Meccanica razionale - il gruppo e il campo

Gruppo e Campo

Sia I un insieme e σ una o un'applicazione da I×I in I con le seguenti proprietà:

1. x σ y = y σ x   ∀ x, y ∈ I
2. x σ (y σ z) = (x σ y) σ z   ∀ x, y, z ∈ I
3. ∃ un elemento e ∈ I (elemento neutro) tale che x σ e = e σ x = x,   ∀ x ∈ I
4. ∀ x ∈ I, ∃ x^-1 ∈ I (elemento giusto) tale che x σ x^-1 = x^-1 σ x = e

La coppia (I, σ) si chiama un gruppo commutativo (o abeliano).

Ad esempio l'insieme dei numeri interi N, con l'applicazione σ = + (ossone + è l'operazione di addizione) è un gruppo abeliano.

Mentre (N, ·) non è un gruppo.

(Q - {0}, ·) è un gruppo abeliano.

Gruppo e Campo

Sia I un insieme e σ una σ un'applicazione da I×I in I con le seguenti proprietà:

1. x σ y = y σ x
2. ∀ x, y ∈ I
3. x σ (y σ z) = (x σ y) σ z
4. ∀ x, y, z ∈ I
5. ∃ un elemento e ∈ I (elemento neutro) tale che x σ e = e σ x = x; ∀ x ∈ I
6. ∀ x ∈ I, ∃ x' ∈ I (elemento opposto) tale che x σ x' = x' σ x = e

La coppia (I, σ) si chiama un gruppo commutativo (o abeliano).

Ad esempio l'insieme dei numeri interi N, con l'applicazione σ = + (ovvero + è l'operazione di addizione), è un gruppo abeliano.

Inoltre (N, .) non è un gruppo.

(Q-Z0, .) è un gruppo abeliano.

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Sia I un insieme e siano σ e π due applicazioni

definite in I x I ed a valori con I, tali che

a) (I, σ) è un gruppo abeliano.

b) (I - {0}, π) è un gruppo italiano.

(0 con σ infinito o l'elemento neutro di (I, σ))

c) Vale la proprietà distributiva classica di π rispetto a σ, cioè

x π (y σ z) = (x π y) σ (x π z), ∀ x,y,z ∈ I.

In tal caso, la terna (I, σ, π) si dice un corpo commutativo

o campo.

In genere le applicazioni σ e π di cui sopra, si indicano

rispettivamente con + e ·

Ad esempio la terna (Q, +, ·), dove Q è l'insieme

dei numeri razionali, + e · sono rispettivamente i \textbf{giras}

di addizione e moltiplicazione tra razionali, rappresenta

un campo, il campo dei numeri razionali.

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Un campo (I, +, .) si dice un campo totalmente ordinato, e si indica con (I, +, . , < ), x

• a, b, c ∈ I con a < b si ha a + c < b + c
• a, b, c ∈ I con a < b e c > 0 allora a . c < b . c
• mentre se a < b e c < 0 si ha a . c > b . c

- Un campo totalmente ordinato (I, +, . , < ) si dice completo se per ogni intervallo limitato di I,

• sup A

- Ovvero, la proprietà è equivalente (cioè vale una se e solo se vale l'altra).

• iii^° per ogni intervallo limitato inferiormente A di I, 3 inf A.

Infatti, se vale la iii^° e sia A un insieme limitato inferiormente, consideriamo l'insieme

A' = { -a : a ∈ A }

sia m un minorante per A, cioè m ≤ a ∀ a ∈ A, allora

-m ≥ -a (vale iii^°) ∀ a ∈ A, ovvero -m è un maggiori per A',

quindi A_i è limitato superiormente ⇒ sup A_i ;

Proviamo che - sup A_i è sì proprio l'estremo inferiore di A_i ;

Da sup A_i ≥ a ∀ a ε A ⇒ - sup A_i ≤ -a ∀ a ε A ⇒ sup A_i è un minorante per A_i ,∀ A_i ∀ se M è un minorante per A allora - M è un maggioranteper ^A, da cui sup A ≤ M ⇒ sup A ^≥ M , quindi

- sup Aⁱ è il massimo dei minoranti di Aⁱ - sup A ⊃

Analogamente nâ dimostra che do due N segue iii) .

