Guida per scritto di Analisi II

Parziale anni precedenti: 6 crediti

• integrale doppio
• integrale triplo
• equazione differenziale (lineare a coeff. cost.)
• numeri complessi
• domanda teorica eq. diff
• domanda teorica integrale

Parziale quest'anno: 9 crediti

• integrale triplo
• equazione differenziale (lineare a coeff. cost)
• serie
• Gauss Green in R³, oppure domanda Gauss Green in R², + domanda complessi (radice n-esima di un numero complesso)

Totale anni precedenti: 6 crediti

• max min
• integrale triplo
• equazione differenziale (variabili separabili oppure lineare a coeff. cost)
• numeri complessi
• domanda teorica eq. diff
• domanda teorica max min

totale quest'anno: 9 crediti

• massimi e minimi
• integrale triplo
• equazione differenziale (variabili separabili oppure lineare a coeff. cost)
• serie
• Gauss Green in R², oppure
• (Gauss Green in R², + domanda teorica o complessi)

PUNTI CRITICI (ESTREMI + SELLA) max-min

SCHEMA GENERALE:

1. H₂ definita positiva ⇒ c è pt. di minimo
2. H₂ definita negativa ⇒ c è pt. di massimo
3. H₂ semidefinita positiva ⇒ c o pt. di minimo o pt. sella
4. H₂ semidefinita negativa ⇒ c o pt. di massimo o pt. di sella
5. H₂ non definita ⇒ c è pt. di sella

- Soluzioni: Quando avremo questo?

1. Se tutti i minori principali determinanti > 0 ⇒ H₂ definita positiva Δ_k > 0 per k = 1, ..., n
2. Se tutti i minori dispari hanno determinante 0 maggiori pari hanno determinante > 0 ⇒ H₂ definita negativa (-1)^j K_j > 0 per k=1, ..., n
3. Se esiste un unico prin. di pt. pari numero i ≠ 0 ⇒ H₂ non definita Δ_i < 0 con H.P.R. es. (simus 2x2)
4. Se esistono i minori dispari tutti de vanitantico valuen _pt. non definita
• Δ_i = 0, Δ_i > 0 con i,j dispare

Gauss-Green

N²

Area dominio piano in R² ➔ A(D) = ∮_∂Ω x dy = -∮_∂Ω y dx

A(Ω) = ₁/² [∮ (x dy - y dx)]

N³ - Divergenza

∮_∂Ω F_n = ∫_Ω div F (x, y, z) dx dy dz

div F = _∂f1/^∂x + _∂f2/^∂y + _∂f3/^∂z

∭_z ((div F) (x, y, z = 1, z)) dx dy

Equazioni Differenziali

1. Variabili Separabili

   x' = a(t) b(x)

   • Verificare b(x) ≠ 0
   • da t₀ a t₁ ∫ dx/(b(x)) = ∫ c(t)

2. Lineare 1° Ordine

   x' = a(t)x + b(t)

   • Integrale solo a(t) da t₀ a t x(t) = e^{∫ a(s) ds}
   • x(t) = e^A(x₀ + ∫ b(s) e^-A)

3. Lineare Omogeneo 2° Ordine

   x'' = a₂ x + a₁ x

   • Δ > 0
   • Δ = 0
   • Δ < 0

1) Δ > 0 due radici distinte λ₁, λ₂

x = c₁ e^λ₁t + c₂ e^λ₂t

2) Δ = 0 due radici coincidenti

x = c₁ e^λt + c₂ t e^λt

3) Δ < 0 radici complesse

λ_1,2 = a ± ib

x₁ = e^at

x₂ = cos(bt)

X(t) = c₁ e^at cos(bt) + c₂ e^at sin(bt)

Si trovano c₁, c₂, inserendo le condizioni iniziali

Si trova il dominio della soluzione (insieme a t)