Grandezze fisiche e vettoriali, vettori e caratteristiche

GRANDEZZE FISICHE

• GRANDEZZE SCALARI: rappresentate da un numero e un'unità di misura (T, u, t)
• GRANDEZZE VETTORIALI: rappresentate da un vettore oltre che da un numero e un'unità di misura (v, a, F)

VETTORE

Caratterizzato da

1. MODULO: lunghezza proporzionale al valore della grandezza
2. DIREZIONE
3. VERSO (dx o sx)

Hanno un punto di applicazione → in Fisica è rilevante

Esistono i seguenti: VETTORI EQUIPOLLENTI → Modulo, direzione e verso uguali, ma applicati in punti diversi

CAMPO VETTORIALE

“Regione dello spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; l’insieme di tali vettori.”

Esempi: campo elettrico, campo gravitazionale.

• CAMPO UNIFORME: campo in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono identici (verso, direzione e modulo uguali). È un campo che non varia nello SPAZIO.
• CAMPO STAZIONARIO: campo in cui i vettori (per diversi) si mantengono invariati nel TEMPO. È un campo che non varia nel TEMPO.

VERSORE

Vettore di modulo unitario, utilizzato per determinare particolari direzioni e versi.

Nel sistema cartesiano:

âverso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce x

ĵverso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce y

k̂verso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce z

In coordinate polari:

êverso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce r

ĵverso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce θ

GRANDEZZE FISICHE :

1. GRANDEZZE SCALARI:

rappresentate da un numero e un'unità di misura (T, un, t)

2. GRANDEZZE VETTORIALI:

rappresentate da un vettore oltre che da un numero e un'unità di misura (̅, ̅͢, F)

VETTORE

Caratterizzato da

1. MODULO: lunghezza proporzionale al valore della grandezza
2. DIREZIONE
3. VERSO (dx o sx)

Hanno un punto di applicazione —> in Fisica è rilevante

Esistono i seguenti: VETTORI EQUIVALENTI —> Modulo, direzione e verso uguali, ma applicati in punti diversi

CAMPO VETTORIALE:

Regione dello spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; è anche l'insieme di tali vettori

Esempi: campo elettrico, campo gravitazionale

• CAMPO UNIFORME: campo in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono identici (verso, direzione e modulo uguali). È un campo che non varia nello SPAZIO.

• CAMPO STAZIONARIO: campo in cui i vettori (per diversi) si mantengono invariati nel TEMPO. È un campo che non varia nel TEMPO.

VERSORE:

Vettore di modulo unitario, utilizzato per determinare particolari direzioni e versi.

Nel sistema cartesiano:

âₓ versore unitario di direzione e verso dell'asse x positivo

ê è perpendiculare tra di sé e y (positivi) i versori sono î_y e î_z le capacità rappresentano e si indegano che sono versi

In coordinate polari:

âᵣ versore unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce r

âΘ versore unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce Θ

Scomposizione di un vettore

⃗ = _x̂_x + _ŷ_y

⃗ = (_x, _y)

Modulo → |⃗ | = = √(_x² + _y²)

Direzione e verso: tg Θ = _y / _x

• Nello spazio tridimensionale

⃗ = _x̂_x + _ŷ_y + _ẑ_z

|⃗ | = √(_x² + _y² + _z²)

Proprietà dei vettori

1. Prodotto di un vettore per uno scalare → ⃗ = m⃗

2. Somma di vettori:

   • proprietà commutativa → ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗
   • "" associativa → ⃗ = (⃗ + ⃗) + ⃗ = ⃗ + (⃗ + ⃗)

   Somma grafica in due modi:

   • (a) Traslazione testa-coda
   • (b) Traslazione coda-coda (regola del parallelogramma)
3. Differenza tra vettori → ⃗ = ⃗ - ⃗ = ⃗ + (−⃗)

