Meccanica razionale - il gruppo e il campo

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Gruppo e Campo

Sia I un insieme e σ un'applicazione da I×I in I con le seguenti proprietà:

1. L'elemento σ(x,y) lo indichiamo con xσy
2. xσy = yσx    ∀ x,y ∈ I
3. xσ(yσz) = (xσy)σz    ∀ x,y,z ∈ I
4. ∃ un elemento e ∈ I (elemento neutro) tale che xσe = eσx = x    ∀ x ∈ I
5. ∀ x ∈ I, ∃ x⁻¹ ∈ I (elemento inverso) tale che xσx⁻¹ = x⁻¹σx = e

Coppia (I, σ) si chiama un gruppo commutativo (o abeliano).

Ad esempio l'insieme dei numeri interi N con l'applicazione σ = + (ossia + è l'operazione di addizione) è un gruppo abeliano.

Tuttavia (N, ·) non è un gruppo.

(Q - {0}, ·) è un gruppo abeliano.

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Sia I un insieme non vuoto e siano σ e π due applicazioni definite su I x I ed a valori in I, tali che:

• (I, σ) è un gruppo abeliano.
• (I - {0_I}, π) è un gruppo abeliano. (con 0_I indichiamo l'elemento neutro di (I, σ)).
• Vale la proprietà distributiva xπ(yσ_Iz) = (xπ_Iy)σ(xπ_Iz), ∀ x, y, z ∈ I.

In tal caso, la terna (I, σ, π) si dice campo commutativo o campo.

In genere le applicazioni σ e π di cui sopra, si indicano rispettivamente con + e . Ad esempio la terna (Q, +, .), dove Q è l'insieme dei numeri razionali

(+ e . sono rispettivamente le operazioni di addizione e moltiplicazione tra razionali) rappresenta un campo, il campo dei numeri razionali.

Estribire il campo totalmente ordinato e compatto. Uno è quello che adora, e consiste riconoscere l'insieme dei numeri

descritti (finiti, periodici e non periodici) definito in esso

lo scambio di adito, multiplo e l'inserimento in unione

evice, e provo di avere campo totalmente ordinato e compatto

(a quindi resibila a amore d'orizzonte), l'unico campo

totalmente ordinato e compatto, cioè, il sistema dei numeri

Reàli :)

Sfruttando la proprietà di campo totalmente ordinato e compatto

estendiamo alcune proprietà dei numeri reali:

R1: L'elemento neutro delle edizioni, indicato con 0, e l'elemento

neutro della moltiplicazione, indicato con 1, non univ.

Infatti o °o°' presso secondo elemento neutro rispetto, nasce

O=0+0°o° x ( = 1 (°I= (°I°.

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Definizione: Sia x ∈ ℝ, chiamiamo valore assoluto di x, e lo indichiamo con |x|, il numero x se x ≥ 0, il numero -x se x < 0, cioè

• |x| = { x x ≥ 0
• { -x x < 0

Risulta |x| = |-x|.

R18. Se a ∈ ℝ, ad x∈ℝ

|x| < a ⟷ -a < x < a

R19. ∀ x,y∈ℝ

• |x+y| ≤ |x| + |y|
• |x·y| = |x|·|y|
• |x|·|y| ≤ |x−y|

R20. Se a, b, x, y∈ℝ con a < b, a < x < b, e x < y < b allora

|x−y| < b−a

Le proprietà sopra elencate sono verificate da un qualsiasi campo totalmente ordinato, quindi anche da (ℚ, + , ·, < ), ...