- Definizione : Sino (I , + , ⁼) e (I¹ , +¹ , ^') due ° esempi

totalmente dediuct , un' appficazione φ : I ^→ I si diceun isomorfismo tra (I , + , ⁼) e (I¹ , +¹ , ⁼ ) se

1 ) φ è un'esercizio : biunivoca

2 ) φ (x + y) ≡ φ (x) + φ(y) ≡ φ (x ^. y) ≡ φ (x) ¹ φ(y) ∀_x,aI(come &ital;quietami)

3 ) x ≤ y ^ε (I) ≡

Definizione : Due due campi totalmente ordinati si chiama incontri seexiste un isomorfismo φ trà di &viexcl; .

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Osservazione: per via della enumerazione delle questioni e dell'as di due campi totalmente ordinati si identificano (si considerano uguali cosi come si identifiça l'elemento x di I con il suo corrispondente (x) tramite l'isomorfismo。

Teorema: Due qualunque campi totalmente ordinati e completi sono isomorfi.

Cioe', (e meno di isomorfismi) esiste uno unico campo totalmente ordinato e completo.

Definizione: Chiamiamo Sistema dei Numeri Reali l'unico campo totalmente ordinato e completo. Gli elementi di questo campo si chiamano numeri reali.

Osserv.: in realtà il teorema precedente assicura che non puo essera piu di un campo totalmente ordinato e completo, ma non si dice se ne esiste almeno uno. Per provare l'esistenza di un tal campo, si è costretti occorere di construirlo. Vi non sarà modi per

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costruire il campo totalmente ordinato e compatto. Uno è quello di andare a considerare l'insieme dei numeri decimali (finiti, periodici e non periodici), definire in esso le operazioni di addizione, moltiplicazione e l'ordinamento in maniera canonica, e provare di essere un campo totalmente ordinato compatto (e quindi realabile a meno di isormorfismi, l'unico campo totalmente ordinato e compatto, cioè il sistema dei numeri reali.)

• Sfruttando le proprietà di campo totalmente ordinato e compatto, estrapolano alcune proprietà dei numeri reali:
• R1. L'elemento neutro della addizione, indicato con 0, e l'elemento neutro della moltiplicazione, indicato con 1, sono unici. Infatti se 0 e 0' fossero essendo elemente neutri rispetto, risulta

0 = 0 + 0' = 0' e 1 = 1 . (1' = 0)

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R2. ∀α ∈ R - {0} , l' guesto - α, e l' inverso α_i , sono unici;

infatto se α = 0 allora α_i ha - o : o

R3. ∀α,β ∈ R, l' equo, x + α = β ammette un ed un sola

soluzione da cioe x : β + (- α) da cioe x ≠ 0 , il

l' equaz. y . α = β ammette una ed una sola, dato da y : β . αⁱ

dim: se x_o ∈ R una solu_z di x + α = β ;

ellore x_o + α = β, da cui x_o + α - α = β - α

⇒ x_o : β - α

seguamental, se x₁ e solus ammenti_o β₂ deco zeros uguali a β - α

d altra parte il numero β - α e zero.. infinitti

[(β + (- α)) + α = β + { (- α) - α } ≥ β

⇒ [ β + (- α) ] + α = β ,

quid β + (- α) e l' unica solu_d di x - α = β .

Analagumendo si procede per l' equasi yα = β.

R4. ∀ a ∈ ℝ, risulta a ⋅ 0 = 0.

