Meccanica razionale - il gruppo e il campo

Gruppo e campo

Sia I un insieme e σ un'applicazione da I×I in I con le seguenti proprietà:

1. x σ y = y σ x   ∀ x, y ∈ I
2. x σ (y σ z) = (x σ y) σ z   ∀ x, y, z ∈ I
3. ∃ un elemento e ∈ I (elemento neutro) tale che x σ e = e σ x = x,   ∀ x ∈ I
4. ∀ x ∈ I, ∃ x^-1 ∈ I (elemento giusto) tale che x σ x^-1 = x^-1 σ x = e

La coppia (I, σ) si chiama un gruppo commutativo (o abeliano). Ad esempio, l'insieme dei numeri interi N, con l'applicazione σ = + (ossia + è l'operazione di addizione), è un gruppo abeliano. Mentre (N, ·) non è un gruppo. (Q - {0}, ·) è un gruppo abeliano.

Sia I un insieme e σ una σ un'applicazione da I×I in I con le seguenti proprietà:

1. x σ y = y σ x ∀ x, y ∈ I
2. x σ (y σ z) = (x σ y) σ z ∀ x, y, z ∈ I
3. ∃ un elemento e ∈ I (elemento neutro) tale che x σ e = e σ x = x; ∀ x ∈ I
4. ∀ x ∈ I, ∃ x' ∈ I (elemento opposto) tale che x σ x' = x' σ x = e

La coppia (I, σ) si chiama un gruppo commutativo (o abeliano). Ad esempio, l'insieme dei numeri interi N, con l'applicazione σ = + (ovvero + è l'operazione di addizione), è un gruppo abeliano. Inoltre, (N, .) non è un gruppo. (Q-Z0, .) è un gruppo abeliano.

Corpo commutativo o campo

Sia I un insieme e siano σ e π due applicazioni definite in I x I ed a valori con I, tali che:

1. (I, σ) è un gruppo abeliano.
2. (I - {0}, π) è un gruppo italiano.
3. Vale la proprietà distributiva classica di π rispetto a σ, cioè x π (y σ z) = (x π y) σ (x π z), ∀ x, y, z ∈ I.

In tal caso, la terna (I, σ, π) si dice un corpo commutativo o campo. In genere, le applicazioni σ e π di cui sopra, si indicano rispettivamente con + e ·. Ad esempio, la terna (Q, +, ·), dove Q è l'insieme dei numeri razionali, + e · sono rispettivamente i segni di addizione e moltiplicazione tra razionali, rappresenta un campo, il campo dei numeri razionali.

Campo totalmente ordinato

Un campo (I, +, .) si dice un campo totalmente ordinato, e si indica con (I, +, . , a, b, c ∈ I con a a, b, c ∈ I con a 0 allora a . c mentre se a b . c- Un campo totalmente ordinato (I, +, . , sup A- Ovvero, la proprietà è equivalente (cioè vale una se e solo se vale l'altra).

iii^° per ogni intervallo limitato inferiormente A di I, 3 inf A. Infatti, se vale la iii^° e sia A un insieme limitato inferiormente, consideriamo l'insieme A' = { -a : a ∈ A } sia m un minorante per A, cioè m ≤ a ∀ a ∈ A, allora -m ≥ -a (vale iii^°) ∀ a ∈ A, ovvero -m è un maggiorante per A', quindi A_i è limitato superiormente ⇒ sup A_i ; Proviamo che - sup A_i è sì proprio l'estremo inferiore di A_i ; Da sup A_i ≥ a ∀ a ε A ⇒ - sup A_i ≤ -a ∀ a ε A ⇒ sup A_i è un minorante per A_i , ∀ A_i ∀ se M è un minorante per A allora - M è un maggiorante per A, da cui sup A ≤ M ⇒ sup A ^≥ M , quindi - sup Aⁱ è il massimo dei minoranti di Aⁱ - sup A ⊃Analogamente nâ dimostra che do due N segue iii) .

Definizione : Sino (I , + , ⁼) e (I¹ , +¹ , ^') due ° esempitotalmente dediuct , un' appficazione φ : I ^→ I si dice un isomorfismo tra (I , + , ⁼) e (I¹ , +¹ , ⁼ ) se

• φ è un'esercizio : biunivoca
• φ (x + y) ≡ φ (x) + φ(y) ≡ φ (x ^. y) ≡ φ (x) ¹ φ(y) ∀_x,aI(come &ital;quietami)
• x ≤ y ^ε (I) ≡

Definizione : Due due campi totalmente ordinati si chiama incontri se existe un isomorfismo φ trà di &viexcl; .

Osservazioni

Per via della enumerazione delle questioni e dell'as di due campi totalmente ordinati, si identificano (si considerano uguali cosi come si identifica l'elemento x di I con il suo corrispondente (x) tramite l'isomorfismo). Teorema: Due qualunque campi totalmente ordinati e completi sono isomorfi. Cioè, (e meno di isomorfismi) esiste uno unico campo totalmente ordinato e completo. Definizione: Chiamiamo Sistema dei Numeri Reali l'unico campo totalmente ordinato e completo. Gli elementi di questo campo si chiamano numeri reali. Osserv.: in realtà il teorema precedente assicura che non può essere più di un campo totalmente ordinato e completo, ma non si dice se ne esiste almeno uno. Per provare l'esistenza di un tal campo, si è costretti occorere di costruirlo.