(4) Somma di più vettori

v = _∑ⁿi=1vi

(5) Somma di vettori in coordinate cartesiane

= a_xû_x + a_yû_yb = b_xû_x + b_yû_yc = a + b = (a_x + b_x)û_x + (a_y + b_y)û_y

(6) Prodotto tra vettori

(a) Prodotto scalare

S = a·b = abcosΘOppure:S = a·b = (a_xû_x + a_yû_y + a_zû_z) · (b_xû_x + b_yû_y + b_zû_z)= a_xb_xû_x² + a_yb_yû_y² + a_zb_zû_z²= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Il prodotto scalare tra due vettori è uguale al prodotto del modulo di unoper la proiezione su di questo dell'altro vettore:s = c·d = (c cosΘ)d = c(bcosΘ)

Le sue proprietà sono:

1. a·b = 0 uno dei due vettori è nullo oppure sono perpendicolari
2. Vale la proprietà commutativa e distributiva
3. (a·u)² / |u|² = a²
4. Teorema di Carnot (o del coseno)

c² = a² + b²

c² = (a^⃗ + b^⃗) · (a^⃗ + b^⃗) = a² + b² + 2abcosθ

=> c² = a² + b² + 2abcosθ = a² + b² + 2a^⃗ · b^⃗

(b) Prodotto vettoriale

|c^⃗| = |a^⃗| |b^⃗| sinθ

modulo: c = absinθ

La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori

Il verso è dato da una convenzione - regola della mano destra.

Se a^⃗ × b^⃗ ≠ vuoto, il vettore a verso b e il verso di C sarà lo stesso del pollice,

se b × a^⃗ ≠ vuoto, il vettore b verso a.

Le sue proprietà sono:

(i) È anticommutativo: a^⃗ × b^⃗ = - b^⃗ × a^⃗

(ii) Vale la proprietà distributiva ma non l'associativa:

a^⃗ × (b + c^⃗) ≠ (a^⃗ × b^⃗) × c^⃗

(iii) a^⃗ × b^⃗ = 0 <=> a^⃗ = 0 v b^⃗ = 0 v a^⃗ || b^⃗

(iv) In particolare,

u_x × u_x = 0 ; u_y × u_y = 0 ; u_z × u_z = 0

u_x × u_y = u_z; u_y × u_z = u_x; u_z × u_x = u_y

u_z × u_y = u_x; u_y × u_x = u_z; u_x × u_z =

Prodotto vettoriale in coordinate cartesiane

a = a_x û_x + a_y û_y + a_z û_z b = b_x û_x + b_y û_y + b_z û_z

c = a x b

Il prodotto vettoriale viene definito dal determinante:

c = û_x û_y û_z a_x a_y a_z b_x b_y b_z

c = (a_yb_z - a_zb_y) û_x + (a_zb_x - a_xb_z) û_y + (a_xb_y - a_yb_x) û_z

Prodotto scalare

a · b = ab cosΘ = ab_τ

Prodotto vettoriale

a x b = absinΘn = ab_τn

Momento di un vettore rispetto ad un punto

M_O = OP x a = OP ꓕ a sinΘ = OH x a Modulo: M_O = h · a

OP obli braccio di a rsp. ad O

Il momento rispetto ad un punto O' è M_O' = O'P x a = (O'O + OP) x a = O'O x a + M_O

Derivata di un vettore

Dato un vettore che varia nel tempo:

a(t + Δt) = a(t) + Δa

Nel tempo, a ha cambiato anche in calo.

Δa = a(t + Δt) - a(t)

^lim Δt→0 Δa / Δt = da / dt

Proprietà delle derivate di vettori:

1. d/dt (a(t) + b(t)) = da/dt + db/dt
2. d/dt (ma(t)) = m da/dt
3. d/dt (a(t) xb) = da/dt x b + a x db/dt

Dato un vettore in coordinate cartesiane:

a = a₁x + a₂y + a₃z

d/dt a(t) = da₁/dt x + da₂/dt y + da₃/dt z

Derivata di un versore

Sia u(t) un versore che non è fisso, ma cambia, nel tempo, direzione e verso (no modulo)

Δu = u(t + Δt) - u(t); u² è un versore finiti |u| = 1

Per Δt = 0 ===> Δu² / Δt ===> du² / dt

|du| = du = |u(t)| dθ = dθ