Guida per scritto di Analisi II

Parziale anni precedenti: 6 crediti

Integrale doppio
Integrale triplo
Equazione differenziale (lineare a coeff. cost)
Numeri complessi
Domanda teorica eq. diff
Domanda teorica integrale

Parziale quest'anno: 9 crediti

Integrale doppio
Integrale triplo
Equazione differenziale (lineare a coeff. cost)
Serie
Gauss Green in R², oppure domanda Gauss Green in R³, + domanda complessi (radice n-esima di un numero complesso)

Totale anni precedenti: 6 crediti

Max min
Integrale triplo
Equazione differenziale (variabili separabili oppure lineare a coeff. cost)
Numeri complessi
Domanda teorica eq. diff
Domanda teorica max min

Totale quest'anno: 9 crediti

Massimi e minimi
Integrale triplo
Equazione differenziale (variabili separabili oppure lineare a coeff. cost)
Serie
Gauss Green in R², oppure (Gauss Green in R³, + domanda teorica o complessi)

Punti critici (estremi + sella)

Schema generale:

1. _Hf definita positiva: c'è pt. di minimo
2. _Hf definita negativa: c'è pt. di massimo
3. _Hf semidefinita positiva: c'è o pt. di minimo o pt. di sella
4. _Hf semidefinita negativa: c'è o pt. di massimo o pt. di sella
5. _Hf non definita: c'è pt. di sella

Sylvester: Quando usare questo?

1. Se tutti i minori hanno determinante > 0 → _Hf definita positiva △_k, ∀k = 1... m
2. Se tutti i minori dispari hanno determinante 0 con i, j dispari → _Hf non definita

Caso n = 2

1. Se det > 0: f_xx(c) > 0, HP definita positiva
2. Se det ≤ 0: HP non definita
3. Se det = 0: HP semidefinita

Autovalori:

1. HP definita positiva ⟺ Tutti autovalori > 0
2. HP definito negativo ⟺ Tutti autovalori < 0
3. HP semidefinito positivo ⟺ Tutti autovalori ≥ 0
4. HP semidefinito negativo ⟺ Tutti autovalori ≤ 0
5. HP non definito ⟺ Tutti autovalori non devono ≤ né ≥ 0

Caso n. 2

Integrazione trapezoidale, coordinate polari
g: N Rxx g(u,v) = S(u,v) + q(s,u)S(e), S(u), x = Y =

Caso n. 3

Coordinate cilindriche
x: g = 0x x XQ: X[0,2Π]
Coordinate ellittiche cilindriche
x = aρcosθ, y = bρcosθ, z = z
det J_ac = abρ
Coordinate sferiche
x = ρsenφcosψ, y = ρsenφsenψ, z = ρcosφ
det J_ac = ρ²senφ
Coordinate ellissoidali
x = aρsenφcosψ, y = bρsenφsenψ, z = cρcosφ
det J_ac = abcρ²

Gauss - Green

In R² area dominio piano in R² → A(D)=∮_dω x dy =∮_dω y dx ⇒ A(D)=¹/₂|x dy - y dx|
In R³ - divergenza ∮_∂Ω F・in = ∫_Ω divF(x,y,z) dx dy dz = cα F (F₁,F₂,F₃) ⇒ divF= ^∂f₁/_∂x + ^∂f₂/_∂y + ^∂f₃/_∂z = ∬_(x)(y) [∫_∂Ω F(x,y,z{o})dz]dxdy

Integrali di superficie

Superficie contenuta, ovvero se ho un insieme S dove x=uy=vz=f(u,v)
Quindi per _F cioè una funzione f : K → RK è l'insieme da cui provengono le x e le y.
Quindi la superficie Σ ma funzione di K, ovvero Σ = G(K) deve G: K → R³
G (x, y) = (x, y, f(x,y))
Ora se ho la derivata di f rispetto a x e a y, e se se fa il prodotto vettoriale ∂f/∂x × ∂f/∂y ottenendo SEMPRE -∂f/∂x - ∂f/∂y + 1 e se se ricava il modulo di t scrivere:
^√1 + 1√f1²
Ora l'integrale sarà: ∫_K g (f(x,y)) ⋅ modulo dxdy funzioni tale a cui attribuito la Σ per la funzione f di x e y.