Uno è quello di andare a considerare l'insieme dei numeri decimali (finiti, periodici e non periodici), definire in esso le operazioni di addizione, moltiplicazione e l'ordinamento in maniera canonica, e provare di essere un campo totalmente ordinato compatto (e quindi realabile a meno di isormorfismi, l'unico campo totalmente ordinato e compatto, cioè il sistema dei numeri reali.

Proprietà dei numeri reali

• R1. L'elemento neutro della addizione, indicato con 0, e l'elemento neutro della moltiplicazione, indicato con 1, sono unici. Infatti se 0 e 0' fossero essendo elemente neutri rispetto, risulta 0 = 0 + 0' = 0' e 1 = 1 . (1' = 0)
• R2. ∀α ∈ R - {0}, l' guesto - α, e l' inverso α_i, sono unici; infatto se α = 0 allora α_i ha - o : o
• R3. ∀α, β ∈ R, l'equazione x + α = β ammette un ed un solo soluzione da cioè x : β + (-α) da cioè x ≠ 0, ill' equazione y . α = β ammette una ed una sola, dato da y : β . αⁱ
  dim: se x_o ∈ R una solu_z di x + α = β ; allora x_o + α = β, da cui x_o + α - α = β - α ⇒ x_o : β - α
  seguamental, se x₁ e solus ammenti_o β₂ deco zeros uguali a β - α
  d'altra parte il numero β - α e zero.. infinitti[(β + (-α)) + α = β + { (-α) - α } ≥ β ⇒ [ β + (-α) ] + α = β , quid β + (-α) e l' unica solu_d di x - α = β .
  Analagumendo si procede per l'equazione yα = β.
• R4. ∀ a ∈ ℝ, risulta a ⋅ 0 = 0. Infatti, ammettiamo a ⋅ (0 + 0) = a ⋅ 0 + a ⋅ 0 quindi sia a ⋅ 0 che 0 sono soluzioni dell'equazione a ⋅ x = 0. Per la R.3, l'equazione a ⋅ 0 + x = a ⋅ 0 ammette un'unica soluzione quindi a ⋅ 0 e 0 devono essere uguali.
• R5. ∀ a ∈ ℝ, -(-a) = a, cioè e è l'opposto di -a
• R6. ∀ a,b ∈ ℝ - (a) + (-b) = - (a + b) cioè -(a + b) è l'opposto di a
• R7. (-a) ⋅ b = - a ⋅ b
• R8. (-a)(-b) = a ⋅ b infatti (-a)(-b) = - [a(-b)] = - [( - b)a] = a ⋅ b.
• R9. Se a ⋅ b = 0, allora almeno uno dei due elementi è uguale a 0. Infatti se a ≠ 0 allora b ⋅ a⁻¹ ⋅ a = a⁻¹ ⋅ 0 = 0
• R10. (a·b)^-1 = a^-1·b^-1 se a ≠ 0 e b ≠ 0.

Le proprietà R1 - R10 valgono in qualunque campo. Vediamo adesso di dedurre qualche proprietà dal fatto che R è un campo totalmente ordinato.

Proprietà dell'insieme R₊

Sia R₊ = {a ∈ R: a > 0}. L'insieme R₊ gode della proprietà: se a, b ∈ R₊, allora a + b ∈ R₊, a · b ∈ R₊.

Infatti, se a, b ∈ R₊, vuol dire a > 0 e b > 0. Alla soli due delle seguenti 3 condizioni a ∈ R, -a ∈ R₊, a > 0, si verifica, infatti se a ∈ R₊, allora a > 0 ⇒ +(-a) > -a ⇒ -a > 0 ⇒ a ∈ R₊.

Se a=0 allora a∈R+ e -a=-a∈R+; infine se a∉R+ e a≠0 allora a≠0, a non è maggiore di 0; ⇒ a<0 ⇒ -a>0 ⇒ -a∈R+, via la proprietà. (2.0 < a+f) -a < a > -(-a)(manca R11-R14)

Altre proprietà

• R15. Se a∈R, a≠0, allora a²>0. In particolare i²>0. Infatti se a>0 allora a²=a.a>0 proprietà di R+ se a<0 allora a²=a.a=(-a).(-a)>0.
• R16. Se a∈R, a≠0 allora a^-1⁶1⁄a>0. Infatti a^-1=1⁄a=1(a.a)=(a^-1)=0
• R17. Se a,b∈R, a>0 e b>0, allora a<b ⇒ a²<b². Infatti se a<b allora a.a<b.b ⇒ a²<b²; Viceversa se a²<b², allora non può essere a=b altrimenti a²⁻b²=0, non può essere a>b o viceversa altrimenti (l'absicno sopra dimostrato) b²<a², quindi a<b.

Definizione di valore assoluto

Definizione: Sia x ∈ R, chiamiamo valore assoluto di x, e lo indichiamo con |x|, il numero x se x ≥ 0, il numero -x x |x| = { x se x ≥ 0-x se x Risulta |x| = |-x|.

• R18. Se a ∈ R, ad x ∈ R|x|
• R19. ∀ x, y ∈ R|x + y| ≤ |x| + |y||x · y| = |x| · |y|||x| - |y|| ≤ |x - y|.
• R20. Se a, b, x, y ∈ R con a |x - y|

Le proprietà finora elencate sono verificate da un qualsiasi campo totalmente ordinato, quindi anche da (Q, ..., ...) e non addittivamente.