Infatti, ammettiamo a ⋅ (0 + 0) = a ⋅ 0 + a ⋅ 0 quindi sia a ⋅ 0 che 0 sono soluzioni dell’equaz. a ⋅ x = 0.

Per la R.3, l’equaz. a ⋅ 0 + x = a ⋅ 0 ammette un’unica solu. quindi a ⋅ 0 e 0 devono essere uguali.

R5. ∀ a ∈ ℝ, -(-a) = a, cioè e è l’opposto di -a

R6. ∀ a,b ∈ ℝ - (a) + (-b) = - (a + b) cioè -(a + b) è l’opposto di a

R7. (-a) ⋅ b = - a ⋅ b

R8. (-a)(-b) = a ⋅ b

infatti (-a)(-b) = - [a(-b)] = - [( - b)a] = a ⋅ b.

R3 Se a ⋅ b = 0, allora almeno uno dei due elementi è uguale o 0.

Infatti se a ≠ 0 allora b ⋅ a⁻¹ ⋅ a = a⁻¹ ⋅ 0 = 0

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R10. (a·b)^-1 = a^-1·b^-1 se a ≠ 0 e b ≠ 0.

Le proprietà R1 - R10 valgono in qualunque campo.

Vediamo adesso di dedurre qualche proprietà dal fatto che R è un campo totalmente ordinato.

Sia R₊ = {a ∈ R: a > 0}

L'insieme R₊ gode della proprietà:

• se a, b ∈ R_{+, allora a + b ∈ R+, a · b ∈ R+.}

Infatti se a, b ∈ R_+, vuol dire a > 0 e b > 0, per la (i)

a < o . " + " . b

Analogamente per la (ii)

a > 0 · 0 < b ⇒ 0 · a · 0 < b ⇒ a · b > 0 ⇒ a, b ∈ R₊.

Ne consegue che

- Alla soli due delle seguenti 3 condizioni a ∈ R, -a ∈ R_+, a > 0, si verifica, infatti

se a ∈ R₊, allora a > 0 ⇒ +(-a) > -a ⇒ -a > 0 ⇒ a ∈ R₊.

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Se a=0 allora a∈R+ e -a=-a∈R+;

infine se a∉R+ e a≠0 allora a≠0, a non è maggiore di 0;

⇒ a<0 ⇒ -a>0 ⇒ -a∈R+, via la proprietà. (2.0 < a+f) -a < a > -(-a)

(manca R11-R14)

R15 Se a∈R, a≠0, allora a²>0. In particolare i²>0.

Infatti se a>0 allora a²=a.a>0 proprietà di R+

se a<0 allora a²=a.a=(-a).(-a)>0.

R16. Se a∈R, a≠0 allora a^-1⁶1⁄a>0.

Infatti a^-1=1⁄a=1(a.a)=(a^-1)=0

R17 Se a,b∈R, a>0 e b>0, allora a<b ⇒ a²<b².

Infatti se a<b allora a.a<b.b ⇒ a²<b²;

Viceversa se a²<b², allora non può essere a=b altrimenti a²⁻b²=0,

non può essere a>b o viceversa altrimenti (l'absicno sopra dimostrato) b²<a²,

quindi a<b.

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Definizione: Sia x ∈ R, chiamiamo valore assoluto di x, e lo indichiamo con |x|, il numero x se x ≥ 0, il numero -x x < 0, cioè

|x| = { x se x ≥ 0-x se x < 0

Risulta |x| = |-x|.

R18. Se a ∈ R, ad x ∈ R

|x| < a ↔ -a < x < a

R19. ∀ x, y ∈ R

|x + y| ≤ |x| + |y||x · y| = |x| · |y|||x| - |y|| ≤ |x - y|.

R20. Se a, b, x, y ∈ R con a < b, a < x < b, e y < b allora

|x - y| < b - a.

Le proprietà finora elencate sono verificate da un qualsiasi campo totalmente ordinato, quindi anche da (Q, ..., ...) e non addittivamente.