = 2
2
0
dall’accelerazione in funzione della posizione, dà la velocità in
Il risultato finale che, a partire
funzione della posizione è:
2
2 )
(
() + 2 ∫ () ∙
=
0 0
Vedremo poi in Dinamica che questo risultato non è altro che una espressione cinematica del
Teorema dell’energia cinetica, che dice che se un corpo è sottoposto a una forza, il lavoro
compiuto da questa forza è uguale alla variazione dell’energia cinetica del corpo stesso.
–
Lezione 10 di Fisica 1 del prof. Gabrielli Anno 2022 5
(),
Una volta nota si potrebbe ricavare la legge oraria da:
() = (())
ma la soluzione di questa equazione differenziale del primo ordine non è semplice in quanto non
’() = (), ’() = (()).
è una equazione differenziale diretta del tipo ma è del tipo
Si potrebbe provare a risolverla per variabili separabili:
()
= −
= ∫ 0
() ()
( )
0
se si riesce a risolvere l’integrale si ottiene ().
Comunque anche se non si riesce a determinare la legge oraria, conoscere la velocità in funzione
della posizione dà comunque informazioni significative sul moto. Nello studio del moto del
pendolo, per esempio, la legge oraria si riesce a trovare solo per piccole oscillazioni del
pendolo, mentre invece si riesce a trovare la velocità in funzione della posizione (dell’angolo)
del pendolo.
Troviamo la velocità in funzione della posizione per alcuni tipi di moto:
( = 0)
Moto rettilineo uniforme 2
2
2 )
(
)
(
() =
+ 2 ∫ () ∙
=
0
0 0
( = ≠ 0)
Moto rettilineo uniformemente accelerato 0
2
2
2 )
(
)
(
)
(
() −
+ 2
=
+ 2 ∫ () ∙
=
0
0
0
0 0
2 )
(
)
( (∗)
−
+ 2
() = ±√ 0
0
0
> 0.
Prendiamo il caso 0
L’equazione (∗) ha due soluzioni reali se:
2 ( ) ( )
+ 2 − ≥ 0
0 0 0
Ciò vuol dire che è definita una velocità del punto materiale solo per le posizioni tali
che: 2 ( )
0
≥ −
0 2
0
È così perché nelle posizioni che non rispettano tale disequazione il punto materiale non
ci arriverà mai. Vediamo perché.
)
( > 0 ≥
Chiaramente se il punto materiale si sposta a destra di e quindi : la
0 0 0
disequazione è sempre vera. –
Lezione 10 di Fisica 1 del prof. Gabrielli Anno 2022 6
) < 0
( il punto materiale si sposterà inizialmente a sinistra di ,
Se invece 0
0 ∗
diminuirà la sua velocità fino ad annullarla in e poi invertirà il moto accelerando nel
.
verso positivo di Nella semiretta evidenziata in rosso in figura il punto materiale non
∗
passerà mai, mentre in ogni posizione del tratto da a passerà due volte: la prima
0
volta andando da destra verso sinistra, la seconda da sinistra verso destra. Questo spiega
± (∗).
la ragione del nella
∗ )
( = 0 ( ) < 0
0
2 )
(
0
0
∗
= − > 0
0 0
2
0
< 0.
Prendiamo ora il caso 0
L’equazione (∗) ha due soluzioni reali se:
2 )
|(
)
( ≥ 0
−
− 2|
0
0
0
Ciò vuol dire che è definita una velocità del punto materiale solo per le posizioni tali
che: 2 ( )
0
≤ +
0 |
2|
0
È così perché nelle posizioni che non rispettano tale disequazione il punto materiale non
ci arriverà mai. Vediamo perché.
)
( < 0 ≤
Chiaramente se il punto materiale si sposta a sinistra di e quindi :
0 0 0
la disequazione è sempre vera.
)
( > 0
Se invece il punto materiale si sposterà inizialmente a destra di , diminuirà
0 0
∗
la sua velocità fino ad annullarla in e poi invertirà il moto accelerando nel verso
.
negativo di Nella semiretta evidenziata in rosso in figura il punto materiale non
∗
passerà mai, mentre in ogni posizione del tratto da a passerà due volte: la prima
0
volta andando da sinistra verso destra, la seconda da destra verso sinistra. Questo spiega
± (∗).
la ragione del nella ∗ )
( = 0
( ) > 0
0
( )
2
0 0
∗
= +
< 0 0 |
|
0 2
0
Come si può vedere, anche senza conoscere la legge oraria si hanno molte informazioni
().
sul moto dalla conoscenza di –
Lezione 10 di Fisica 1 del prof. Gabrielli Anno 2022 7
risolvendo l’equazione
()
In questo caso si potrebbe anche ricavare la legge oraria da
vista in precedenza:
()
= − = ∫ = −
∫ 0 0
() 2 ( )
√ + 2 −
( ) 0 0
0
0 0
1
02
[ ( )]
+ 2 −
1 2
0 0
−
02
[ ( )] = −
= − →
∫ + 2 − ]
[
2 0
0
0 0 1 2
0 0
2
0
1
02
[ )]
( −
+ 2 1
2
0
0 0 02
[ ( (
)] )
− = − → + 2 = +
− −
2
0 0 0 0
0 0
0 0 02
02
02 2
)
(
)
(
)
( −
+
−
= + 2
−
+ 2 0
0
0 0
0
0 1 2
2 )
(
)
) (
(
)
(
) −
+
−
− → = +
+
−
= 2
2( − 0
0
0
0 0 0
0
0
0
0 2
Questa è la legge oraria del moto uniformemente accelerato che già conosciamo.
ℎ ( = 0, = −)
Caduta di un grave da una altezza a velocità iniziale nulla 0
= ℎ
È un moto uniformemente accelerato, con e quindi:
0
2
2 )
)
(
() = −2( − ℎ) = 2(ℎ − )
+ 2( −
=
0
0 () = ±√2(ℎ − )
≤ ℎ
Il grave è in caduta, quindi (la radice dà valori reali sempre) e la velocità è
negativa (va preso il segno meno):
() = −√2(ℎ − )
2
(() = − )
Moto armonico semplice
02
02
02 2
2
2
2
2 )
(
)
(
() −
= −
= − 2 ∫
+ 2 ∫ () ∙
=
0
0
0
Questa equazione si può anche scrivere come: 02 02
2 2 2
2 () + = +
2
dell’oscillazione, la quantità () +
Questa equazione ci dice che in ogni posizione
02 02
2 2 2
+
non cambia, è costante ed è pari a .
Questa relazione, come vedremo in seguito, è una espressione del teorema di
conservazione dell’energia meccanica, che vedremo più avanti nel corso.
La velocità in funzione della posizione in questo caso è:
–
Lezione 10 di Fisica 1 del prof. Gabrielli Anno 2022 8
02 02
2
2 ( )
() = ±√ −
−
L’equazione ha
due soluzioni reali (perché a seconda del moto nella stessa posizione
il punto materiale passa andando da destra verso sinistra o da sinistra verso destra) se:
02
02 02
02
02 02
2 2 2 2
2
2 )
( ≥ 0 ≤ + ≤
−
− +
2
Quindi: 2
0
√ 02
|| ≤ +
2
tra due estremi e l’ampiezza del moto
Il m
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