Numeri complessi

1. Forma algebrica (o cartesiana): Z = a + i b
2. Forma trigonometrica: Z = ρ (cos θ + i sen θ)

Da: ρ = |z| = √(a² + b²)
cos θ = ^a/_ρ sen θ = ^b/_ρ, θ = arc tg(^b/_a)
Formula potenza: z^m = ρ^m (cos (m θ) + i sen (m θ))

3. Forma esponenziale: Z = ρ e^{i θ}

Formula potenza: z^m = ρ^m e^{i m θ}

4. Radice numeri complessi: z_k = ρ^1/m (cos (^θ+2kπ/_m) + i sen (^θ+2kπ/_m))

con k = 0, n-1
Formule d'angoli: sen (α + β) = senα cos(β) + cos(α) sen (β)
cos (α + β) = cos(α) cos(β) - sen (α) sen (β)

5. Radica di equazioni: ^{-b ± √(b2 - 4ac)}/_2a r₁, r₂

Serie numeriche

_n=1∑^∞ a_n

1. Termini positivi a_k ≥ 0 ∀k
2. Condizione sufficiente: se _k∑ a_k ⇏ 0 ⇒ la serie NON CONVERGE
3. Condizione necessaria: se converge ⇒ allora a_k → 0

2. Studio la convergenza assoluta perché se essa verifica, implica anche la convergenza relativa:
   A2 sperimenterà: Criterio del rapporto (Cauchy) lim K→∞ |a_k+1/a_k| se 1 diverge
   (Hausd) 0≤|a_k+1/ 1 converge, al∞=1 diverge

Nei casi in cui ∑(±1)^k a_k non convergono assolutamente
Converge assolutamente + le serie?
_n=0∑(-1)ⁿ a_αn converg

Formule di piccoli per limiti:

e^x = 1 + x + o(x)   (x → 0)
log(1 + x) = x + o(x)   (x → 0)
Sen(x) = x + o(x)   (x → 0)
Cos(x) = 1 - ^x2⁄₂ + o(x²)   (x → 0)
x^a = ± ∞   x → ± ∞
log(x)^a⁄_x → 0   x → + ∞
x^a⁄_x → 0   x → + ∞   esponenziale
a^x⁄_x^a → ∞   x → - ∞
e^{x log x} = e⁰ = 1   x → 0
x log x = 0   x → 0 {da 0 da - ∞ domina la potenza rispetto al logaritmo}
o(o(x)) = o(x)
o(x + o(x)) = o(x)

Variabili separabili

1. X' = a(t) [x(t)]
   Verificare b(x) ≠ 0
   Integrale ∫_t0^t₁x'(s)/b(x(s)) ds = ∫_t0^t₁a(t)Y = x(s)dy = x'(s) ds
2. Lineare 1° ordine
   X = a(t) × [f + b(t)] : x X = 0
   Integrale solo a(t) - A_t0^t₁a(s) ds
   x(t) = x(t₀) e^Abe^-A
3. Lineare omogeneo 2° ordine
   X'' = a₀ x' + a₁x
   Polinomio caratteristico (g, h)
   1. Δ > 0, due radici Infinito μ₁, μ₂
   2. Δ = 0, due radici coincidenti, μ₁ = μ₂ = ...
      x = c₁e^μ₁t + C₂te^μ₂t
   3. Δ < 0, radici complesse, c₂ ⇒ x = C₁ e^{a t} cos(bt) + C₂ e^{a t} sin(bt)
      X(t) = C₁ e^{a t} cos(bt) + C₂ e^{a t} sin(bt)
      + Si trovano C₁ e C₂ inserendo le condizioni iniziali
      + Si trova il dominio della soluzione (minima t)